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1. 若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为
17
;若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为10 或 11
.答案
1. 17 10 或 11
解析
【分析】
解决本题需结合等腰三角形的性质与三角形三边关系分析：首先等腰三角形两条腰长度相等，题目给出的两条边长未明确说明是腰还是底，因此需要分两种情况讨论；其次，每种情况得到的三边长必须满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），不符合的情况要舍去，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
第一空：等腰三角形两边长为3和7
分两种情况讨论：
1. 若腰长为3，此时三边长为3、3、7，由于$3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况；
2. 若腰长为7，此时三边长为7、7、3，由于$3+7＞7$，满足三角形三边关系，此时周长为$7+7+3=17$。
第二空：等腰三角形两边长为3和4
同样分两种情况讨论：
1. 若腰长为3，此时三边长为3、3、4，由于$3+3＞4$，满足三边关系，此时周长为$3+3+4=10$；
2. 若腰长为4，此时三边长为4、4、3，由于$3+4＞4$，满足三边关系，此时周长为$4+4+3=11$。
【答案】
17；10或11
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是三角形边的关系应用的典型题，易错点在于未对腰和底的情况分类讨论，或是分类后未验证三边是否能构成三角形，解题时要注意分类讨论后需验证合理性，避免出现错解、多解。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合等腰三角形的性质与三角形三边关系分析：首先等腰三角形两条腰长度相等，题目给出的两条边长未明确说明是腰还是底，因此需要分两种情况讨论；其次，每种情况得到的三边长必须满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），不符合的情况要舍去，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
第一空：等腰三角形两边长为3和7
分两种情况讨论：
1. 若腰长为3，此时三边长为3、3、7，由于$3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况；
2. 若腰长为7，此时三边长为7、7、3，由于$3+7＞7$，满足三角形三边关系，此时周长为$7+7+3=17$。
第二空：等腰三角形两边长为3和4
同样分两种情况讨论：
1. 若腰长为3，此时三边长为3、3、4，由于$3+3＞4$，满足三边关系，此时周长为$3+3+4=10$；
2. 若腰长为4，此时三边长为4、4、3，由于$3+4＞4$，满足三边关系，此时周长为$4+4+3=11$。
【答案】
17；10或11
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是三角形边的关系应用的典型题，易错点在于未对腰和底的情况分类讨论，或是分类后未验证三边是否能构成三角形，解题时要注意分类讨论后需验证合理性，避免出现错解、多解。
【难度系数】
0.7
2. 已知$△ ABC$的两边$AB=2\ \mathrm{cm},AC=9\ \mathrm{cm}.$
(1)求第三边$BC$的长的取值范围；
(2)若第三边$BC$的长是偶数,求$BC$的长；
(3)若$△ ABC$是等腰三角形,求其周长.
(1)求第三边$BC$的长的取值范围；
(2)若第三边$BC$的长是偶数,求$BC$的长；
(3)若$△ ABC$是等腰三角形,求其周长.
答案
2. (1)$7\ \mathrm{cm}＜BC＜11\ \mathrm{cm}.$
(2)$BC$的长是$8\ \mathrm{cm}$或$10\ \mathrm{cm}.$
(3)$\because\quad △ ABC$是等腰三角形，
$\therefore\quad BC=9\ \mathrm{cm}$或$BC=2\ \mathrm{cm}.$
当$BC=2\ \mathrm{cm}$时,$2+2＜9$,不能组成三角形；
当$BC=9\ \mathrm{cm}$时,$2+9＞9$,能组成三角形.
$\therefore\quad △ ABC$的周长为$2+9+9=20(\mathrm{cm}).$
(2)$BC$的长是$8\ \mathrm{cm}$或$10\ \mathrm{cm}.$
(3)$\because\quad △ ABC$是等腰三角形，
$\therefore\quad BC=9\ \mathrm{cm}$或$BC=2\ \mathrm{cm}.$
当$BC=2\ \mathrm{cm}$时,$2+2＜9$,不能组成三角形；
当$BC=9\ \mathrm{cm}$时,$2+9＞9$,能组成三角形.
$\therefore\quad △ ABC$的周长为$2+9+9=20(\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
(1) 求解三角形第三边的取值范围，核心依据是三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入已知的两条边长计算即可。(2) 第二问是第一问的延伸，在第一问得到的取值范围内，筛选出符合偶数要求的数值即可。(3) 涉及等腰三角形的边长问题，需要先分类讨论第三边作为腰或底的两种情况，再分别用三边关系验证每种情况能否构成三角形，排除不符合条件的情况后，再计算周长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，可得：
$AC-AB ＜ BC ＜ AC+AB$
代入$AB=2\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，得：
$9-2 ＜ BC ＜ 9+2$
即$7\ \mathrm{cm}＜BC＜11\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)可知$BC$的取值范围是$7\ \mathrm{cm}＜BC＜11\ \mathrm{cm}$，且$BC$为偶数，因此符合条件的长度为$8\ \mathrm{cm}$或$10\ \mathrm{cm}$。
(3) $\because\quad △ ABC$是等腰三角形，
$\therefore$ 分两种情况讨论：
① 当$BC=AB=2\ \mathrm{cm}$时，三边长为$2\ \mathrm{cm}$、$2\ \mathrm{cm}$、$9\ \mathrm{cm}$，
$\because 2+2=4＜9$，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
② 当$BC=AC=9\ \mathrm{cm}$时，三边长为$2\ \mathrm{cm}$、$9\ \mathrm{cm}$、$9\ \mathrm{cm}$，
$\because 2+9=11＞9$，符合三角形三边关系，可构成三角形，
此时周长为$2+9+9=20(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1)$7\ \mathrm{cm}＜BC＜11\ \mathrm{cm}$
(2)$BC$的长是$8\ \mathrm{cm}$或$10\ \mathrm{cm}$
(3)$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边长的基础应用题，重点考查三边关系的应用，解决等腰三角形边长问题时，一定要注意分类讨论后验证三边能否构成三角形，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解三角形第三边的取值范围，核心依据是三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入已知的两条边长计算即可。(2) 第二问是第一问的延伸，在第一问得到的取值范围内，筛选出符合偶数要求的数值即可。(3) 涉及等腰三角形的边长问题，需要先分类讨论第三边作为腰或底的两种情况，再分别用三边关系验证每种情况能否构成三角形，排除不符合条件的情况后，再计算周长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，可得：
$AC-AB ＜ BC ＜ AC+AB$
代入$AB=2\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，得：
$9-2 ＜ BC ＜ 9+2$
即$7\ \mathrm{cm}＜BC＜11\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)可知$BC$的取值范围是$7\ \mathrm{cm}＜BC＜11\ \mathrm{cm}$，且$BC$为偶数，因此符合条件的长度为$8\ \mathrm{cm}$或$10\ \mathrm{cm}$。
(3) $\because\quad △ ABC$是等腰三角形，
$\therefore$ 分两种情况讨论：
① 当$BC=AB=2\ \mathrm{cm}$时，三边长为$2\ \mathrm{cm}$、$2\ \mathrm{cm}$、$9\ \mathrm{cm}$，
$\because 2+2=4＜9$，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
② 当$BC=AC=9\ \mathrm{cm}$时，三边长为$2\ \mathrm{cm}$、$9\ \mathrm{cm}$、$9\ \mathrm{cm}$，
$\because 2+9=11＞9$，符合三角形三边关系，可构成三角形，
此时周长为$2+9+9=20(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1)$7\ \mathrm{cm}＜BC＜11\ \mathrm{cm}$
(2)$BC$的长是$8\ \mathrm{cm}$或$10\ \mathrm{cm}$
(3)$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边长的基础应用题，重点考查三边关系的应用，解决等腰三角形边长问题时，一定要注意分类讨论后验证三边能否构成三角形，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB=3，AC=5，DE=2，则点D到AB的距离是
$\dfrac{10}{3}$
。答案
3. $\dfrac{10}{3}$
解析
【分析】
解题首先要利用三角形中线的性质：三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形，因此△ABD与△ADC面积相等。先根据已知的△ADC的底AC和高DE计算出△ADC的面积，也就得到了△ABD的面积；再设点D到AB的距离为h，h是△ABD中AB边上的高，结合△ABD的面积和底AB的长度，利用三角形面积公式列方程即可求出h的值，也就是所求的距离。
【解析】
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD，△ABD和△ADC等底同高，即$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}$
∵DE是△ADC的高，AC=5，DE=2
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AC × DE=\frac{1}{2}×5×2=5$
∴$S_{△ ABD}=5$
设点D到AB的距离为h，h为△ABD中AB边上的高，已知AB=3
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × h = \frac{1}{2}×3× h=5$
解得：$h=\frac{10}{3}$
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题解题的核心是灵活运用三角形中线等分面积的性质，通过面积作为中间量建立等量关系，进而求解未知的高，解题时要注意明确三角形的底和对应的高，避免混淆。
【难度系数】
0.7
解题首先要利用三角形中线的性质：三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形，因此△ABD与△ADC面积相等。先根据已知的△ADC的底AC和高DE计算出△ADC的面积，也就得到了△ABD的面积；再设点D到AB的距离为h，h是△ABD中AB边上的高，结合△ABD的面积和底AB的长度，利用三角形面积公式列方程即可求出h的值，也就是所求的距离。
【解析】
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD，△ABD和△ADC等底同高，即$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}$
∵DE是△ADC的高，AC=5，DE=2
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AC × DE=\frac{1}{2}×5×2=5$
∴$S_{△ ABD}=5$
设点D到AB的距离为h，h为△ABD中AB边上的高，已知AB=3
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × h = \frac{1}{2}×3× h=5$
解得：$h=\frac{10}{3}$
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题解题的核心是灵活运用三角形中线等分面积的性质，通过面积作为中间量建立等量关系，进而求解未知的高，解题时要注意明确三角形的底和对应的高，避免混淆。
【难度系数】
0.7
4. 如图,已知AD,AE分别是$△ ABC$的高和中线,$AB = 3\ \mathrm{cm}$,$AC = 4\ \mathrm{cm}$,$BC = 5\ \mathrm{cm}$,$∠ BAC=90°$.
(1)求AD的长;
(2)求$△ ABE$的面积;
(3)求$△ ACE$和$△ ABE$的周长的差.
(1)求AD的长;
(2)求$△ ABE$的面积;
(3)求$△ ACE$和$△ ABE$的周长的差.
答案
4. (1)$AD$的长为$2.4\ \mathrm{cm}.$
(2)$△ ABE$的面积为$3\ \mathrm{cm}^2.$
(3)$△ ACE$和$△ ABE$的周长的差为$1\ \mathrm{cm}.$
(2)$△ ABE$的面积为$3\ \mathrm{cm}^2.$
(3)$△ ACE$和$△ ABE$的周长的差为$1\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
(1)求AD的长：△ABC是直角三角形，可先通过两条直角边算出三角形的面积，又因为AD是BC边上的高，同一个三角形的面积还可以表示为$\frac{1}{2}×BC×AD$，利用等面积法建立等式即可求出AD的长度。
(2)求△ABE的面积：AE是△ABC的中线，中线将三角形分成两个等底同高的小三角形，两个小三角形面积相等，因此△ABE的面积是△ABC面积的一半，用△ABC的面积除以2即可得到结果。
(3)求两个三角形的周长差：先分别写出两个三角形的周长表达式，△ACE周长=AC+CE+AE，△ABE周长=AB+BE+AE，观察可知AE是公共边，结合中线性质可得BE=CE，两个周长作差后相同项会抵消，最终差等于AC与AB的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：(1)
∵$∠ BAC=90°$，AD是BC边上的高
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$
将$AB=3\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×AD$
解得$AD=\frac{12}{5}=2.4\ \mathrm{cm}$
(2)
∵AE是△ABC的中线
∴$BE=EC$，△ABE和△AEC等底同高，面积相等
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
由(1)得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$
(3)$C_{△ ACE}=AC+CE+AE$，$C_{△ ABE}=AB+BE+AE$
∵AE是中线，
∴$CE=BE$
∴$C_{△ ACE}-C_{△ ABE}=(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=AC-AB$
将$AC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=3\ \mathrm{cm}$代入得：
周长差为$4-3=1\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $AD$的长为$2.4\ \mathrm{cm}$；
(2) $△ ABE$的面积为$3\ \mathrm{cm}^2$；
(3) $△ ACE$和$△ ABE$的周长的差为$1\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 三角形面积公式
2. 三角形中线的性质
3. 等面积法
【点评】
本题是三角形章节的基础典型题，重点考查三角形高、中线的相关性质，解题时灵活运用等面积法求高、中线分三角形面积相等、周长差抵消公共项的技巧，可以大幅简化计算过程，这类解题思路需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1)求AD的长：△ABC是直角三角形，可先通过两条直角边算出三角形的面积，又因为AD是BC边上的高，同一个三角形的面积还可以表示为$\frac{1}{2}×BC×AD$，利用等面积法建立等式即可求出AD的长度。
(2)求△ABE的面积：AE是△ABC的中线，中线将三角形分成两个等底同高的小三角形，两个小三角形面积相等，因此△ABE的面积是△ABC面积的一半，用△ABC的面积除以2即可得到结果。
(3)求两个三角形的周长差：先分别写出两个三角形的周长表达式，△ACE周长=AC+CE+AE，△ABE周长=AB+BE+AE，观察可知AE是公共边，结合中线性质可得BE=CE，两个周长作差后相同项会抵消，最终差等于AC与AB的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：(1)
∵$∠ BAC=90°$，AD是BC边上的高
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$
将$AB=3\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×AD$
解得$AD=\frac{12}{5}=2.4\ \mathrm{cm}$
(2)
∵AE是△ABC的中线
∴$BE=EC$，△ABE和△AEC等底同高，面积相等
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
由(1)得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$
(3)$C_{△ ACE}=AC+CE+AE$，$C_{△ ABE}=AB+BE+AE$
∵AE是中线，
∴$CE=BE$
∴$C_{△ ACE}-C_{△ ABE}=(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=AC-AB$
将$AC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=3\ \mathrm{cm}$代入得：
周长差为$4-3=1\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $AD$的长为$2.4\ \mathrm{cm}$；
(2) $△ ABE$的面积为$3\ \mathrm{cm}^2$；
(3) $△ ACE$和$△ ABE$的周长的差为$1\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 三角形面积公式
2. 三角形中线的性质
3. 等面积法
【点评】
本题是三角形章节的基础典型题，重点考查三角形高、中线的相关性质，解题时灵活运用等面积法求高、中线分三角形面积相等、周长差抵消公共项的技巧，可以大幅简化计算过程，这类解题思路需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE//BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的度数为 (
A.44°
B.40°
C.39°
D.38°
C
)A.44°
B.40°
C.39°
D.38°
答案
5. C
解析
【分析】
要计算∠CDE的度数，可逐步推导：首先根据平行线的性质，由DE//BC可得∠CDE=∠BCD，因此只需求出∠BCD的度数即可；又因为CD是∠ACB的角平分线，所以∠BCD是∠ACB的一半，因此先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再依次推导即可得到结果。
【解析】
第一步，根据三角形内角和为180°，计算∠ACB的度数：
在△ABC中，$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 54° - 48° = 78°$
第二步，根据角平分线的定义，CD平分∠ACB，因此：
$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 78° = 39°$
第三步，根据平行线的性质，DE//BC时内错角相等，因此：
$∠ CDE = ∠ BCD = 39°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将三角形内角和、角平分线、平行线的性质结合考查，解题的关键是理清各角之间的等量关系，逐步推导即可得到答案。
【难度系数】
0.7
要计算∠CDE的度数，可逐步推导：首先根据平行线的性质，由DE//BC可得∠CDE=∠BCD，因此只需求出∠BCD的度数即可；又因为CD是∠ACB的角平分线，所以∠BCD是∠ACB的一半，因此先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再依次推导即可得到结果。
【解析】
第一步，根据三角形内角和为180°，计算∠ACB的度数：
在△ABC中，$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 54° - 48° = 78°$
第二步，根据角平分线的定义，CD平分∠ACB，因此：
$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 78° = 39°$
第三步，根据平行线的性质，DE//BC时内错角相等，因此：
$∠ CDE = ∠ BCD = 39°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将三角形内角和、角平分线、平行线的性质结合考查，解题的关键是理清各角之间的等量关系，逐步推导即可得到答案。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=46°$，$CE$是$∠ ACB$的平分线，点$B$，$C$，$D$在同一条直线上，$FD// EC$，$∠ D=42°$，则$∠ B$的度数是
$50°$
.答案
6. $50°$
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，利用平行线的同位角相等的性质，由FD//EC得到∠ECB与∠D相等；第二步，结合CE是∠ACB的平分线，可推出∠ACB是∠ECB的2倍，计算得到∠ACB的度数；第三步，根据三角形内角和为180°，已知∠A和∠ACB的度数，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵$FD// EC$，$∠ D=42°$，
∴$∠ ECB=∠ D=42°$（两直线平行，同位角相等）。
∵$CE$是$∠ ACB$的平分线，
∴$∠ ACB=2∠ ECB=2×42°=84°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理得：
$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
已知$∠ A=46°$，代入得：
$∠ B=180°-∠ A-∠ ACB=180°-46°-84°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将平行线、角平分线、三角形内角和三个基础知识点结合考查，解题核心是通过平行线的性质建立已知角和三角形内角的关联，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
解题可按三步推导：第一步，利用平行线的同位角相等的性质，由FD//EC得到∠ECB与∠D相等；第二步，结合CE是∠ACB的平分线，可推出∠ACB是∠ECB的2倍，计算得到∠ACB的度数；第三步，根据三角形内角和为180°，已知∠A和∠ACB的度数，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵$FD// EC$，$∠ D=42°$，
∴$∠ ECB=∠ D=42°$（两直线平行，同位角相等）。
∵$CE$是$∠ ACB$的平分线，
∴$∠ ACB=2∠ ECB=2×42°=84°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理得：
$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
已知$∠ A=46°$，代入得：
$∠ B=180°-∠ A-∠ ACB=180°-46°-84°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将平行线、角平分线、三角形内角和三个基础知识点结合考查，解题核心是通过平行线的性质建立已知角和三角形内角的关联，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
