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3. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+4$的图象经过点$A(-2,0)$,交$y$轴于点$B$,直线$CD$交$x$轴于点$C$,交$y$轴于点$D$,与直线$y=kx+4$交于点$E$.
(1)若$OC=OD=2OA$,请求出$k$的值并确定直线$CD$的表达式.
(2)请求出四边形$AODE$的面积.
(1)若$OC=OD=2OA$,请求出$k$的值并确定直线$CD$的表达式.
(2)请求出四边形$AODE$的面积.
答案
(1)把 $A(-2,0)$ 代入 $y=kx+4$，得 $-2k+4=0$。$\therefore k=2$。$\because A(-2,0)$，$\therefore OA=2$。$\because OC=OD=2OA$，$\therefore OC=OD=4$。$\therefore C(-4,0),D(0,-4)$。设直线CD的表达式为 $y=mx+b$，把 $C(-4,0),D(0,-4)$ 代入，得 $\begin{cases}-4m+b=0,\\b=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-1,\\b=-4.\end{cases}$ $\therefore$ 直线CD的表达式为 $y=-x-4$。
(2)联立 $\begin{cases}y=2x+4,\\y=-x-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=-\frac{8}{3},\\y=-\frac{4}{3}.\end{cases}$ $\therefore E(-\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$。$\therefore S_{四边形AODE}=S_{△ COD}-S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×(4-2)×\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$。
(2)联立 $\begin{cases}y=2x+4,\\y=-x-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=-\frac{8}{3},\\y=-\frac{4}{3}.\end{cases}$ $\therefore E(-\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$。$\therefore S_{四边形AODE}=S_{△ COD}-S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×(4-2)×\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$。
解析
【分析】
(1) 求k的值可直接将点A的坐标代入一次函数$y=kx+4$解方程即可；要求直线CD的表达式，需先确定C、D两点的坐标：先由A点坐标得OA的长度，结合$OC=OD=2OA$求出OC、OD的长度，再根据C、D在坐标轴上的位置写出两点坐标，最后用待定系数法代入求解即可。
(2) 四边形AODE是不规则图形，可采用割补法计算面积：观察图形可知，四边形AODE的面积等于$△ COD$的面积减去$△ ACE$的面积，因此先联立两条直线的解析式求出交点E的坐标，再分别计算两个三角形的面积作差即可。
【解析】
(1) 将$A(-2,0)$代入$y=kx+4$，得：
$-2k + 4 = 0$，解得$k=2$。
∵$A(-2,0)$，
∴$OA=2$，
又
∵$OC=OD=2OA$，
∴$OC=OD=2×2=4$，
结合图象可得C点坐标为$(-4,0)$，D点坐标为$(0,-4)$。
设直线CD的表达式为$y=mx+b$，将$C(-4,0)$、$D(0,-4)$代入得：
$\begin{cases}-4m + b = 0 \\ b = -4\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1 \\ b=-4\end{cases}$
∴直线CD的表达式为$y=-x-4$。
(2) 联立直线AB和CD的解析式：
$\begin{cases}y=2x+4 \\ y=-x-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-\frac{8}{3} \\ y=-\frac{4}{3}\end{cases}$，即E点坐标为$(-\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$。
计算面积：
$S_{四边形AODE}=S_{△ COD} - S_{△ ACE}$
其中$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×OC×OD=\frac{1}{2}×4×4=8$，
AC的长度为$OC - OA=4-2=2$，$△ ACE$的高为E点纵坐标的绝对值$\frac{4}{3}$，
则$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×AC×\frac{4}{3}=\frac{1}{2}×2×\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$，
∴$S_{四边形AODE}=8 - \frac{4}{3}=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) $k=2$，直线CD的表达式为$y=-x-4$；
(2) 四边形AODE的面积为$\frac{20}{3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点求解，不规则图形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，又考查了利用割补法求解不规则图形面积的技巧，是一次函数与几何面积结合的典型题型，掌握好基础方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求k的值可直接将点A的坐标代入一次函数$y=kx+4$解方程即可；要求直线CD的表达式，需先确定C、D两点的坐标：先由A点坐标得OA的长度，结合$OC=OD=2OA$求出OC、OD的长度，再根据C、D在坐标轴上的位置写出两点坐标，最后用待定系数法代入求解即可。
(2) 四边形AODE是不规则图形，可采用割补法计算面积：观察图形可知，四边形AODE的面积等于$△ COD$的面积减去$△ ACE$的面积，因此先联立两条直线的解析式求出交点E的坐标，再分别计算两个三角形的面积作差即可。
【解析】
(1) 将$A(-2,0)$代入$y=kx+4$，得：
$-2k + 4 = 0$，解得$k=2$。
∵$A(-2,0)$，
∴$OA=2$，
又
∵$OC=OD=2OA$，
∴$OC=OD=2×2=4$，
结合图象可得C点坐标为$(-4,0)$，D点坐标为$(0,-4)$。
设直线CD的表达式为$y=mx+b$，将$C(-4,0)$、$D(0,-4)$代入得：
$\begin{cases}-4m + b = 0 \\ b = -4\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1 \\ b=-4\end{cases}$
∴直线CD的表达式为$y=-x-4$。
(2) 联立直线AB和CD的解析式：
$\begin{cases}y=2x+4 \\ y=-x-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-\frac{8}{3} \\ y=-\frac{4}{3}\end{cases}$，即E点坐标为$(-\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$。
计算面积：
$S_{四边形AODE}=S_{△ COD} - S_{△ ACE}$
其中$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×OC×OD=\frac{1}{2}×4×4=8$，
AC的长度为$OC - OA=4-2=2$，$△ ACE$的高为E点纵坐标的绝对值$\frac{4}{3}$，
则$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×AC×\frac{4}{3}=\frac{1}{2}×2×\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$，
∴$S_{四边形AODE}=8 - \frac{4}{3}=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) $k=2$，直线CD的表达式为$y=-x-4$；
(2) 四边形AODE的面积为$\frac{20}{3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点求解，不规则图形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，又考查了利用割补法求解不规则图形面积的技巧，是一次函数与几何面积结合的典型题型，掌握好基础方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
【例3】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+9$的图象与$y$轴相交于点$A$，与$x$轴相交于点$C$，并与直线$y=\frac{5}{3}x$相交于点$B$，其中点$B$的横坐标为3.
(1)求点$B$的坐标和$k$的值.
(2)$Q$为直线$y=kx+9$上一动点，当点$Q$运动到何位置时，$△ OBQ$的面积等于$\frac{27}{4}$？请求出点$Q$的坐标.
(1)求点$B$的坐标和$k$的值.
(2)$Q$为直线$y=kx+9$上一动点，当点$Q$运动到何位置时，$△ OBQ$的面积等于$\frac{27}{4}$？请求出点$Q$的坐标.
答案
(1)把 $x=3$ 代入 $y=\frac{5}{3}x$，得 $y=5$。$\therefore$ 点B的坐标为 $(3,5)$。$\because$ 点B在一次函数 $y=kx+9$ 的图象上，$\therefore 5=3k+9$，解得 $k=-\frac{4}{3}$。
(2)把 $x=0$ 代入 $y=-\frac{4}{3}x+9$，得 $y=9$。$\therefore$ 点A的坐标为 $(0,9)$，即 $OA=9$。设点Q的坐标为 $(m,-\frac{4}{3}m+9)$，则 $S_{△ OBQ}=\frac{1}{2}OA·|x_Q-x_B|=\frac{1}{2}×9×|m-3|=\frac{27}{4}$，解得 $m=\frac{9}{2}$ 或 $m=\frac{3}{2}$。当 $m=\frac{9}{2}$ 时，$-\frac{4}{3}m+9=3$；当 $m=\frac{3}{2}$ 时，$-\frac{4}{3}m+9=7$。$\therefore$ 点Q的坐标为 $(\frac{9}{2},3)$ 或 $(\frac{3}{2},7)$。
(2)把 $x=0$ 代入 $y=-\frac{4}{3}x+9$，得 $y=9$。$\therefore$ 点A的坐标为 $(0,9)$，即 $OA=9$。设点Q的坐标为 $(m,-\frac{4}{3}m+9)$，则 $S_{△ OBQ}=\frac{1}{2}OA·|x_Q-x_B|=\frac{1}{2}×9×|m-3|=\frac{27}{4}$，解得 $m=\frac{9}{2}$ 或 $m=\frac{3}{2}$。当 $m=\frac{9}{2}$ 时，$-\frac{4}{3}m+9=3$；当 $m=\frac{3}{2}$ 时，$-\frac{4}{3}m+9=7$。$\therefore$ 点Q的坐标为 $(\frac{9}{2},3)$ 或 $(\frac{3}{2},7)$。
解析
【分析】
(1) 已知点B在直线$y=\frac{5}{3}x$上且横坐标为3，先将x=3代入正比例函数解析式求出y的值，即可得到点B的坐标；再将点B坐标代入一次函数$y=kx+9$，解关于k的一元一次方程即可求出k的值。
(2) 先求出一次函数与y轴交点A的坐标，得到OA的长度；设动点Q的坐标为$(m,-\frac{4}{3}m+9)$，由于点B、Q都在直线AC上，$△ OBQ$的面积可以转化为以OA为底，两点横坐标差的绝对值为水平高的三角形面积计算，列绝对值方程求解m的值，再代入Q的坐标表达式即可得到对应坐标，注意绝对值方程有两个解，对应Q的两个位置。
【解析】
(1) 把$x=3$代入$y=\frac{5}{3}x$，得$y=\frac{5}{3}×3=5$，因此点B的坐标为$(3,5)$。
$\because$ 点$B(3,5)$在一次函数$y=kx+9$的图象上，
$\therefore$ 代入得$5=3k+9$，
移项解得$k=-\frac{4}{3}$。
(2) 对于一次函数$y=-\frac{4}{3}x+9$，令$x=0$，得$y=9$，因此点A的坐标为$(0,9)$，即$OA=9$。
设点Q的坐标为$(m,-\frac{4}{3}m+9)$，
则$△ OBQ$的面积$S_{△ OBQ}=\frac{1}{2}· OA· |x_Q - x_B|=\frac{1}{2}×9×|m-3|$，
由题意得$\frac{9}{2}|m-3|=\frac{27}{4}$，
两边同乘$\frac{2}{9}$得$|m-3|=\frac{3}{2}$，
因此$m-3=\frac{3}{2}$或$m-3=-\frac{3}{2}$，
解得$m=\frac{9}{2}$或$m=\frac{3}{2}$。
当$m=\frac{9}{2}$时，$y=-\frac{4}{3}×\frac{9}{2}+9=3$；
当$m=\frac{3}{2}$时，$y=-\frac{4}{3}×\frac{3}{2}+9=7$。
$\therefore$ 点Q的坐标为$(\frac{9}{2},3)$或$(\frac{3}{2},7)$。
【答案】
(1) 点B的坐标为$\boldsymbol{(3,5)}$，$k$的值为$\boldsymbol{-\frac{4}{3}}$；
(2) 点Q的坐标为$\boldsymbol{(\frac{9}{2},3)}$或$\boldsymbol{(\frac{3}{2},7)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数交点问题；一次函数与面积计算
【点评】
本题属于一次函数综合基础题，第一问考察待定系数法的基础应用，难度较低；第二问考察动点背景下的三角形面积计算，解题关键是将斜三角形的面积转化为易计算的形式，同时注意绝对值方程对应两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点B在直线$y=\frac{5}{3}x$上且横坐标为3，先将x=3代入正比例函数解析式求出y的值，即可得到点B的坐标；再将点B坐标代入一次函数$y=kx+9$，解关于k的一元一次方程即可求出k的值。
(2) 先求出一次函数与y轴交点A的坐标，得到OA的长度；设动点Q的坐标为$(m,-\frac{4}{3}m+9)$，由于点B、Q都在直线AC上，$△ OBQ$的面积可以转化为以OA为底，两点横坐标差的绝对值为水平高的三角形面积计算，列绝对值方程求解m的值，再代入Q的坐标表达式即可得到对应坐标，注意绝对值方程有两个解，对应Q的两个位置。
【解析】
(1) 把$x=3$代入$y=\frac{5}{3}x$，得$y=\frac{5}{3}×3=5$，因此点B的坐标为$(3,5)$。
$\because$ 点$B(3,5)$在一次函数$y=kx+9$的图象上，
$\therefore$ 代入得$5=3k+9$，
移项解得$k=-\frac{4}{3}$。
(2) 对于一次函数$y=-\frac{4}{3}x+9$，令$x=0$，得$y=9$，因此点A的坐标为$(0,9)$，即$OA=9$。
设点Q的坐标为$(m,-\frac{4}{3}m+9)$，
则$△ OBQ$的面积$S_{△ OBQ}=\frac{1}{2}· OA· |x_Q - x_B|=\frac{1}{2}×9×|m-3|$，
由题意得$\frac{9}{2}|m-3|=\frac{27}{4}$，
两边同乘$\frac{2}{9}$得$|m-3|=\frac{3}{2}$，
因此$m-3=\frac{3}{2}$或$m-3=-\frac{3}{2}$，
解得$m=\frac{9}{2}$或$m=\frac{3}{2}$。
当$m=\frac{9}{2}$时，$y=-\frac{4}{3}×\frac{9}{2}+9=3$；
当$m=\frac{3}{2}$时，$y=-\frac{4}{3}×\frac{3}{2}+9=7$。
$\therefore$ 点Q的坐标为$(\frac{9}{2},3)$或$(\frac{3}{2},7)$。
【答案】
(1) 点B的坐标为$\boldsymbol{(3,5)}$，$k$的值为$\boldsymbol{-\frac{4}{3}}$；
(2) 点Q的坐标为$\boldsymbol{(\frac{9}{2},3)}$或$\boldsymbol{(\frac{3}{2},7)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数交点问题；一次函数与面积计算
【点评】
本题属于一次函数综合基础题，第一问考察待定系数法的基础应用，难度较低；第二问考察动点背景下的三角形面积计算，解题关键是将斜三角形的面积转化为易计算的形式，同时注意绝对值方程对应两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_1: y=-2x+4$ 分别交 $y$ 轴、$x$ 轴于点 $A,B$，与直线 $l_2: y=x+1$ 相交于点 $C$.
(1) $AB$ 的长为
(2) 已知点 $D$ 在直线 $l_2$ 上，且位于 $l_1$ 下方，$△ ABD$ 的面积为 $\frac{15}{4}$，求点 $D$ 的坐标.
(1) $AB$ 的长为
$2\sqrt{5}$
，点 $C$ 的坐标为 $(1,2)$
.(2) 已知点 $D$ 在直线 $l_2$ 上，且位于 $l_1$ 下方，$△ ABD$ 的面积为 $\frac{15}{4}$，求点 $D$ 的坐标.
答案
(1)$2\sqrt{5}$，$(1,2)$
(2)过点D作$DM// y$轴，交$l_1$于点M。设$M(a,-2a+4)$，则$D(a,a+1)$，$\therefore DM=-3a+3$。$\therefore S_{△ ADB}=S_{△ BDM}-S_{△ ADM}=\frac{1}{2}DM·|x_B-x_A|=\frac{1}{2}(-3a+3)×2=-3a+3=\frac{15}{4}$。$\therefore a=-\frac{1}{4}$。$\therefore D(-\frac{1}{4},\frac{3}{4})$。
(2)过点D作$DM// y$轴，交$l_1$于点M。设$M(a,-2a+4)$，则$D(a,a+1)$，$\therefore DM=-3a+3$。$\therefore S_{△ ADB}=S_{△ BDM}-S_{△ ADM}=\frac{1}{2}DM·|x_B-x_A|=\frac{1}{2}(-3a+3)×2=-3a+3=\frac{15}{4}$。$\therefore a=-\frac{1}{4}$。$\therefore D(-\frac{1}{4},\frac{3}{4})$。
解析
【分析】
(1) 求AB长度需先确定A、B两点坐标：直线$l_1$与y轴交点A的横坐标为0，与x轴交点B的纵坐标为0，代入$l_1$解析式即可得到A、B坐标，再利用勾股定理计算AB长；求点C坐标只需联立$l_1$和$l_2$的解析式，解二元一次方程组即可得到C点坐标。
(2) 已知点D在$l_2$上，可设D的横坐标为a，用含a的式子表示D的坐标；过D作DM平行y轴交$l_1$于M，可表示出M的坐标，进而得到DM的长度；利用“铅垂高×水平宽÷2”计算$△ ABD$的面积，列方程求解a的值，即可得到D点坐标。
【解析】
(1) 对于直线$l_1: y=-2x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，
∴点A坐标为$(0,4)$，$OA=4$；
令$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，
∴点B坐标为$(2,0)$，$OB=2$；
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
联立$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y=-2x+4 \\ y=x+1\end{cases}$
将第二个式子代入第一个得：$x+1=-2x+4$，解得$x=1$，代入$y=x+1$得$y=2$，
∴点C坐标为$(1,2)$。
(2) 过点D作$DM// y$轴，交$l_1$于点M。
设点D的横坐标为$a$，
∵D在直线$l_2:y=x+1$上，
∴$D(a,a+1)$；
∵M在直线$l_1$上，且横坐标与D相同，
∴$M(a,-2a+4)$。
∵D位于$l_1$下方，
∴$DM=(-2a+4)-(a+1)=-3a+3$。
$S_{△ ABD}=S_{△ BDM}-S_{△ ADM}=\frac{1}{2}· DM· |x_B - x_A|$，其中$x_B=2$，$x_A=0$，代入得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×(-3a+3)×2=-3a+3$
已知$S_{△ ABD}=\frac{15}{4}$，列方程：
$-3a+3=\frac{15}{4}$
解得：$a=-\frac{1}{4}$
将$a=-\frac{1}{4}$代入$D(a,a+1)$，得$y=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}$，
∴D点坐标为$(-\frac{1}{4},\frac{3}{4})$。
【答案】
(1) $2\sqrt{5}$，$(1,2)$
(2) $(-\frac{1}{4},\frac{3}{4})$
【知识点】
一次函数交点求解；勾股定理；一次函数与面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数与坐标轴交点、两直线交点的求解方法，以及坐标系中三角形面积的常用计算方法（铅垂高法），解题时注意结合图象分析点的位置关系，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求AB长度需先确定A、B两点坐标：直线$l_1$与y轴交点A的横坐标为0，与x轴交点B的纵坐标为0，代入$l_1$解析式即可得到A、B坐标，再利用勾股定理计算AB长；求点C坐标只需联立$l_1$和$l_2$的解析式，解二元一次方程组即可得到C点坐标。
(2) 已知点D在$l_2$上，可设D的横坐标为a，用含a的式子表示D的坐标；过D作DM平行y轴交$l_1$于M，可表示出M的坐标，进而得到DM的长度；利用“铅垂高×水平宽÷2”计算$△ ABD$的面积，列方程求解a的值，即可得到D点坐标。
【解析】
(1) 对于直线$l_1: y=-2x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，
∴点A坐标为$(0,4)$，$OA=4$；
令$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，
∴点B坐标为$(2,0)$，$OB=2$；
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
联立$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y=-2x+4 \\ y=x+1\end{cases}$
将第二个式子代入第一个得：$x+1=-2x+4$，解得$x=1$，代入$y=x+1$得$y=2$，
∴点C坐标为$(1,2)$。
(2) 过点D作$DM// y$轴，交$l_1$于点M。
设点D的横坐标为$a$，
∵D在直线$l_2:y=x+1$上，
∴$D(a,a+1)$；
∵M在直线$l_1$上，且横坐标与D相同，
∴$M(a,-2a+4)$。
∵D位于$l_1$下方，
∴$DM=(-2a+4)-(a+1)=-3a+3$。
$S_{△ ABD}=S_{△ BDM}-S_{△ ADM}=\frac{1}{2}· DM· |x_B - x_A|$，其中$x_B=2$，$x_A=0$，代入得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×(-3a+3)×2=-3a+3$
已知$S_{△ ABD}=\frac{15}{4}$，列方程：
$-3a+3=\frac{15}{4}$
解得：$a=-\frac{1}{4}$
将$a=-\frac{1}{4}$代入$D(a,a+1)$，得$y=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}$，
∴D点坐标为$(-\frac{1}{4},\frac{3}{4})$。
【答案】
(1) $2\sqrt{5}$，$(1,2)$
(2) $(-\frac{1}{4},\frac{3}{4})$
【知识点】
一次函数交点求解；勾股定理；一次函数与面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数与坐标轴交点、两直线交点的求解方法，以及坐标系中三角形面积的常用计算方法（铅垂高法），解题时注意结合图象分析点的位置关系，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
5. 在平面直角坐标系$xOy$中,经过点$(1,2)$的直线$y=kx+b$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$.
(1)当$b=3$时,求$k$的值以及点$A$的坐标.
(2)若$k=b$,$P$是该直线上一点,当$△ OPA$的面积等于$△ OAB$面积的$2$倍时,求点$P$的坐标.
(1)当$b=3$时,求$k$的值以及点$A$的坐标.
(2)若$k=b$,$P$是该直线上一点,当$△ OPA$的面积等于$△ OAB$面积的$2$倍时,求点$P$的坐标.
答案
(1)$\because$ 直线 $y=kx+b$ 经过点 $(1,2)$，$\therefore k+b=2$。当 $b=3$ 时，$k=-1$。$\therefore$ 直线的表达式为 $y=-x+3$。令 $y=0$，得 $x=3$，$\therefore$ 点A的坐标为 $(3,0)$。
(2)由(1)知，$k+b=2$，当 $k=b$ 时，可得 $k=b=1$。$\therefore$ 直线的表达式为 $y=x+1$。令 $x=0$，得 $y=1$；令 $y=0$，得 $x=-1$，$\therefore$ 点A的坐标为 $(-1,0)$，点B的坐标为 $(0,1)$。$\therefore S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$。设点 $P(n,n+1)$。$\because S_{△ OPA}=2S_{△ OAB}$，$\therefore \frac{1}{2}×1×|n+1|=2×\frac{1}{2}$，解得 $n=1$ 或 $n=-3$。$\therefore$ 点P的坐标为 $(1,2)$ 或 $(-3,-2)$。
解析
【分析】
(1) 首先已知直线$y=kx+b$过点$(1,2)$，将点坐标代入解析式可得到$k$与$b$的关系式$k+b=2$；题目给出$b=3$，代入即可求出$k$的值，再写出完整直线解析式，令$y=0$求出对应$x$值，即可得到点$A$的坐标。
(2) 结合(1)得到的$k+b=2$，以及条件$k=b$，可求出$k$、$b$的值，确定直线解析式；分别令$x=0$、$y=0$求出$B$、$A$两点的坐标，先计算$△ OAB$的面积；设点$P$的坐标为$(n,n+1)$，$△ OPA$的底为$OA$的长度，高为点$P$纵坐标的绝对值，根据面积为$△ OAB$的2倍列方程求解，注意绝对值要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) $\because$ 直线 $y=kx+b$ 经过点 $(1,2)$，将$(1,2)$代入解析式得：
$k+b=2$
当 $b=3$ 时，代入得$k=2-3=-1$
$\therefore$ 直线的表达式为 $y=-x+3$
令 $y=0$，即$-x+3=0$，得 $x=3$，$\therefore$ 点$A$的坐标为 $(3,0)$。
(2) 由(1)知$k+b=2$，当 $k=b$ 时，代入得$k+k=2$，解得$k=1$，$\therefore b=k=1$
$\therefore$ 直线的表达式为 $y=x+1$
令 $x=0$，得 $y=1$，$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,1)$；令 $y=0$，得 $x=-1$，$\therefore$ 点$A$的坐标为 $(-1,0)$
$\therefore S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × OA × OB=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
设点 $P(n,n+1)$，$\because S_{△ OPA}=2S_{△ OAB}=1$，$△ OPA$的底$OA=1$，高为点$P$纵坐标的绝对值$|n+1|$
$\therefore \frac{1}{2}×1×|n+1|=1$，即$|n+1|=2$
解得 $n=1$ 或 $n=-3$
当$n=1$时，$n+1=2$，点$P$为$(1,2)$；当$n=-3$时，$n+1=-2$，点$P$为$(-3,-2)$。
【答案】
(1) $k=-1$，点$A$的坐标为$(3,0)$；
(2) 点$P$的坐标为$(1,2)$或$(-3,-2)$。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数与坐标轴交点，一次函数面积计算
【点评】
本题考查一次函数的基础综合应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，解决一次函数相关面积问题时，要注意结合坐标表示线段长度，出现绝对值时需分类讨论正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 首先已知直线$y=kx+b$过点$(1,2)$，将点坐标代入解析式可得到$k$与$b$的关系式$k+b=2$；题目给出$b=3$，代入即可求出$k$的值，再写出完整直线解析式，令$y=0$求出对应$x$值，即可得到点$A$的坐标。
(2) 结合(1)得到的$k+b=2$，以及条件$k=b$，可求出$k$、$b$的值，确定直线解析式；分别令$x=0$、$y=0$求出$B$、$A$两点的坐标，先计算$△ OAB$的面积；设点$P$的坐标为$(n,n+1)$，$△ OPA$的底为$OA$的长度，高为点$P$纵坐标的绝对值，根据面积为$△ OAB$的2倍列方程求解，注意绝对值要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) $\because$ 直线 $y=kx+b$ 经过点 $(1,2)$，将$(1,2)$代入解析式得：
$k+b=2$
当 $b=3$ 时，代入得$k=2-3=-1$
$\therefore$ 直线的表达式为 $y=-x+3$
令 $y=0$，即$-x+3=0$，得 $x=3$，$\therefore$ 点$A$的坐标为 $(3,0)$。
(2) 由(1)知$k+b=2$，当 $k=b$ 时，代入得$k+k=2$，解得$k=1$，$\therefore b=k=1$
$\therefore$ 直线的表达式为 $y=x+1$
令 $x=0$，得 $y=1$，$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,1)$；令 $y=0$，得 $x=-1$，$\therefore$ 点$A$的坐标为 $(-1,0)$
$\therefore S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × OA × OB=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
设点 $P(n,n+1)$，$\because S_{△ OPA}=2S_{△ OAB}=1$，$△ OPA$的底$OA=1$，高为点$P$纵坐标的绝对值$|n+1|$
$\therefore \frac{1}{2}×1×|n+1|=1$，即$|n+1|=2$
解得 $n=1$ 或 $n=-3$
当$n=1$时，$n+1=2$，点$P$为$(1,2)$；当$n=-3$时，$n+1=-2$，点$P$为$(-3,-2)$。
【答案】
(1) $k=-1$，点$A$的坐标为$(3,0)$；
(2) 点$P$的坐标为$(1,2)$或$(-3,-2)$。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数与坐标轴交点，一次函数面积计算
【点评】
本题考查一次函数的基础综合应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，解决一次函数相关面积问题时，要注意结合坐标表示线段长度，出现绝对值时需分类讨论正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
