学习任务 解含有分数系数的一元一次方程
解含有分数系数的一元一次方程的一般步骤：
(1)；
(2)去括号；
(3)；
(4)合并；
(5)系数.

(1)去分母；(3)移项；(4)同类项；(5)化为1

【分析】
本题考查含有分数系数的一元一次方程的求解步骤，我们可以按照求解的先后逻辑逐一回忆对应步骤名称：首先方程有分数系数时，优先通过去分母将系数转化为整数，降低计算难度；去括号后，需要将含未知数的项和常数项分别移动到等号的两侧，即移项；移动完成后要把相同类型的代数式合并，简化方程；最后将未知数的系数调整为1，即可得到方程的解。
【解析】
根据解含有分数系数的一元一次方程的固定步骤：
(1) 第一步先去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数，将分数系数化为整数系数；
(2) 第二步去括号；
(3) 第三步移项，将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到等号另一侧，注意移项要变号；
(4) 第四步合并同类项，将等号两侧的同类项分别合并，把方程化为$ax=b(a≠0)$的形式；
(5) 第五步系数化为1，方程两边同时除以未知数的系数$a$，得到方程的解$x=\frac{b}{a}$。
据此对应填空即可。
【答案】
(1)去分母；(3)移项；(4)同类项；(5)化为1
【知识点】
解一元一次方程的步骤；去分母；移项
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考察解含分数系数一元一次方程的流程，熟练掌握每一步的操作规范和注意事项，是准确求解一元一次方程的核心基础。
【难度系数】
0.9

【例1】解下列方程：
(1) $y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y+2$；
(2) $\frac{x-1}{4}-\frac{2x+1}{3}=1$。
解：

解：
(1) 移项，得
$y - \frac{1}{2}y = 2 - \frac{1}{2}$
合并同类项，得
$\frac{1}{2}y = \frac{3}{2}$
系数化为1，得
$y = 3$
(2) 去分母（两边同乘12），得
$3(x-1) - 4(2x+1) = 12$
去括号，得
$3x - 3 - 8x - 4 = 12$
移项，得
$3x - 8x = 12 + 3 + 4$
合并同类项，得
$-5x = 19$
系数化为1，得
$x = -\frac{19}{5}$

【分析】
这两道题是一元一次方程求解的基础题型，按照一元一次方程的标准步骤思考即可：
1. 第(1)题没有分母，首先移项，把含未知数的项移到方程左侧、常数项移到右侧，注意移项要变号；再合并同类项；最后将未知数的系数化为1就能得到解。
2. 第(2)题含有分母，第一步先去分母，两边同乘两个分母的最小公倍数12，注意不要漏乘右侧不含分母的常数项1；之后去括号，括号前是负号时括号内每一项都要变号；再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤依次计算即可。
【解析】
(1) 移项，得
$y - \frac{1}{2}y = 2 - \frac{1}{2}$
合并同类项，得
$\frac{1}{2}y = \frac{3}{2}$
系数化为1，得
$y = 3$
(2) 去分母（两边同乘12），得
$3(x-1) - 4(2x+1) = 12$
去括号，得
$3x - 3 - 8x - 4 = 12$
移项，得
$3x - 8x = 12 + 3 + 4$
合并同类项，得
$-5x = 19$
系数化为1，得
$x = -\frac{19}{5}$
【答案】
(1) $y=3$；(2) $x=-\frac{19}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法，等式的性质，去括号去分母法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题，核心是掌握规范的求解步骤，解题时需注意细节：去分母不要漏乘常数项，移项、去括号时要注意符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.75

1.解下列方程：
(1)$\frac{x+3}{3} - \frac{x+1}{2} = 1$；
(2)$\frac{10x}{7} - 1 = \frac{17 - 20x}{3}$。

(1)$x=-3$. (2)$x=\frac{14}{17}$.

【分析】
这两道题都是含分母的一元一次方程，解题核心思路是利用等式的性质去掉分母，转化为不含分母的一元一次方程，再按“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的常规步骤求解。思考时第一步先找各方程中分母的最小公倍数，方程两边同乘该最小公倍数即可去分母，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号要注意符号变化。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x+3}{3} - \frac{x+1}{2} = 1$
第一步：去分母，两边同乘3和2的最小公倍数6，得：
$2(x+3) - 3(x+1) = 6$
第二步：去括号，得：
$2x + 6 - 3x - 3 = 6$
第三步：移项，得：
$2x - 3x = 6 - 6 + 3$
第四步：合并同类项，得：
$-x = 3$
第五步：系数化为1，得：
$x = -3$
(2) 解方程$\frac{10x}{7} - 1 = \frac{17 - 20x}{3}$
第一步：去分母，两边同乘7和3的最小公倍数21，得：
$3×10x - 21×1 = 7×(17 - 20x)$
化简得：$30x - 21 = 119 - 140x$
第二步：移项，得：
$30x + 140x = 119 + 21$
第三步：合并同类项，得：
$170x = 140$
第四步：系数化为1，得：
$x = \frac{14}{17}$
【答案】
(1)$x=-3$；(2)$x=\frac{14}{17}$
【知识点】
1. 解一元一次方程（去分母）；2. 等式的性质；3. 去括号法则
【点评】
这两道题是解一元一次方程的常规基础题型，重点考查去分母的操作规范，解题时需注意去分母时不要漏乘常数项，去括号、移项时注意符号变化，熟练掌握步骤即可准确求解。
【难度系数】
0.8

【例2】某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时20天。已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道（设甲工程队整治了x m的河道）。
解：
一题多变
（改变结论）其他条件不变，甲、乙两工程队各整治河道多少天？

甲工程队整治了120 m的河道，乙工程队整治了240 m的河道。
一题多变解:甲工程队整治河道5天，乙工程队整治河道15天。

【分析】
本题属于一元一次方程的工程应用问题，解题核心是找准等量关系列方程。原题已设甲整治x m河道，那么乙整治的河道长度为(360-x)m，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示甲、乙的工作时间，利用“总用时20天”作为等量关系列方程，求解后即可得到甲乙的整治长度。一题多变可设甲的整治天数为未知数，用总天数表示乙的整治天数，利用“总工作量360m”为等量关系列方程求解即可。
【解析】
原题解答：
设甲工程队整治了$x$ m的河道，则乙工程队整治了$(360-x)$ m的河道。
根据甲乙总用时为20天，列方程：
$\frac{x}{24}+\frac{360-x}{16}=20$
去分母（两边同时乘48）得：$2x + 3(360-x)=960$
去括号得：$2x + 1080 - 3x = 960$
移项、合并同类项得：$-x=-120$
系数化为1得：$x=120$
乙工程队整治长度：$360-120=240$（m）
一题多变解答：
设甲工程队整治河道$y$天，则乙工程队整治河道$(20-y)$天。
根据甲乙总整治长度为360m，列方程：
$24y + 16(20-y)=360$
去括号得：$24y + 320 - 16y = 360$
移项、合并同类项得：$8y=40$
系数化为1得：$y=5$
乙工程队整治天数：$20-5=15$（天）
【答案】
原题：甲工程队整治了120 m的河道，乙工程队整治了240 m的河道。
一题多变：甲工程队整治河道5天，乙工程队整治河道15天。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 解一元一次方程（去分母）
3. 工程问题数量关系
【点评】
本题是一元一次方程应用的典型工程类题型，解题关键是准确找到题目中的不变量作为等量关系列方程，运算过程中要注意去分母、去括号的运算规则，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.75