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【例2】 如图，已知直线$l_1:y_1=x+2$与直线$l_2:y_2=kx-1$交于点A，点A的纵坐标为1，且直线$l_1$与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线$l_2$与y轴交于点C.
(1)求直线$l_2$的表达式.
(2)连接BC，求$S_{△ ABC}$.
(1)求直线$l_2$的表达式.
(2)连接BC，求$S_{△ ABC}$.
答案
(1)$\because$ 点A在直线 $y_1=x+2$ 上，点A的纵坐标为1，$\therefore x+2=1$，解得 $x=-1$。$\therefore$ 点A的坐标为 $(-1,1)$。$\because$ 点A在直线 $y_2=kx-1$ 上，$\therefore -k-1=1$，解得 $k=-2$。$\therefore$ 直线 $l_2$ 的表达式为 $y_2=-2x-1$。
(2)令 $x+2=0$，解得 $x=-2$。$\therefore OB=2$。同理可得，$C(0,-1),D(0,2)$，$\therefore OC=1,OD=2$。$\therefore DC=2+1=3$。$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$。
(2)令 $x+2=0$，解得 $x=-2$。$\therefore OB=2$。同理可得，$C(0,-1),D(0,2)$，$\therefore OC=1,OD=2$。$\therefore DC=2+1=3$。$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要确定直线$l_2$的表达式，需先求出其上点A的坐标：已知点A在$l_1$上且纵坐标为1，将$y=1$代入$l_1$的解析式可求出A的横坐标，得到A点坐标后代入$l_2$的解析式即可求出参数$k$，进而得到$l_2$的表达式。
(2) 直接计算$△ ABC$的面积难以找到对应底和高，可采用割补法：$△ ABC$的面积等于$△ BCD$与$△ ACD$的面积差。先求出B、C、D三点的坐标，得到公共底$CD$的长度，再分别取B、A到y轴的水平距离为两个三角形的高，代入面积公式计算差值即可。
【解析】
(1) $\because$ 点A在直线$y_1=x+2$上，且点A的纵坐标为1，
$\therefore$ 将$y=1$代入$y_1=x+2$，得$x+2=1$，解得$x=-1$，即点A的坐标为$(-1,1)$。
$\because$ 点A在直线$y_2=kx-1$上，将$A(-1,1)$代入解析式得：$-k-1=1$，解得$k=-2$，
$\therefore$ 直线$l_2$的表达式为$y_2=-2x-1$。
(2) 求直线$l_1$与x轴交点B：令$y_1=0$，即$x+2=0$，解得$x=-2$，$\therefore B(-2,0)$，点B到y轴的距离为2。
求直线$l_1$与y轴交点D：令$x=0$，得$y_1=2$，$\therefore D(0,2)$。
求直线$l_2$与y轴交点C：令$x=0$，得$y_2=-1$，$\therefore C(0,-1)$。
$\therefore$ 线段$CD$的长度为$2-(-1)=3$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 直线$l_2$的表达式为$\boldsymbol{y=-2x-1}$；
(2) $S_{△ ABC}=\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数与坐标轴交点，割补法求面积
【点评】
本题考查一次函数的性质与坐标系内图形面积的计算，割补法是解决这类不规则图形面积问题的常用技巧，解题核心是熟练掌握一次函数上点的坐标特征，灵活转化待求面积。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定直线$l_2$的表达式，需先求出其上点A的坐标：已知点A在$l_1$上且纵坐标为1，将$y=1$代入$l_1$的解析式可求出A的横坐标，得到A点坐标后代入$l_2$的解析式即可求出参数$k$，进而得到$l_2$的表达式。
(2) 直接计算$△ ABC$的面积难以找到对应底和高，可采用割补法：$△ ABC$的面积等于$△ BCD$与$△ ACD$的面积差。先求出B、C、D三点的坐标，得到公共底$CD$的长度，再分别取B、A到y轴的水平距离为两个三角形的高，代入面积公式计算差值即可。
【解析】
(1) $\because$ 点A在直线$y_1=x+2$上，且点A的纵坐标为1，
$\therefore$ 将$y=1$代入$y_1=x+2$，得$x+2=1$，解得$x=-1$，即点A的坐标为$(-1,1)$。
$\because$ 点A在直线$y_2=kx-1$上，将$A(-1,1)$代入解析式得：$-k-1=1$，解得$k=-2$，
$\therefore$ 直线$l_2$的表达式为$y_2=-2x-1$。
(2) 求直线$l_1$与x轴交点B：令$y_1=0$，即$x+2=0$，解得$x=-2$，$\therefore B(-2,0)$，点B到y轴的距离为2。
求直线$l_1$与y轴交点D：令$x=0$，得$y_1=2$，$\therefore D(0,2)$。
求直线$l_2$与y轴交点C：令$x=0$，得$y_2=-1$，$\therefore C(0,-1)$。
$\therefore$ 线段$CD$的长度为$2-(-1)=3$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 直线$l_2$的表达式为$\boldsymbol{y=-2x-1}$；
(2) $S_{△ ABC}=\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数与坐标轴交点，割补法求面积
【点评】
本题考查一次函数的性质与坐标系内图形面积的计算，割补法是解决这类不规则图形面积问题的常用技巧，解题核心是熟练掌握一次函数上点的坐标特征，灵活转化待求面积。
【难度系数】
0.7
2.如图，直线$y=2x-2$与$x$轴交于点$B$，直线$y=\frac{1}{2}x+1$与$y$轴交于点$C$，这两条直线相交于点$A(2,a)$。求：
(1)点$A,B,C$的坐标。
(2)四边形$ABOC$的面积。
(1)点$A,B,C$的坐标。
(2)四边形$ABOC$的面积。
答案
(1)$\because$ 点 $A(2,a)$ 在直线 $y=\frac{1}{2}x+1$ 上，$\therefore a=\frac{1}{2}×2+1=2$。$\therefore$ 点A的坐标为 $(2,2)$。把 $y=0$ 代入 $y=2x-2$，得 $x=1$。$\therefore$ 点B的坐标为 $(1,0)$。把 $x=0$ 代入 $y=\frac{1}{2}x+1$，得 $y=1$。$\therefore$ 点C的坐标为 $(0,1)$。
(2)连接OA。$\because S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OB·|y_A|=\frac{1}{2}×1×2=1$，$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}OC·|x_A|=\frac{1}{2}×1×2=1$，$\therefore S_{四边形ABOC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}=1+1=2$。
(2)连接OA。$\because S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OB·|y_A|=\frac{1}{2}×1×2=1$，$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}OC·|x_A|=\frac{1}{2}×1×2=1$，$\therefore S_{四边形ABOC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}=1+1=2$。
解析
【分析】
(1)求点坐标的思路：①点A在直线$y=\frac{1}{2}x+1$上，将x=2代入解析式即可求出a的值，得到A点坐标；②点B是直线$y=2x-2$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，将y=0代入$y=2x-2$求出x，即可得B点坐标；③点C是直线$y=\frac{1}{2}x+1$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入$y=\frac{1}{2}x+1$求出y，即可得C点坐标。
(2)求四边形ABOC的面积：四边形ABOC是不规则图形，可采用割补法，连接OA，将四边形拆分为$△ ABO$和$△ ACO$两个三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形的面积，两个三角形的底和高均可通过已知点的坐标直接获取。
【解析】
(1) 已知点$A(2,a)$在直线$y=\frac{1}{2}x+1$上，将$x=2$代入解析式得：
$a=\frac{1}{2}×2+1=2$，故点A的坐标为$(2,2)$。
点B是直线$y=2x-2$与x轴的交点，令$y=0$，代入$y=2x-2$得：
$0=2x-2$，解得$x=1$，故点B的坐标为$(1,0)$。
点C是直线$y=\frac{1}{2}x+1$与y轴的交点，令$x=0$，代入$y=\frac{1}{2}x+1$得：
$y=\frac{1}{2}×0+1=1$，故点C的坐标为$(0,1)$。
(2) 连接OA，将四边形ABOC分为$△ ABO$和$△ ACO$两部分：
$△ ABO$中，底OB的长度为1，OB边上的高为点A的纵坐标2，故$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×OB×|y_A|=\frac{1}{2}×1×2=1$；
$△ ACO$中，底OC的长度为1，OC边上的高为点A的横坐标2，故$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}×OC×|x_A|=\frac{1}{2}×1×2=1$；
因此$S_{四边形ABOC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}=1+1=2$。
【答案】
(1) $A(2,2)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$；
(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；坐标轴上点的坐标特点；割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与几何面积的基础综合题，解题核心是掌握函数图象上的点满足对应函数解析式，求解不规则图形面积时，利用割补法转化为规则图形的面积计算是常用的简便方法。
【难度系数】
0.7
(1)求点坐标的思路：①点A在直线$y=\frac{1}{2}x+1$上，将x=2代入解析式即可求出a的值，得到A点坐标；②点B是直线$y=2x-2$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，将y=0代入$y=2x-2$求出x，即可得B点坐标；③点C是直线$y=\frac{1}{2}x+1$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入$y=\frac{1}{2}x+1$求出y，即可得C点坐标。
(2)求四边形ABOC的面积：四边形ABOC是不规则图形，可采用割补法，连接OA，将四边形拆分为$△ ABO$和$△ ACO$两个三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形的面积，两个三角形的底和高均可通过已知点的坐标直接获取。
【解析】
(1) 已知点$A(2,a)$在直线$y=\frac{1}{2}x+1$上，将$x=2$代入解析式得：
$a=\frac{1}{2}×2+1=2$，故点A的坐标为$(2,2)$。
点B是直线$y=2x-2$与x轴的交点，令$y=0$，代入$y=2x-2$得：
$0=2x-2$，解得$x=1$，故点B的坐标为$(1,0)$。
点C是直线$y=\frac{1}{2}x+1$与y轴的交点，令$x=0$，代入$y=\frac{1}{2}x+1$得：
$y=\frac{1}{2}×0+1=1$，故点C的坐标为$(0,1)$。
(2) 连接OA，将四边形ABOC分为$△ ABO$和$△ ACO$两部分：
$△ ABO$中，底OB的长度为1，OB边上的高为点A的纵坐标2，故$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×OB×|y_A|=\frac{1}{2}×1×2=1$；
$△ ACO$中，底OC的长度为1，OC边上的高为点A的横坐标2，故$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}×OC×|x_A|=\frac{1}{2}×1×2=1$；
因此$S_{四边形ABOC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}=1+1=2$。
【答案】
(1) $A(2,2)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$；
(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；坐标轴上点的坐标特点；割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与几何面积的基础综合题，解题核心是掌握函数图象上的点满足对应函数解析式，求解不规则图形面积时，利用割补法转化为规则图形的面积计算是常用的简便方法。
【难度系数】
0.7
