登录
1.(1)如图,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是
(2)设该正方形的边长为$a$,则$a^2=$
(3)$a$确实存在,$a$既
10
.(2)设该正方形的边长为$a$,则$a^2=$
10
.(3)$a$确实存在,$a$既
不是
整数,也不是
分数,所以$a$不是
有理数.(填“是”或“不是”)答案
(1)10 (2)10 (3)不是 不是 不是
解析
【分析】
解题分三步思考：1. 求正方形面积时，首先明确正方形的边长是直角三角形的斜边，已知直角三角形两条直角边分别为3和1，可先用勾股定理求出斜边的平方，斜边的平方就是正方形的面积；2. 第二问中a是正方形边长，a²就是正方形的面积，和第一问结果一致；3. 第三问根据有理数的分类，整数和分数统称有理数，先判断a是否为整数（看有没有整数的平方等于10），再判断是否为分数（分数的平方仍是分数，不可能等于整数10），进而判断是否为有理数。
【解析】
(1) 由图可知直角三角形的两条直角边长分别为1和3，根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，即$\mathrm{斜边}^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$。
因为正方形的边长等于该直角三角形的斜边，所以正方形的面积 = 边长² = 斜边² = 10。
(2) 正方形的边长为$a$，所以$a^2$就是正方形的面积，结合(1)的结论可得$a^2=10$。
(3) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜10＜16$，所以不存在整数的平方为10，因此$a$不是整数；
又因为任意分数的平方仍然是分数，不可能等于整数10，所以$a$也不是分数；
而有理数是整数和分数的统称，因此$a$不是有理数。
【答案】
(1)10 (2)10 (3)不是 不是 不是
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；有理数的概念
【点评】
本题属于基础概念应用题，将勾股定理的计算和有理数的分类结合考察，难度较低，只要熟练掌握勾股定理的运算和有理数的定义即可快速作答，也能帮助大家更好地理解无理数的本质特征。
【难度系数】
0.8
解题分三步思考：1. 求正方形面积时，首先明确正方形的边长是直角三角形的斜边，已知直角三角形两条直角边分别为3和1，可先用勾股定理求出斜边的平方，斜边的平方就是正方形的面积；2. 第二问中a是正方形边长，a²就是正方形的面积，和第一问结果一致；3. 第三问根据有理数的分类，整数和分数统称有理数，先判断a是否为整数（看有没有整数的平方等于10），再判断是否为分数（分数的平方仍是分数，不可能等于整数10），进而判断是否为有理数。
【解析】
(1) 由图可知直角三角形的两条直角边长分别为1和3，根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，即$\mathrm{斜边}^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$。
因为正方形的边长等于该直角三角形的斜边，所以正方形的面积 = 边长² = 斜边² = 10。
(2) 正方形的边长为$a$，所以$a^2$就是正方形的面积，结合(1)的结论可得$a^2=10$。
(3) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜10＜16$，所以不存在整数的平方为10，因此$a$不是整数；
又因为任意分数的平方仍然是分数，不可能等于整数10，所以$a$也不是分数；
而有理数是整数和分数的统称，因此$a$不是有理数。
【答案】
(1)10 (2)10 (3)不是 不是 不是
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；有理数的概念
【点评】
本题属于基础概念应用题，将勾股定理的计算和有理数的分类结合考察，难度较低，只要熟练掌握勾股定理的运算和有理数的定义即可快速作答，也能帮助大家更好地理解无理数的本质特征。
【难度系数】
0.8
2.如图，等腰三角形ABC的底边长为4，底边上的高AD长为1，则腰AB的长度b满足什么条件，b可能是有理数吗？
答案
解:$\because AB=AC,AD⊥ BC,\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2. \therefore b^2=AD^2+BD^2=5. \because$没有一个有理数的平方等于5,$\therefore b$不可能是有理数.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，首先想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是底边BC的中线，由此可算出BD的长度；其次AD⊥BC可知△ABD是直角三角形，已知两条直角边AD、BD的长度，可通过勾股定理求出腰AB的平方；最后结合有理数的定义，判断是否存在有理数的平方等于求得的数值，即可得出b是否为有理数的结论。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC的中线，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×4=2$，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$b^2 = AB^2 = AD^2 + BD^2 = 1^2 + 2^2 = 1+4=5$，
∵整数的平方中没有等于5的，最简分数的平方仍是分数，也不可能等于5，即没有一个有理数的平方等于5，
∴b不可能是有理数。
【答案】
腰长b满足$b^2=5$，b不可能是有理数。
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；有理数的定义
【点评】
本题是基础应用题，将几何图形性质和数的分类知识结合考查，解题核心是先通过等腰三角形性质和勾股定理求出腰长的平方，再结合有理数的概念判断数的类型，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，首先想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是底边BC的中线，由此可算出BD的长度；其次AD⊥BC可知△ABD是直角三角形，已知两条直角边AD、BD的长度，可通过勾股定理求出腰AB的平方；最后结合有理数的定义，判断是否存在有理数的平方等于求得的数值，即可得出b是否为有理数的结论。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC的中线，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×4=2$，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$b^2 = AB^2 = AD^2 + BD^2 = 1^2 + 2^2 = 1+4=5$，
∵整数的平方中没有等于5的，最简分数的平方仍是分数，也不可能等于5，即没有一个有理数的平方等于5，
∴b不可能是有理数。
【答案】
腰长b满足$b^2=5$，b不可能是有理数。
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；有理数的定义
【点评】
本题是基础应用题，将几何图形性质和数的分类知识结合考查，解题核心是先通过等腰三角形性质和勾股定理求出腰长的平方，再结合有理数的概念判断数的类型，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.(1)探索面积为7的正方形的边长a究竟是多少？已知$a^2=7$，借助计算器探索过程如下表：
a的整数部分是
(2)利用上述方法，探索当$a^2=7$时，a的值为2.6457513…，它是
a的整数部分是
2
，十分位是6
，百分位是4
。(2)利用上述方法，探索当$a^2=7$时，a的值为2.6457513…，它是
无限不循环
小数。答案
(1)2 6 4 (2)无限不循环
解析
【分析】
(1) 采用夹逼法确定a的各数位：①整数部分看a在哪两个相邻整数之间，较小的整数就是a的整数部分；②十分位看a在哪两个相邻的一位小数之间，小数点后第一位的数字就是十分位；③百分位看a在哪两个相邻的两位小数之间，小数点后第二位的数字就是百分位。
(2) 判断小数类型时，若小数位数无限且没有固定循环节，就属于无限不循环小数。
【解析】
(1) 结合表格给出的区间分析：
① 由$2＜a＜3$，可得a的整数部分是2；
② 由$2.6＜a＜2.7$，可得a的十分位是6；
③ 由$2.64＜a＜2.65$，可得a的百分位是4。
(2) 已知$a=2.6457513…$，它的小数位数是无限的，且不存在周期性重复的循环节，因此属于无限不循环小数。
【答案】
(1) 2；6；4 (2) 无限不循环
【知识点】
估算无理数大小、无限不循环小数、夹逼法
【点评】
本题围绕无理数的基础认识设置，通过夹逼法逐步缩小无理数的取值范围来确定各数位数字，是认识无理数的基础题型，熟练掌握夹逼法估算是解题核心。
【难度系数】
0.85
(1) 采用夹逼法确定a的各数位：①整数部分看a在哪两个相邻整数之间，较小的整数就是a的整数部分；②十分位看a在哪两个相邻的一位小数之间，小数点后第一位的数字就是十分位；③百分位看a在哪两个相邻的两位小数之间，小数点后第二位的数字就是百分位。
(2) 判断小数类型时，若小数位数无限且没有固定循环节，就属于无限不循环小数。
【解析】
(1) 结合表格给出的区间分析：
① 由$2＜a＜3$，可得a的整数部分是2；
② 由$2.6＜a＜2.7$，可得a的十分位是6；
③ 由$2.64＜a＜2.65$，可得a的百分位是4。
(2) 已知$a=2.6457513…$，它的小数位数是无限的，且不存在周期性重复的循环节，因此属于无限不循环小数。
【答案】
(1) 2；6；4 (2) 无限不循环
【知识点】
估算无理数大小、无限不循环小数、夹逼法
【点评】
本题围绕无理数的基础认识设置，通过夹逼法逐步缩小无理数的取值范围来确定各数位数字，是认识无理数的基础题型，熟练掌握夹逼法估算是解题核心。
【难度系数】
0.85
4. 在如图所示的5×5的方格纸中，每个小方格的边长均为1，则图中的三条线段中，长度是无限不循环小数的线段是（
A.AB
B.CD
C.EF
D.三条都不是
B
）A.AB
B.CD
C.EF
D.三条都不是
答案
B
解析
【分析】
要判断哪条线段的长度是无限不循环小数，首先需计算出三条线段的长度，再结合无限不循环小数（无理数）的特征判断即可。解题步骤为：①先确定每条线段对应的直角边长度（水平、竖直方向的格数）；②用勾股定理计算斜线段的长度，水平/竖直线段直接数格得长度；③判断计算结果是否为无限不循环小数。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
1. 计算AB的长度：AB为水平线段，共占3个小格，因此$AB=3$，是整数，属于有限小数，不符合要求；
2. 计算CD的长度：CD为斜线段，水平方向跨度为2，竖直方向跨度为2，根据勾股定理，$CD=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，因此$2\sqrt{2}$也是无限不循环小数，符合要求；
3. 计算EF的长度：EF为斜线段，水平方向跨度为4，竖直方向跨度为3，根据勾股定理，$EF=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，是整数，属于有限小数，不符合要求。
综上，只有CD的长度是无限不循环小数。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；无理数的定义
【点评】
本题考查勾股定理的网格应用及无理数的识别，解题核心是准确利用网格确定线段对应的直角边长，再计算长度判断类型，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪条线段的长度是无限不循环小数，首先需计算出三条线段的长度，再结合无限不循环小数（无理数）的特征判断即可。解题步骤为：①先确定每条线段对应的直角边长度（水平、竖直方向的格数）；②用勾股定理计算斜线段的长度，水平/竖直线段直接数格得长度；③判断计算结果是否为无限不循环小数。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
1. 计算AB的长度：AB为水平线段，共占3个小格，因此$AB=3$，是整数，属于有限小数，不符合要求；
2. 计算CD的长度：CD为斜线段，水平方向跨度为2，竖直方向跨度为2，根据勾股定理，$CD=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，因此$2\sqrt{2}$也是无限不循环小数，符合要求；
3. 计算EF的长度：EF为斜线段，水平方向跨度为4，竖直方向跨度为3，根据勾股定理，$EF=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，是整数，属于有限小数，不符合要求。
综上，只有CD的长度是无限不循环小数。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；无理数的定义
【点评】
本题考查勾股定理的网格应用及无理数的识别，解题核心是准确利用网格确定线段对应的直角边长，再计算长度判断类型，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 在下列各数中，是无限不循环小数的是（
A.面积为9的正方形的边长
B.面积为$π^2$的正方形的边长
C.体积为8的正方体的棱长
D.表面积为24的正方体的棱长
B
）A.面积为9的正方形的边长
B.面积为$π^2$的正方形的边长
C.体积为8的正方体的棱长
D.表面积为24的正方体的棱长
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，核心是判断哪个选项对应的数是无限不循环小数（区别于整数、分数这类有限或无限循环的有理数）。解题思路为：首先根据正方形边长与面积的关系、正方体棱长与体积/表面积的关系，分别计算出每个选项对应的数值；再逐一判断每个数值是否为无限不循环小数，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：正方形面积=边长²，因此面积为9的正方形边长为$\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数，不是无限不循环小数，不符合要求。
B选项：面积为$π^2$的正方形边长为$\sqrt{π^2}=π$，$π$是典型的无限不循环小数，符合要求。
C选项：正方体体积=棱长³，因此体积为8的正方体棱长为$\sqrt[3]{8}=2$，2是整数，属于有理数，不是无限不循环小数，不符合要求。
D选项：正方体表面积=6×棱长²，表面积为24时，单个面的面积为$24÷6=4$，因此棱长为$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，不是无限不循环小数，不符合要求。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1.无限不循环小数识别
2.算术平方根计算
3.立方根计算
【点评】
本题结合几何图形的边长、棱长计算，考查对无限不循环小数概念的掌握，只要能准确计算各选项对应数值，牢记常见无限不循环小数的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，核心是判断哪个选项对应的数是无限不循环小数（区别于整数、分数这类有限或无限循环的有理数）。解题思路为：首先根据正方形边长与面积的关系、正方体棱长与体积/表面积的关系，分别计算出每个选项对应的数值；再逐一判断每个数值是否为无限不循环小数，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：正方形面积=边长²，因此面积为9的正方形边长为$\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数，不是无限不循环小数，不符合要求。
B选项：面积为$π^2$的正方形边长为$\sqrt{π^2}=π$，$π$是典型的无限不循环小数，符合要求。
C选项：正方体体积=棱长³，因此体积为8的正方体棱长为$\sqrt[3]{8}=2$，2是整数，属于有理数，不是无限不循环小数，不符合要求。
D选项：正方体表面积=6×棱长²，表面积为24时，单个面的面积为$24÷6=4$，因此棱长为$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，不是无限不循环小数，不符合要求。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1.无限不循环小数识别
2.算术平方根计算
3.立方根计算
【点评】
本题结合几何图形的边长、棱长计算，考查对无限不循环小数概念的掌握，只要能准确计算各选项对应数值，牢记常见无限不循环小数的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6. 传统文化·蜀绣 蜀绣又名“川绣”，为中国四大名绣之一，是在丝绸或其他织物上采用蚕丝线绣出花纹图案的中国传统工艺. 如图所示的是一幅面积为$130π\ \mathrm{cm}^2$的蜀绣扇面图，它的半径为$x\ \mathrm{cm}$.
(1)$x$是有理数吗？请说明理由.
(2)估计$x$的值.（已知$11.4^2=129.96$，$11.45^2=131.1025$，$11.5^2=132.25$，结果精确到0.1）
(1)$x$是有理数吗？请说明理由.
(2)估计$x$的值.（已知$11.4^2=129.96$，$11.45^2=131.1025$，$11.5^2=132.25$，结果精确到0.1）
答案
解:(1)$x$不是有理数. 理由:由题意,得 $π x^2=130π,\therefore x^2=130.$ $\because$没有一个有理数的平方等于130,$\therefore x$不是有理数. (2)$\because 121＜130＜144,\therefore 11＜x＜12. \because 11.4^2=129.96,11.5^2=132.25,$ $\therefore 11.4＜x＜11.5. \because 11.45^2=131.1025,\therefore \sqrt{130}\approx11.4.$
解析
【分析】
(1) 要判断x是不是有理数，首先根据圆的面积公式结合已知面积列方程，求出x²的值，再结合有理数的定义，判断是否存在有理数的平方等于130，即可得到结论。
(2) 要估算x的值（精确到0.1），先通过平方数确定x的整数范围，再根据题目给出的11.4²、11.45²、11.5²的结果，确定x的十分位范围，最后结合精确要求完成四舍五入即可。
【解析】
(1) $x$不是有理数，理由如下：
由题意，根据圆的面积公式得 $π x^2=130π$，
两边同除以$π$，得 $x^2=130$。
∵ 整数和分数统称有理数，不存在任何一个有理数的平方等于130，
∴ $x$不是有理数。
(2)
∵ $11^2=121$，$12^2=144$，$121＜130＜144$，
∴ $11＜x＜12$。
又
∵ $11.4^2=129.96$，$11.5^2=132.25$，$129.96＜130＜132.25$，
∴ $11.4＜x＜11.5$。
已知$11.45^2=131.1025＞130$，说明$x＜11.45$，按照精确到0.1的要求四舍五入，得$x\approx11.4$。
【答案】
(1) $x$不是有理数，理由见解析；
(2) $x\approx\boldsymbol{11.4}$
【知识点】
有理数的概念、无理数的估算、圆的面积计算
【点评】
本题以传统非遗工艺蜀绣为命题背景，将数学知识和传统文化相结合，既考查了有理数的判定方法，也考查了利用平方数估算无理数大小的基础技能，注重对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断x是不是有理数，首先根据圆的面积公式结合已知面积列方程，求出x²的值，再结合有理数的定义，判断是否存在有理数的平方等于130，即可得到结论。
(2) 要估算x的值（精确到0.1），先通过平方数确定x的整数范围，再根据题目给出的11.4²、11.45²、11.5²的结果，确定x的十分位范围，最后结合精确要求完成四舍五入即可。
【解析】
(1) $x$不是有理数，理由如下：
由题意，根据圆的面积公式得 $π x^2=130π$，
两边同除以$π$，得 $x^2=130$。
∵ 整数和分数统称有理数，不存在任何一个有理数的平方等于130，
∴ $x$不是有理数。
(2)
∵ $11^2=121$，$12^2=144$，$121＜130＜144$，
∴ $11＜x＜12$。
又
∵ $11.4^2=129.96$，$11.5^2=132.25$，$129.96＜130＜132.25$，
∴ $11.4＜x＜11.5$。
已知$11.45^2=131.1025＞130$，说明$x＜11.45$，按照精确到0.1的要求四舍五入，得$x\approx11.4$。
【答案】
(1) $x$不是有理数，理由见解析；
(2) $x\approx\boldsymbol{11.4}$
【知识点】
有理数的概念、无理数的估算、圆的面积计算
【点评】
本题以传统非遗工艺蜀绣为命题背景，将数学知识和传统文化相结合，既考查了有理数的判定方法，也考查了利用平方数估算无理数大小的基础技能，注重对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.8
7. A教材经典问题·设计三角形 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1.已知点C,请按要求设计△ABC,使∠ACB=90°,AC=BC.
(1)在图1中,AB的长不是有理数,AC,BC的长均为有理数.
(2)在图2中,AB的长为有理数,AC,BC的长均不是有理数.
(3)在图3中,三边的长均不是有理数.
(1)在图1中,AB的长不是有理数,AC,BC的长均为有理数.
(2)在图2中,AB的长为有理数,AC,BC的长均不是有理数.
(3)在图3中,三边的长均不是有理数.
答案
解：
构造方法不唯一，符合要求即可，示例如下：
(1) 在图1中，取点A在点C左侧3个格点处，点B在点C上方3个格点处，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=3$，$BC=3$，均为有理数；
$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，不是有理数，满足$∠ ACB=90°$，$AC=BC$。
(2) 在图2中，取点A在点C左下方，相对点C向左2格、向下2格，取点B在点C右下方，相对点C向右2格、向下2格，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，均不是有理数；
$AB=\sqrt{4^2+0^2}=4$，为有理数，满足$∠ ACB=90°$，$AC=BC$。
(3) 在图3中，取点A在点C右上方，相对点C向右1格、向上2格，取点B在点C左上方，相对点C向左2格、向上1格，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边均不是有理数，满足$∠ ACB=90°$，$AC=BC$。
构造方法不唯一，符合要求即可，示例如下：
(1) 在图1中，取点A在点C左侧3个格点处，点B在点C上方3个格点处，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=3$，$BC=3$，均为有理数；
$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，不是有理数，满足$∠ ACB=90°$，$AC=BC$。
(2) 在图2中，取点A在点C左下方，相对点C向左2格、向下2格，取点B在点C右下方，相对点C向右2格、向下2格，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，均不是有理数；
$AB=\sqrt{4^2+0^2}=4$，为有理数，满足$∠ ACB=90°$，$AC=BC$。
(3) 在图3中，取点A在点C右上方，相对点C向右1格、向上2格，取点B在点C左上方，相对点C向左2格、向上1格，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边均不是有理数，满足$∠ ACB=90°$，$AC=BC$。
解析
【分析】
要构造满足要求的等腰直角△ABC，核心需满足两个条件：①∠ACB=90°；②AC=BC。我们可结合网格特点，借助勾股定理计算格点间线段的长度，再结合每小问对边长是否为有理数的要求选取A、B的位置：
(1)要求AC、BC为有理数，可让AC、BC沿网格水平或竖直方向取整格长度，此时AC、BC为整数（有理数），由勾股定理计算得到的AB为无理数，符合要求；
(2)要求AB为有理数，AC、BC为无理数，可让AC、BC为腰长是$\sqrt{a^2+a^2}$（$a$为正整数）的无理数，同时让AB沿水平或竖直方向取整格长度，使AB为有理数；
(3)要求三边长均为无理数，可让AC、BC为$\sqrt{m^2+n^2}$（$m≠n$，$m、n$为正整数）的无理数，同时保证AB的长度也为开方开不尽的无理数即可。
【解析】
构造方法不唯一，示例如下：
(1) 在图1中，取点A在点C左侧3个格点处，点B在点C上方3个格点处，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=3$，$BC=3$，均为有理数；$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，不是有理数，满足$∠ACB=90°$，$AC=BC$。
(2) 在图2中，取点A相对点C向左2格、向下2格，点B相对点C向右2格、向下2格，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，均不是有理数；$AB=\sqrt{4^2+0^2}=4$，为有理数，满足$∠ACB=90°$，$AC=BC$。
(3) 在图3中，取点A相对点C向右1格、向上2格，点B相对点C向左2格、向上1格，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边均不是有理数，满足$∠ACB=90°$，$AC=BC$。
【答案】
构造方法不唯一，符合要求即可，示例如上述解析。
【知识点】
勾股定理；无理数的识别；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为网格开放性作图题，将几何图形性质与实数分类相结合，既考查了勾股定理在网格场景中的应用，也锻炼了动手操作能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
要构造满足要求的等腰直角△ABC，核心需满足两个条件：①∠ACB=90°；②AC=BC。我们可结合网格特点，借助勾股定理计算格点间线段的长度，再结合每小问对边长是否为有理数的要求选取A、B的位置：
(1)要求AC、BC为有理数，可让AC、BC沿网格水平或竖直方向取整格长度，此时AC、BC为整数（有理数），由勾股定理计算得到的AB为无理数，符合要求；
(2)要求AB为有理数，AC、BC为无理数，可让AC、BC为腰长是$\sqrt{a^2+a^2}$（$a$为正整数）的无理数，同时让AB沿水平或竖直方向取整格长度，使AB为有理数；
(3)要求三边长均为无理数，可让AC、BC为$\sqrt{m^2+n^2}$（$m≠n$，$m、n$为正整数）的无理数，同时保证AB的长度也为开方开不尽的无理数即可。
【解析】
构造方法不唯一，示例如下：
(1) 在图1中，取点A在点C左侧3个格点处，点B在点C上方3个格点处，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=3$，$BC=3$，均为有理数；$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，不是有理数，满足$∠ACB=90°$，$AC=BC$。
(2) 在图2中，取点A相对点C向左2格、向下2格，点B相对点C向右2格、向下2格，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，均不是有理数；$AB=\sqrt{4^2+0^2}=4$，为有理数，满足$∠ACB=90°$，$AC=BC$。
(3) 在图3中，取点A相对点C向右1格、向上2格，点B相对点C向左2格、向上1格，顺次连接A、B、C。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边均不是有理数，满足$∠ACB=90°$，$AC=BC$。
【答案】
构造方法不唯一，符合要求即可，示例如上述解析。
【知识点】
勾股定理；无理数的识别；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为网格开放性作图题，将几何图形性质与实数分类相结合，既考查了勾股定理在网格场景中的应用，也锻炼了动手操作能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
