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|变式训练|
2.某船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回，到达A，B两码头之间的C码头，一共航行了7 h.已知此船在静水中的速度为7.5 km/h，水流速度为2.5 km/h，A，C两码头之间的距离为10 km，求A，B两码头之间的距离.
2.某船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回，到达A，B两码头之间的C码头，一共航行了7 h.已知此船在静水中的速度为7.5 km/h，水流速度为2.5 km/h，A，C两码头之间的距离为10 km，求A，B两码头之间的距离.
答案
A,B两码头之间的距离为30 km.
解析
【分析】
这是一道顺逆流类的行程问题，解题首先要明确两个核心公式：顺流航行速度=船在静水中速度+水流速度，逆流航行速度=船在静水中速度-水流速度。本题的等量关系为：船从A顺流到B的航行时间 + 船从B逆流到C的航行时间 = 总航行时间7h。我们可以设A、B两码头之间的距离为x km，先表示出B、C之间的距离为(x-10)km，再根据“时间=路程÷速度”分别表示出两段航行的时间，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设A、B两码头之间的距离为$x$ km，则B、C两码头之间的距离为$(x - 10)$ km。
由题意计算航行速度：
顺流航行速度：$7.5 + 2.5 = 10$ (km/h)
逆流航行速度：$7.5 - 2.5 = 5$ (km/h)
根据总航行时间为7h列方程：
$\frac{x}{10} + \frac{x - 10}{5} = 7$
去分母（两边同时乘10），得：
$x + 2(x - 10) = 70$
去括号，得：
$x + 2x - 20 = 70$
移项、合并同类项，得：
$3x = 90$
系数化为1，得：
$x = 30$
【答案】
A,B两码头之间的距离为30 km.
【知识点】
顺逆流行程问题；一元一次方程的应用；解一元一次方程（去分母）
【点评】
本题是行程类应用题的经典题型，解题关键是准确计算顺流、逆流的航行速度，再抓住总时间的等量关系列方程，计算去分母时注意不要漏乘不含分母的常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
这是一道顺逆流类的行程问题，解题首先要明确两个核心公式：顺流航行速度=船在静水中速度+水流速度，逆流航行速度=船在静水中速度-水流速度。本题的等量关系为：船从A顺流到B的航行时间 + 船从B逆流到C的航行时间 = 总航行时间7h。我们可以设A、B两码头之间的距离为x km，先表示出B、C之间的距离为(x-10)km，再根据“时间=路程÷速度”分别表示出两段航行的时间，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设A、B两码头之间的距离为$x$ km，则B、C两码头之间的距离为$(x - 10)$ km。
由题意计算航行速度：
顺流航行速度：$7.5 + 2.5 = 10$ (km/h)
逆流航行速度：$7.5 - 2.5 = 5$ (km/h)
根据总航行时间为7h列方程：
$\frac{x}{10} + \frac{x - 10}{5} = 7$
去分母（两边同时乘10），得：
$x + 2(x - 10) = 70$
去括号，得：
$x + 2x - 20 = 70$
移项、合并同类项，得：
$3x = 90$
系数化为1，得：
$x = 30$
【答案】
A,B两码头之间的距离为30 km.
【知识点】
顺逆流行程问题；一元一次方程的应用；解一元一次方程（去分母）
【点评】
本题是行程类应用题的经典题型，解题关键是准确计算顺流、逆流的航行速度，再抓住总时间的等量关系列方程，计算去分母时注意不要漏乘不含分母的常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
【例3】某图书有一道解方程的题：$\frac{1+□ x}{3}+3=x$，$□$处在印刷时被油墨盖住了，查阅后面的答案知这个方程的解是$x=-2$，那么$□$处应该是多少？
解：
【规律方法】
解决此类问题时，只需将原方程的解代入原方程，将被覆盖的数看作新的未知数，再解新方程即可。
变式训练
解：
【规律方法】
解决此类问题时，只需将原方程的解代入原方程，将被覆盖的数看作新的未知数，再解新方程即可。
变式训练
答案
8.
解析
【分析】
我们知道使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此已知x=-2是原方程的解，说明将x=-2代入原方程后等式一定成立。我们可以先把被油墨盖住的数设为未知字母a，将x=-2代入原方程后，原方程就转化为只含未知数a的一元一次方程，按解一元一次方程的步骤求解即可得到处的数字。
【解析】
解：设处的数为a，则原方程为$\frac{1+ax}{3}+3=x$。
∵ $x=-2$是方程的解，将$x=-2$代入方程得：
$\frac{1 - 2a}{3} + 3 = -2$
去分母，两边同时乘3：
$1 - 2a + 9 = -6$
合并同类项：
$10 - 2a = -6$
移项：
$-2a = -6 - 10$
$-2a = -16$
系数化为1：
$a=8$
【答案】
8
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是已知方程的解求未知参数的典型题型，解题核心是将方程的解代入原方程，把待求参数当作新的未知数求解，计算时要注意去分母不要漏乘不含分母的常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
我们知道使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此已知x=-2是原方程的解，说明将x=-2代入原方程后等式一定成立。我们可以先把被油墨盖住的数设为未知字母a，将x=-2代入原方程后，原方程就转化为只含未知数a的一元一次方程，按解一元一次方程的步骤求解即可得到处的数字。
【解析】
解：设处的数为a，则原方程为$\frac{1+ax}{3}+3=x$。
∵ $x=-2$是方程的解，将$x=-2$代入方程得：
$\frac{1 - 2a}{3} + 3 = -2$
去分母，两边同时乘3：
$1 - 2a + 9 = -6$
合并同类项：
$10 - 2a = -6$
移项：
$-2a = -6 - 10$
$-2a = -16$
系数化为1：
$a=8$
【答案】
8
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是已知方程的解求未知参数的典型题型，解题核心是将方程的解代入原方程，把待求参数当作新的未知数求解，计算时要注意去分母不要漏乘不含分母的常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
3.小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数被墨水污染了：$\frac{x+1}{2} - \frac{5x - ■}{3} = -\frac{1}{2}$，“■”表示被污染的数，翻开书后面的答案，发现这个方程的解是$x=2$，那么被污染的数是多少？
答案
被污染的数是4.
解析
【分析】
本题是已知方程的解求方程中未知参数的问题，解题思路如下：首先回忆方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。我们可以先设被污染的数为字母参数，再把已知的解x=2代入原方程，此时原方程就转化为只含有这个参数的一元一次方程，最后按照解一元一次方程的步骤求解参数，就能得到被污染的数。
【解析】
设被污染的数为$ m $。
因为$ x=2 $是方程$\frac{x+1}{2} - \frac{5x - m}{3} = -\frac{1}{2}$的解，所以将$ x=2 $代入方程，左右两边相等，可得：
$\frac{2+1}{2} - \frac{5×2 - m}{3} = -\frac{1}{2}$
整理得：$\frac{3}{2} - \frac{10 - m}{3} = -\frac{1}{2}$
去分母（两边同乘6，消去分母）：
$6×\frac{3}{2} - 6×\frac{10 - m}{3} = 6×(-\frac{1}{2})$
计算得：$9 - 2(10 - m) = -3$
去括号：$9 - 20 + 2m = -3$
合并同类项：$-11 + 2m = -3$
移项：$2m = -3 + 11$
计算得：$2m = 8$
系数化为1：$m = 4$
【答案】
被污染的数是4.
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程的解的含义将问题转化为常规的一元一次方程求解，解题时注意去分母、去括号的符号规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是已知方程的解求方程中未知参数的问题，解题思路如下：首先回忆方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。我们可以先设被污染的数为字母参数，再把已知的解x=2代入原方程，此时原方程就转化为只含有这个参数的一元一次方程，最后按照解一元一次方程的步骤求解参数，就能得到被污染的数。
【解析】
设被污染的数为$ m $。
因为$ x=2 $是方程$\frac{x+1}{2} - \frac{5x - m}{3} = -\frac{1}{2}$的解，所以将$ x=2 $代入方程，左右两边相等，可得：
$\frac{2+1}{2} - \frac{5×2 - m}{3} = -\frac{1}{2}$
整理得：$\frac{3}{2} - \frac{10 - m}{3} = -\frac{1}{2}$
去分母（两边同乘6，消去分母）：
$6×\frac{3}{2} - 6×\frac{10 - m}{3} = 6×(-\frac{1}{2})$
计算得：$9 - 2(10 - m) = -3$
去括号：$9 - 20 + 2m = -3$
合并同类项：$-11 + 2m = -3$
移项：$2m = -3 + 11$
计算得：$2m = 8$
系数化为1：$m = 4$
【答案】
被污染的数是4.
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程的解的含义将问题转化为常规的一元一次方程求解，解题时注意去分母、去括号的符号规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
