登录
10. 如图,点D在△ABC的边BC的延长线上.
(1)若∠A:∠ABC=3:4,∠ACD=140°,求∠A的度数.
(2)若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M,过点C作CP⊥BM于点P.试探究∠PCM与∠A的数量关系,并说明理由.
(1)若∠A:∠ABC=3:4,∠ACD=140°,求∠A的度数.
(2)若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M,过点C作CP⊥BM于点P.试探究∠PCM与∠A的数量关系,并说明理由.
答案
10. (1)
∵ ∠A : ∠ABC = 3 : 4,
∴ 设∠A=3k,则∠ABC=4k.
∵ ∠ACD=∠A+∠ABC=140°,
∴ 3k+4k=140°.
解得k=20°.
∴ ∠A=3k=3×20°=60°.
(2)∠PCM=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
理由:
∵ ∠MCD 是△MBC 的外角,
∴ ∠M=∠MCD−∠MBC.
同理可得∠A=∠ACD−∠ABC.
∵ CM,BM分别平分∠ACD,∠ABC,
∴ ∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACD,∠MBC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∴ ∠M=$\frac{1}{2}$∠ACD−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠ACD−∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A.
∵ CP⊥BM,
∴ ∠CPM=90°.
∴ ∠PCM=90°−∠M=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
∵ ∠A : ∠ABC = 3 : 4,
∴ 设∠A=3k,则∠ABC=4k.
∵ ∠ACD=∠A+∠ABC=140°,
∴ 3k+4k=140°.
解得k=20°.
∴ ∠A=3k=3×20°=60°.
(2)∠PCM=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
理由:
∵ ∠MCD 是△MBC 的外角,
∴ ∠M=∠MCD−∠MBC.
同理可得∠A=∠ACD−∠ABC.
∵ CM,BM分别平分∠ACD,∠ABC,
∴ ∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACD,∠MBC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∴ ∠M=$\frac{1}{2}$∠ACD−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠ACD−∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A.
∵ CP⊥BM,
∴ ∠CPM=90°.
∴ ∠PCM=90°−∠M=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
解析
【分析】
(1) 解题时利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知∠A和∠ABC的比值，设参数列方程即可求解∠A的度数。
(2) 先利用三角形外角性质分别表示出∠M和∠A，结合角平分线的定义推导∠M与∠A的关系，再根据CP⊥BM得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可得出∠PCM与∠A的数量关系。
【解析】
(1)
∵ ∠A : ∠ABC = 3 : 4，
∴ 设∠A=3k，则∠ABC=4k。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC=140°，
∴ 3k+4k=140°，
解得k=20°，
∴ ∠A=3k=3×20°=60°。
(2)∠PCM=90°−$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵ ∠MCD是△MBC的外角，
∴ ∠M=∠MCD−∠MBC，
同理可得∠A=∠ACD−∠ABC，
∵ CM、BM分别平分∠ACD、∠ABC，
∴ ∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠MBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴ ∠M=$\frac{1}{2}$∠ACD−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠ACD−∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A，
∵ CP⊥BM，
∴ ∠CPM=90°，
在Rt△CPM中，∠PCM+∠M=90°，
∴ ∠PCM=90°−∠M=90°−$\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$
(2) $\boldsymbol{∠ PCM=90°-\dfrac{1}{2}∠ A}$
【知识点】
三角形外角定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角的计算综合基础题，解题核心是灵活运用三角形外角定理建立不同角之间的数量关系，第二问推导∠M与∠A的关系是解题突破口，考察的均为基础性质的应用，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知∠A和∠ABC的比值，设参数列方程即可求解∠A的度数。
(2) 先利用三角形外角性质分别表示出∠M和∠A，结合角平分线的定义推导∠M与∠A的关系，再根据CP⊥BM得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可得出∠PCM与∠A的数量关系。
【解析】
(1)
∵ ∠A : ∠ABC = 3 : 4，
∴ 设∠A=3k，则∠ABC=4k。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC=140°，
∴ 3k+4k=140°，
解得k=20°，
∴ ∠A=3k=3×20°=60°。
(2)∠PCM=90°−$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵ ∠MCD是△MBC的外角，
∴ ∠M=∠MCD−∠MBC，
同理可得∠A=∠ACD−∠ABC，
∵ CM、BM分别平分∠ACD、∠ABC，
∴ ∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠MBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴ ∠M=$\frac{1}{2}$∠ACD−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠ACD−∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A，
∵ CP⊥BM，
∴ ∠CPM=90°，
在Rt△CPM中，∠PCM+∠M=90°，
∴ ∠PCM=90°−∠M=90°−$\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$
(2) $\boldsymbol{∠ PCM=90°-\dfrac{1}{2}∠ A}$
【知识点】
三角形外角定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角的计算综合基础题，解题核心是灵活运用三角形外角定理建立不同角之间的数量关系，第二问推导∠M与∠A的关系是解题突破口，考察的均为基础性质的应用，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图,点 D,E 分别在 AB,AC 上,DE//BC,F是AD上一点,FE的延长线交BC的延长线于点G.求证:
(1) ∠EGH＞∠ADE；
(2) ∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
(1) ∠EGH＞∠ADE；
(2) ∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
答案
11. (1)
∵ ∠EGH 是△BFG 的外角,
∴ ∠EGH=∠B+∠BFG.
∴ ∠EGH＞∠B.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE=∠B.
∴ ∠EGH＞∠ADE.
(2)
∵ ∠BFE 是△AFE 的外角,
∴ ∠BFE=∠A+∠AEF,
即∠BFG=∠A+∠AEF.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE=∠B.
∵ ∠FGH 是△FBG 的外角,
∴ ∠FGH = ∠B + ∠BFG = ∠ADE + ∠A+∠AEF,
即∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
∵ ∠EGH 是△BFG 的外角,
∴ ∠EGH=∠B+∠BFG.
∴ ∠EGH＞∠B.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE=∠B.
∴ ∠EGH＞∠ADE.
(2)
∵ ∠BFE 是△AFE 的外角,
∴ ∠BFE=∠A+∠AEF,
即∠BFG=∠A+∠AEF.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE=∠B.
∵ ∠FGH 是△FBG 的外角,
∴ ∠FGH = ∠B + ∠BFG = ∠ADE + ∠A+∠AEF,
即∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
解析
【分析】
(1) 要证明∠EGH＞∠ADE，首先联想三角形外角的性质：三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角。观察图形可知∠EGH是△FBG的外角，可推出∠EGH＞∠B；再结合DE//BC的条件，由平行线同位角相等的性质可得∠ADE=∠B，通过等量代换即可完成证明。
(2) 要证明∠EGH等于三个角的和，利用三角形外角的另一个性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。首先∠BFG是△AFE的外角，可得∠BFG=∠A+∠AEF；再结合∠EGH是△FBG的外角，可得∠EGH=∠B+∠BFG；最后利用平行线的性质将∠B替换为∠ADE，代入即可推导出待证等式。
【解析】
(1)
∵ ∠EGH是△BFG的外角，
∴ ∠EGH=∠B+∠BFG，
∴ ∠EGH＞∠B。
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠EGH＞∠ADE。
(2)
∵ ∠BFE是△AFE的外角，
∴ ∠BFE=∠A+∠AEF，即∠BFG=∠A+∠AEF。
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠EGH是△FBG的外角，
∴ ∠EGH = ∠B + ∠BFG = ∠ADE + ∠A+∠AEF，
即∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF。
【答案】
(1) ∠EGH＞∠ADE，得证；
(2) ∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF，得证。
【知识点】
三角形外角性质、平行线的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查三角形外角性质和平行线性质的综合应用，解题的关键是准确识别外角对应的三角形，合理利用外角的不等关系和等量关系，结合平行线性质完成角的转化，这类题是几何角度推导的基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明∠EGH＞∠ADE，首先联想三角形外角的性质：三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角。观察图形可知∠EGH是△FBG的外角，可推出∠EGH＞∠B；再结合DE//BC的条件，由平行线同位角相等的性质可得∠ADE=∠B，通过等量代换即可完成证明。
(2) 要证明∠EGH等于三个角的和，利用三角形外角的另一个性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。首先∠BFG是△AFE的外角，可得∠BFG=∠A+∠AEF；再结合∠EGH是△FBG的外角，可得∠EGH=∠B+∠BFG；最后利用平行线的性质将∠B替换为∠ADE，代入即可推导出待证等式。
【解析】
(1)
∵ ∠EGH是△BFG的外角，
∴ ∠EGH=∠B+∠BFG，
∴ ∠EGH＞∠B。
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠EGH＞∠ADE。
(2)
∵ ∠BFE是△AFE的外角，
∴ ∠BFE=∠A+∠AEF，即∠BFG=∠A+∠AEF。
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠EGH是△FBG的外角，
∴ ∠EGH = ∠B + ∠BFG = ∠ADE + ∠A+∠AEF，
即∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF。
【答案】
(1) ∠EGH＞∠ADE，得证；
(2) ∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF，得证。
【知识点】
三角形外角性质、平行线的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查三角形外角性质和平行线性质的综合应用，解题的关键是准确识别外角对应的三角形，合理利用外角的不等关系和等量关系，结合平行线性质完成角的转化，这类题是几何角度推导的基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
