登录
17.(本题12分,每小题4分) 解下列方程:
(1)$5x - 3 = 3x + 9$;
(2)$\frac{3x - 7}{2} - \frac{1 + x}{3} = 1$;
(3)$1 + \frac{x - 1}{2} = \frac{x + 2}{6}$.
(1)$5x - 3 = 3x + 9$;
(2)$\frac{3x - 7}{2} - \frac{1 + x}{3} = 1$;
(3)$1 + \frac{x - 1}{2} = \frac{x + 2}{6}$.
答案
17. (1)$x = 6$ (2)$x = \dfrac{29}{7}$ (3)$x = - 0.5$
解析
【分析】
本题三道小题均为一元一次方程求解，遵循一元一次方程的通用解题思路即可：1.若方程含分母，先给方程左右两边所有项同时乘各分母的最小公倍数去分母，注意不要漏乘常数项；2.若有括号则去括号，括号前为负号时括号内每一项都要变号；3.移项，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；4.合并同类项；5.将未知数的系数化为1，得到方程的解。第(1)题无分母、括号，可直接从移项步骤开始计算，第(2)(3)题需先去分母再按步骤计算。
【解析】
(1) 解：
移项，得 $5x - 3x = 9 + 3$
合并同类项，得 $2x = 12$
系数化为1，得 $x = 6$
(2) 解：
去分母（两边同乘6），得 $3(3x - 7) - 2(1 + x) = 6$
去括号，得 $9x - 21 - 2 - 2x = 6$
移项，得 $9x - 2x = 6 + 21 + 2$
合并同类项，得 $7x = 29$
系数化为1，得 $x = \dfrac{29}{7}$
(3) 解：
去分母（两边同乘6），得 $6 + 3(x - 1) = x + 2$
去括号，得 $6 + 3x - 3 = x + 2$
移项，得 $3x - x = 2 - 6 + 3$
合并同类项，得 $2x = -1$
系数化为1，得 $x = -0.5$
【答案】
(1)$x = 6$；(2)$x = \dfrac{29}{7}$；(3)$x = - 0.5$
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的基本性质、去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的常规基础题，主要考查标准解题步骤的掌握程度，易错点为去分母时漏乘常数项、去括号或移项时符号出错，解题时按步骤计算、做完注意验算即可避免失误。
【难度系数】
0.8
本题三道小题均为一元一次方程求解，遵循一元一次方程的通用解题思路即可：1.若方程含分母，先给方程左右两边所有项同时乘各分母的最小公倍数去分母，注意不要漏乘常数项；2.若有括号则去括号，括号前为负号时括号内每一项都要变号；3.移项，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；4.合并同类项；5.将未知数的系数化为1，得到方程的解。第(1)题无分母、括号，可直接从移项步骤开始计算，第(2)(3)题需先去分母再按步骤计算。
【解析】
(1) 解：
移项，得 $5x - 3x = 9 + 3$
合并同类项，得 $2x = 12$
系数化为1，得 $x = 6$
(2) 解：
去分母（两边同乘6），得 $3(3x - 7) - 2(1 + x) = 6$
去括号，得 $9x - 21 - 2 - 2x = 6$
移项，得 $9x - 2x = 6 + 21 + 2$
合并同类项，得 $7x = 29$
系数化为1，得 $x = \dfrac{29}{7}$
(3) 解：
去分母（两边同乘6），得 $6 + 3(x - 1) = x + 2$
去括号，得 $6 + 3x - 3 = x + 2$
移项，得 $3x - x = 2 - 6 + 3$
合并同类项，得 $2x = -1$
系数化为1，得 $x = -0.5$
【答案】
(1)$x = 6$；(2)$x = \dfrac{29}{7}$；(3)$x = - 0.5$
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的基本性质、去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的常规基础题，主要考查标准解题步骤的掌握程度，易错点为去分母时漏乘常数项、去括号或移项时符号出错，解题时按步骤计算、做完注意验算即可避免失误。
【难度系数】
0.8
18.（6分）求$3x^2 + x + 3(x^2 - \frac{2}{3}x) - (6x^2 + x)$的值，其中$x=-6$。
答案
18.12
解析
【分析】
拿到这类整式求值题，不要直接代入数值计算，避免计算量大易出错，正确解题思路如下：第一步先根据去括号法则去掉原式中的所有括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和指数保持不变，把整式化为最简形式；第三步将x的值代入最简整式计算结果，计算过程更简便、准确率更高。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3x^2 + x + 3x^2 - 2x - (6x^2 + x)\\&=3x^2 + x + 3x^2 - 2x - 6x^2 - x\\&=(3x^2+3x^2-6x^2)+(x-2x-x)\\&=-2x\end{aligned}$
当$x=-6$时，
$\mathrm{原式}=-2×(-6)=12$
【答案】
12
【知识点】
整式化简求值，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式加减运算的常规题型，解题核心是先化简再代入求值，能有效降低计算复杂度，减少运算错误，重点考查去括号时的符号处理和同类项合并的准确性。
【难度系数】
0.85
拿到这类整式求值题，不要直接代入数值计算，避免计算量大易出错，正确解题思路如下：第一步先根据去括号法则去掉原式中的所有括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和指数保持不变，把整式化为最简形式；第三步将x的值代入最简整式计算结果，计算过程更简便、准确率更高。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3x^2 + x + 3x^2 - 2x - (6x^2 + x)\\&=3x^2 + x + 3x^2 - 2x - 6x^2 - x\\&=(3x^2+3x^2-6x^2)+(x-2x-x)\\&=-2x\end{aligned}$
当$x=-6$时，
$\mathrm{原式}=-2×(-6)=12$
【答案】
12
【知识点】
整式化简求值，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式加减运算的常规题型，解题核心是先化简再代入求值，能有效降低计算复杂度，减少运算错误，重点考查去括号时的符号处理和同类项合并的准确性。
【难度系数】
0.85
19.(7分)如图,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC.
(1)分别写出图中与∠AOM互余和互补的角；
(2)已知OE平分∠BON,且∠EON=20°,求∠AOM的度数.
(1)分别写出图中与∠AOM互余和互补的角；
(2)已知OE平分∠BON,且∠EON=20°,求∠AOM的度数.
答案
19. (1) 与 $∠AOM$ 互余的角是 $∠COM,∠BON$,互补的角是 $∠AON$. (2)$50°$
解析
【分析】
(1) 求解互余、互补的角先明确定义：两个角和为90°则互余，和为180°则互补。首先由AO⊥BC可得∠AOC=90°，可推出∠AOM与∠COM互余，再结合对顶角相等找到与∠COM相等的角，即可得到所有和∠AOM互余的角；互补的角只需找与∠AOM相加等于平角180°的角即可。
(2) 先根据角平分线的定义求出∠BON的度数，再利用对顶角相等得到∠COM的度数，最后结合AO⊥BC得到的∠AOC=90°，通过角的和差关系即可求出∠AOM的度数。
【解析】
(1) 互余的角推导：
∵ AO⊥BC，
∴ ∠AOC=90°，即∠AOM + ∠COM = 90°，故∠COM与∠AOM互余；
又
∵ ∠COM与∠BON是对顶角，
∴ ∠COM=∠BON，因此∠BON也与∠AOM互余。
互补的角推导：
∵ 点M、O、N在同一直线上，∠MON为平角，即∠AOM + ∠AON = 180°，故∠AON与∠AOM互补。
(2) 解：
∵ OE平分∠BON，
∴ ∠BON = 2∠EON，
将∠EON=20°代入得：∠BON=2×20°=40°，
∵ ∠COM与∠BON是对顶角，
∴ ∠COM=∠BON=40°，
又
∵ AO⊥BC，
∴ ∠AOC=90°，
∴ ∠AOM = ∠AOC - ∠COM = 90° - 40° = 50°。
【答案】
(1) 与∠AOM互余的角是∠COM，∠BON；互补的角是∠AON
(2) $50°$
【知识点】
余角和补角；对顶角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题核心是结合图形找准角之间的数量关系，熟练掌握基本几何定义和性质就能快速求解。
【难度系数】
0.75
(1) 求解互余、互补的角先明确定义：两个角和为90°则互余，和为180°则互补。首先由AO⊥BC可得∠AOC=90°，可推出∠AOM与∠COM互余，再结合对顶角相等找到与∠COM相等的角，即可得到所有和∠AOM互余的角；互补的角只需找与∠AOM相加等于平角180°的角即可。
(2) 先根据角平分线的定义求出∠BON的度数，再利用对顶角相等得到∠COM的度数，最后结合AO⊥BC得到的∠AOC=90°，通过角的和差关系即可求出∠AOM的度数。
【解析】
(1) 互余的角推导：
∵ AO⊥BC，
∴ ∠AOC=90°，即∠AOM + ∠COM = 90°，故∠COM与∠AOM互余；
又
∵ ∠COM与∠BON是对顶角，
∴ ∠COM=∠BON，因此∠BON也与∠AOM互余。
互补的角推导：
∵ 点M、O、N在同一直线上，∠MON为平角，即∠AOM + ∠AON = 180°，故∠AON与∠AOM互补。
(2) 解：
∵ OE平分∠BON，
∴ ∠BON = 2∠EON，
将∠EON=20°代入得：∠BON=2×20°=40°，
∵ ∠COM与∠BON是对顶角，
∴ ∠COM=∠BON=40°，
又
∵ AO⊥BC，
∴ ∠AOC=90°，
∴ ∠AOM = ∠AOC - ∠COM = 90° - 40° = 50°。
【答案】
(1) 与∠AOM互余的角是∠COM，∠BON；互补的角是∠AON
(2) $50°$
【知识点】
余角和补角；对顶角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题核心是结合图形找准角之间的数量关系，熟练掌握基本几何定义和性质就能快速求解。
【难度系数】
0.75
