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4. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上,$DB=DC$,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$,$DE=DF$. 求证 $\mathrm{Rt}△ DEB ≌ \mathrm{Rt}△ DFC$.
以下是排乱的证明过程:
①$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ DEB$和$\mathrm{Rt}△ DFC$中,
$\begin{cases}DB=DC, \\DE=DF,\end{cases}$
②$\therefore$ $\mathrm{Rt}△ DEB ≌ \mathrm{Rt}△ DFC(\mathrm{HL})$,
③$\therefore$ $∠ BED = ∠ CFD = 90°$,
④$\because$ $DE ⊥ AB, DF ⊥ AC$.
证明过程正确的顺序是 (
A.④$\to$③$\to$①$\to$②
B.④$\to$②$\to$③$\to$①
C.③$\to$②$\to$①$\to$④
D.③$\to$①$\to$④$\to$②
第4题图 第5题图
以下是排乱的证明过程:
①$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ DEB$和$\mathrm{Rt}△ DFC$中,
$\begin{cases}DB=DC, \\DE=DF,\end{cases}$
②$\therefore$ $\mathrm{Rt}△ DEB ≌ \mathrm{Rt}△ DFC(\mathrm{HL})$,
③$\therefore$ $∠ BED = ∠ CFD = 90°$,
④$\because$ $DE ⊥ AB, DF ⊥ AC$.
证明过程正确的顺序是 (
A
)A.④$\to$③$\to$①$\to$②
B.④$\to$②$\to$③$\to$①
C.③$\to$②$\to$①$\to$④
D.③$\to$①$\to$④$\to$②
第4题图 第5题图
答案
4.A
解析
【分析】
要确定证明过程的正确顺序，需遵循几何证明的逻辑：首先利用已知条件推导前置结论，再结合判定定理列出条件，最后得出结论。要证明两个直角三角形全等，首先要说明这两个三角形是直角三角形，因此先从已知的垂直条件入手：先给出已知的垂直关系，再由垂直的定义得到两个三角形的内角为90°，确定二者都是直角三角形后，结合题目给出的斜边、直角边对应相等的条件，列出HL判定所需的对应相等条件，最后根据HL定理得出全等的结论，顺着这个逻辑即可确定排序。
【解析】
证明$\mathrm{Rt}△ DEB ≌ \mathrm{Rt}△ DFC$的逻辑如下：
1. 首先引入已知垂直条件：$\because DE ⊥ AB, DF ⊥ AC$（对应步骤④）；
2. 由垂直的定义可得直角：$\therefore ∠ BED = ∠ CFD = 90°$（对应步骤③），即$△ DEB$和$△ DFC$均为直角三角形；
3. 接下来列出HL判定需要的对应相等条件：$\because$在$\mathrm{Rt}△ DEB$和$\mathrm{Rt}△ DFC$中，$\begin{cases}DB=DC, \\DE=DF,\end{cases}$（对应步骤①）；
4. 最后根据HL判定定理得出全等结论：$\therefore$ $\mathrm{Rt}△ DEB ≌ \mathrm{Rt}△ DFC(\mathrm{HL})$（对应步骤②）。
因此正确的顺序为④→③→①→②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义；直角三角形全等判定(HL)；几何证明逻辑
【点评】
本题考查直角三角形全等证明的步骤排序，核心是理清几何证明的先后逻辑：需先明确所证三角形是直角三角形，再代入对应全等判定的条件，最终得出结论，属于基础类题目，重在考查学生的逻辑梳理能力。
【难度系数】
0.8
要确定证明过程的正确顺序，需遵循几何证明的逻辑：首先利用已知条件推导前置结论，再结合判定定理列出条件，最后得出结论。要证明两个直角三角形全等，首先要说明这两个三角形是直角三角形，因此先从已知的垂直条件入手：先给出已知的垂直关系，再由垂直的定义得到两个三角形的内角为90°，确定二者都是直角三角形后，结合题目给出的斜边、直角边对应相等的条件，列出HL判定所需的对应相等条件，最后根据HL定理得出全等的结论，顺着这个逻辑即可确定排序。
【解析】
证明$\mathrm{Rt}△ DEB ≌ \mathrm{Rt}△ DFC$的逻辑如下：
1. 首先引入已知垂直条件：$\because DE ⊥ AB, DF ⊥ AC$（对应步骤④）；
2. 由垂直的定义可得直角：$\therefore ∠ BED = ∠ CFD = 90°$（对应步骤③），即$△ DEB$和$△ DFC$均为直角三角形；
3. 接下来列出HL判定需要的对应相等条件：$\because$在$\mathrm{Rt}△ DEB$和$\mathrm{Rt}△ DFC$中，$\begin{cases}DB=DC, \\DE=DF,\end{cases}$（对应步骤①）；
4. 最后根据HL判定定理得出全等结论：$\therefore$ $\mathrm{Rt}△ DEB ≌ \mathrm{Rt}△ DFC(\mathrm{HL})$（对应步骤②）。
因此正确的顺序为④→③→①→②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义；直角三角形全等判定(HL)；几何证明逻辑
【点评】
本题考查直角三角形全等证明的步骤排序，核心是理清几何证明的先后逻辑：需先明确所证三角形是直角三角形，再代入对应全等判定的条件，最终得出结论，属于基础类题目，重在考查学生的逻辑梳理能力。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$∠ D = ∠ E = ∠ ACB = 90°$, 能保证$\mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ CEB$成立的条件有 (
①$∠ ABC = 45°$; ②$AD = CE$; ③$AC = 2AD$;
④$CD = BE$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)①$∠ ABC = 45°$; ②$AD = CE$; ③$AC = 2AD$;
④$CD = BE$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5.C
解析
【分析】
首先根据已知的三个直角，利用平角性质和直角三角形两锐角互余，可推导得出Rt△ADC和Rt△CEB的两组锐角分别对应相等，此时要判定两直角三角形全等，只需再满足任意一组对应边相等即可，接下来逐一验证每个条件是否能得到对应边相等，进而判断是否可判定全等。
【解析】
已知$∠ D=∠ E=∠ ACB=90°$，
由平角定义得：$∠ ACD + ∠ BCE = 180° - ∠ ACB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ A + ∠ ACD = 90°$，根据同角的余角相等，得$∠ A=∠ BCE$，同理可得$∠ ACD=∠ B$。
逐个分析条件：
①若$∠ ABC=45°$，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=45°$，故$AC=BC$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中：$\begin{cases}∠ D=∠ E\\∠ A=∠ BCE\\AC=BC\end{cases}$，满足AAS判定，可证$\mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ CEB$，①符合要求；
②若$AD=CE$，在$△ ADC$和$△ CEB$中：$\begin{cases}∠ D=∠ E\\∠ A=∠ BCE\\AD=CE\end{cases}$，满足AAS判定，可证$\mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ CEB$，②符合要求；
③若$AC=2AD$，仅能得出$\mathrm{Rt}△ ADC$中$∠ ACD=30°$，无法得到两三角形对应边相等，不能判定全等，③不符合要求；
④若$CD=BE$，在$△ ADC$和$△ CEB$中：$\begin{cases}∠ D=∠ E\\∠ ACD=∠ B\\CD=BE\end{cases}$，满足AAS判定，可证$\mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ CEB$，④符合要求。
综上，符合条件的有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定，余角的性质，直角三角形性质
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定条件，解题的前提是先利用已知直角推导出两三角形的对应角相等，再结合所给条件逐一验证，要注意排除无法推出对应边相等的干扰条件。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的三个直角，利用平角性质和直角三角形两锐角互余，可推导得出Rt△ADC和Rt△CEB的两组锐角分别对应相等，此时要判定两直角三角形全等，只需再满足任意一组对应边相等即可，接下来逐一验证每个条件是否能得到对应边相等，进而判断是否可判定全等。
【解析】
已知$∠ D=∠ E=∠ ACB=90°$，
由平角定义得：$∠ ACD + ∠ BCE = 180° - ∠ ACB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ A + ∠ ACD = 90°$，根据同角的余角相等，得$∠ A=∠ BCE$，同理可得$∠ ACD=∠ B$。
逐个分析条件：
①若$∠ ABC=45°$，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=45°$，故$AC=BC$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中：$\begin{cases}∠ D=∠ E\\∠ A=∠ BCE\\AC=BC\end{cases}$，满足AAS判定，可证$\mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ CEB$，①符合要求；
②若$AD=CE$，在$△ ADC$和$△ CEB$中：$\begin{cases}∠ D=∠ E\\∠ A=∠ BCE\\AD=CE\end{cases}$，满足AAS判定，可证$\mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ CEB$，②符合要求；
③若$AC=2AD$，仅能得出$\mathrm{Rt}△ ADC$中$∠ ACD=30°$，无法得到两三角形对应边相等，不能判定全等，③不符合要求；
④若$CD=BE$，在$△ ADC$和$△ CEB$中：$\begin{cases}∠ D=∠ E\\∠ ACD=∠ B\\CD=BE\end{cases}$，满足AAS判定，可证$\mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ CEB$，④符合要求。
综上，符合条件的有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定，余角的性质，直角三角形性质
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定条件，解题的前提是先利用已知直角推导出两三角形的对应角相等，再结合所给条件逐一验证，要注意排除无法推出对应边相等的干扰条件。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$CE ⊥ AB$，$DF ⊥ AB$，垂足分别为$E,F$。
(1) 若$AC // DB$，且$AC = DB$，则$△ ACE ≌ △ BDF$，其根据是
(2) 若$AE = BF$，且$CE = DF$，则$△ ACE ≌ △ BDF$，其根据是
(3) 若$AC = DB$，且$AE = BF$，则$△ ACE ≌ △ BDF$，其根据是
(1) 若$AC // DB$，且$AC = DB$，则$△ ACE ≌ △ BDF$，其根据是
AAS
。(2) 若$AE = BF$，且$CE = DF$，则$△ ACE ≌ △ BDF$，其根据是
SAS
。(3) 若$AC = DB$，且$AE = BF$，则$△ ACE ≌ △ BDF$，其根据是
HL
。答案
6.(1)AAS (2)SAS (3)HL
解析
【分析】
本题考查三角形全等的判定，首先由$CE⊥AB$、$DF⊥AB$可得$△ ACE$和$△ BDF$均为直角三角形，且$∠AEC=∠BFD=90°$，再结合每小问给出的额外条件，对应匹配全等三角形的判定定理即可：
(1) 先由$AC// DB$得到内错角相等，结合已知的边相等和直角相等，对应两角及其中一角对边相等的判定规则；
(2) 已知两组直角边对应相等，且夹角为直角，对应两边及夹角相等的判定规则；
(3) 已知斜边和一组直角边对应相等，对应直角三角形特有的全等判定定理。
【解析】
$\because CE⊥AB$，$DF⊥AB$，$\therefore ∠AEC=∠BFD=90°$，$△ ACE$和$△ BDF$都是直角三角形。
(1) $\because AC// DB$，$\therefore ∠A=∠B$，
在$△ ACE$和$△ BDF$中：
$\begin{cases}∠AEC=∠BFD \\∠A=∠B \\AC=DB\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BDF(\mathrm{AAS})$。
(2) 在$△ ACE$和$△ BDF$中：
$\begin{cases}AE=BF \\∠AEC=∠BFD \\CE=DF\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BDF(\mathrm{SAS})$。
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ BDF$中：
$\begin{cases}AC=DB \\AE=BF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE≌\mathrm{Rt}△ BDF(\mathrm{HL})$。
【答案】
(1)$\mathrm{AAS}$ (2)$\mathrm{SAS}$ (3)$\mathrm{HL}$
【知识点】
三角形全等的判定，直角三角形全等的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题时首先要挖掘题目中隐含的直角相等的条件，再结合给出的边、角关系，准确选取对应的全等判定定理，注意直角三角形既可以使用普通三角形的全等判定定理，也可以使用专属的HL判定定理。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形全等的判定，首先由$CE⊥AB$、$DF⊥AB$可得$△ ACE$和$△ BDF$均为直角三角形，且$∠AEC=∠BFD=90°$，再结合每小问给出的额外条件，对应匹配全等三角形的判定定理即可：
(1) 先由$AC// DB$得到内错角相等，结合已知的边相等和直角相等，对应两角及其中一角对边相等的判定规则；
(2) 已知两组直角边对应相等，且夹角为直角，对应两边及夹角相等的判定规则；
(3) 已知斜边和一组直角边对应相等，对应直角三角形特有的全等判定定理。
【解析】
$\because CE⊥AB$，$DF⊥AB$，$\therefore ∠AEC=∠BFD=90°$，$△ ACE$和$△ BDF$都是直角三角形。
(1) $\because AC// DB$，$\therefore ∠A=∠B$，
在$△ ACE$和$△ BDF$中：
$\begin{cases}∠AEC=∠BFD \\∠A=∠B \\AC=DB\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BDF(\mathrm{AAS})$。
(2) 在$△ ACE$和$△ BDF$中：
$\begin{cases}AE=BF \\∠AEC=∠BFD \\CE=DF\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BDF(\mathrm{SAS})$。
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ BDF$中：
$\begin{cases}AC=DB \\AE=BF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE≌\mathrm{Rt}△ BDF(\mathrm{HL})$。
【答案】
(1)$\mathrm{AAS}$ (2)$\mathrm{SAS}$ (3)$\mathrm{HL}$
【知识点】
三角形全等的判定，直角三角形全等的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题时首先要挖掘题目中隐含的直角相等的条件，再结合给出的边、角关系，准确选取对应的全等判定定理，注意直角三角形既可以使用普通三角形的全等判定定理，也可以使用专属的HL判定定理。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$MN// PQ$，$AB⊥ PQ$，点$A$，$D$在直线$MN$上，点$B$，$C$在直线$PQ$上，点$E$在$AB$上，$AD+BC=7$，$AD=EB$，$DE=EC$，则$AB=$
7
。答案
7.7
解析
【分析】
解题思路：首先根据平行线的性质和AB垂直PQ的条件，可得△ADE和△BEC都是直角三角形；再结合已知的两组边相等（DE=EC、AD=EB），利用HL定理证明两个直角三角形全等；由全等性质得到AE=BC，最后将AB拆分为AE+EB，等量代换为AD+BC即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$MN// PQ$，$AB⊥ PQ$，
∴$AB⊥ MN$，即$∠ DAE=∠ EBC=90°$，$△ ADE$和$△ BEC$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中：
$\begin{cases}DE=EC（已知）\\AD=EB（已知）\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$，
∴$AE=BC$（全等三角形对应边相等）。
∵$AB=AE+EB$，且$EB=AD$，
∴$AB=BC+AD$，
又
∵$AD+BC=7$，
∴$AB=7$。
【答案】
7
【知识点】
平行线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用题型，解题的核心是通过证明三角形全等实现线段的等量转化，将未知线段AB与已知的线段和建立联系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据平行线的性质和AB垂直PQ的条件，可得△ADE和△BEC都是直角三角形；再结合已知的两组边相等（DE=EC、AD=EB），利用HL定理证明两个直角三角形全等；由全等性质得到AE=BC，最后将AB拆分为AE+EB，等量代换为AD+BC即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$MN// PQ$，$AB⊥ PQ$，
∴$AB⊥ MN$，即$∠ DAE=∠ EBC=90°$，$△ ADE$和$△ BEC$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中：
$\begin{cases}DE=EC（已知）\\AD=EB（已知）\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$，
∴$AE=BC$（全等三角形对应边相等）。
∵$AB=AE+EB$，且$EB=AD$，
∴$AB=BC+AD$，
又
∵$AD+BC=7$，
∴$AB=7$。
【答案】
7
【知识点】
平行线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用题型，解题的核心是通过证明三角形全等实现线段的等量转化，将未知线段AB与已知的线段和建立联系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F,且$BE = CF$.求证$∠ B = ∠ C$.完成下面的证明过程.
证明:$\because \quad DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,$
$\therefore \quad ∠ BED = \_\_\_\_\_\_ = 90°.$
$\because \quad D是BC的中点,$
$\therefore \quad BD = \_\_\_\_\_\_.$
又 $\quad BE = CF,$
$\therefore \quad \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\_\_\_\_\_\_).$
$\therefore \quad ∠ B = ∠ C.$
证明:$\because \quad DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,$
$\therefore \quad ∠ BED = \_\_\_\_\_\_ = 90°.$
$\because \quad D是BC的中点,$
$\therefore \quad BD = \_\_\_\_\_\_.$
又 $\quad BE = CF,$
$\therefore \quad \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\_\_\_\_\_\_).$
$\therefore \quad ∠ B = ∠ C.$
答案
8.∠CFD CD HL
解析
【分析】
要完成本题的证明填空，可按照证明的逻辑逐步推导：首先由垂直的定义可得两个直角相等，因此第一个空对应DF垂直AC得到的直角；再根据中点的定义，BC的中点D将BC分为两条相等的线段，可得第二个空的内容；最后结合已知的边相等的条件，判断直角三角形全等的判定定理，填出第三个空，全等后对应角相等即可得证结论。
【解析】
证明：$\because \quad DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,$
$\therefore \quad ∠ BED = \underline{∠CFD} = 90°.$（垂直的定义）
$\because \quad D是BC的中点,$
$\therefore \quad BD = \underline{CD}.$（中点的定义）
又 $\quad BE = CF,$
$\therefore \quad \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\underline{HL}).$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）
$\therefore \quad ∠ B = ∠ C.$（全等三角形对应角相等）
【答案】
$∠ CFD$；$CD$；$\mathrm{HL}$
【知识点】
HL定理；全等三角形的性质；中点的定义
【点评】
本题属于基础的几何证明填空题目，重点考查直角三角形全等的判定方法，解题时只需结合已知条件顺着证明逻辑逐步推导，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要完成本题的证明填空，可按照证明的逻辑逐步推导：首先由垂直的定义可得两个直角相等，因此第一个空对应DF垂直AC得到的直角；再根据中点的定义，BC的中点D将BC分为两条相等的线段，可得第二个空的内容；最后结合已知的边相等的条件，判断直角三角形全等的判定定理，填出第三个空，全等后对应角相等即可得证结论。
【解析】
证明：$\because \quad DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,$
$\therefore \quad ∠ BED = \underline{∠CFD} = 90°.$（垂直的定义）
$\because \quad D是BC的中点,$
$\therefore \quad BD = \underline{CD}.$（中点的定义）
又 $\quad BE = CF,$
$\therefore \quad \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\underline{HL}).$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）
$\therefore \quad ∠ B = ∠ C.$（全等三角形对应角相等）
【答案】
$∠ CFD$；$CD$；$\mathrm{HL}$
【知识点】
HL定理；全等三角形的性质；中点的定义
【点评】
本题属于基础的几何证明填空题目，重点考查直角三角形全等的判定方法，解题时只需结合已知条件顺着证明逻辑逐步推导，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
9. 如图，$∠ A = ∠ B = 90°$，$E$是$AB$上的一点，且$AE = BC$，$DE = EC$，求证$AB = BC + AD$。
答案
9.$\because \quad ∠A=∠B=90°,$
$\therefore \quad △ADE$ 和 $△BEC$ 均为直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△BEC$ 中，
$\begin{cases}DE=EC, \\AE=BC,\end{cases}$
$\therefore \quad \mathrm{Rt}△ADE ≌ \mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$
$\therefore \quad AD=BE.$
$\because \quad AB=AE+BE,$
$\therefore \quad AB=BC+AD.$
$\therefore \quad △ADE$ 和 $△BEC$ 均为直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△BEC$ 中，
$\begin{cases}DE=EC, \\AE=BC,\end{cases}$
$\therefore \quad \mathrm{Rt}△ADE ≌ \mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$
$\therefore \quad AD=BE.$
$\because \quad AB=AE+BE,$
$\therefore \quad AB=BC+AD.$
解析
【分析】
要证明$AB=BC+AD$，首先观察线段$AB$的构成：$AB=AE+BE$，已知$AE=BC$，因此只需证明$BE=AD$即可。$AD$和$BE$分别在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△BEC$中，已知两个三角形的斜边$DE=EC$、一组直角边$AE=BC$，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此先证两个直角三角形全等，得到$AD=BE$，再通过等量代换就能推导得出结论。
【解析】
$\because \quad ∠A=∠B=90°,$
$\therefore \quad △ADE$ 和 $△BEC$ 均为直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△BEC$ 中，
$\begin{cases}DE=EC, \\AE=BC,\end{cases}$
$\therefore \quad \mathrm{Rt}△ADE ≌ \mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$
$\therefore \quad AD=BE.$
$\because \quad AB=AE+BE,$
$\therefore \quad AB=BC+AD.$
【答案】
$AB=BC+AD$，得证
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质、等量代换
【点评】
本题是直角三角形全等判定的典型基础题，解题核心是先分析待证线段的拆分关系，结合已知条件选择合适的全等判定定理证明三角形全等，再通过等线段代换得到结论，熟练掌握HL定理的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明$AB=BC+AD$，首先观察线段$AB$的构成：$AB=AE+BE$，已知$AE=BC$，因此只需证明$BE=AD$即可。$AD$和$BE$分别在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△BEC$中，已知两个三角形的斜边$DE=EC$、一组直角边$AE=BC$，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此先证两个直角三角形全等，得到$AD=BE$，再通过等量代换就能推导得出结论。
【解析】
$\because \quad ∠A=∠B=90°,$
$\therefore \quad △ADE$ 和 $△BEC$ 均为直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△BEC$ 中，
$\begin{cases}DE=EC, \\AE=BC,\end{cases}$
$\therefore \quad \mathrm{Rt}△ADE ≌ \mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$
$\therefore \quad AD=BE.$
$\because \quad AB=AE+BE,$
$\therefore \quad AB=BC+AD.$
【答案】
$AB=BC+AD$，得证
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质、等量代换
【点评】
本题是直角三角形全等判定的典型基础题，解题核心是先分析待证线段的拆分关系，结合已知条件选择合适的全等判定定理证明三角形全等，再通过等线段代换得到结论，熟练掌握HL定理的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8
