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9.中国茶文化博大精深,祁门红茶在国内外享有盛誉,并被评为“中华十大名茶”.泡茶时,水温很有讲究.兰兰同学在煮茶时发现在一定时间内,水温$T(°C)$是时间$t(\mathrm{min})$的一次函数,并且时间每增加2 min,温度就升高$16°C$.某次兰兰用$18°C$的水温开始煮茶,设水温$T(°C)$与时间$t(\mathrm{min})$之间的关系式为$T=kt+b$.
(1)写出$T$与$t$之间的关系式为
(2)$k$的实际意义为
$b$的实际意义为
(1)写出$T$与$t$之间的关系式为
$T=8t+18$
.(2)$k$的实际意义为
每分钟水温的变化量
,$b$的实际意义为
刚开始煮茶时水的温度
.答案
9.(1)$T=8t+18$ (2)每分钟水温的变化量 刚开始煮茶时水的温度
解析
【分析】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：1. 求函数关系式时，已知解析式形式为$T=kt+b$，只需要求出$k$和$b$的值即可：$b$是$t=0$时的函数值，对应初始状态的水温，可直接由题目初始条件得到；$k$是单位时间内温度的变化量，可根据“时间每增加2min温度升高16℃”计算得出。2. 分析$k$、$b$的实际意义时，结合一次函数系数的含义，对应到实际场景的时间、温度变化规律即可。
【解析】
(1) 已知开始煮茶时水温为$18° C$，即当$t=0$时，$T=18$，代入$T=kt+b$可得：$b=18$。
由“时间每增加2min，温度升高$16° C$”，可得每分钟水温升高的度数为$16÷2=8(° C)$，即$k=8$。
因此$T$与$t$的关系式为$T=8t+18$。
(2) $k$是单位时间内水温的变化量，实际意义为每分钟水温的变化量；
$b$是时间为0时的水温，实际意义为刚开始煮茶时水的温度。
【答案】
(1)$T=8t+18$
(2)每分钟水温的变化量；刚开始煮茶时水的温度
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数系数的实际意义；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合茶文化的生活场景考查一次函数的基础应用，解题核心是理解一次函数中斜率$k$和截距$b$的实际含义，结合题目给出的初始条件和变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查一次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：1. 求函数关系式时，已知解析式形式为$T=kt+b$，只需要求出$k$和$b$的值即可：$b$是$t=0$时的函数值，对应初始状态的水温，可直接由题目初始条件得到；$k$是单位时间内温度的变化量，可根据“时间每增加2min温度升高16℃”计算得出。2. 分析$k$、$b$的实际意义时，结合一次函数系数的含义，对应到实际场景的时间、温度变化规律即可。
【解析】
(1) 已知开始煮茶时水温为$18° C$，即当$t=0$时，$T=18$，代入$T=kt+b$可得：$b=18$。
由“时间每增加2min，温度升高$16° C$”，可得每分钟水温升高的度数为$16÷2=8(° C)$，即$k=8$。
因此$T$与$t$的关系式为$T=8t+18$。
(2) $k$是单位时间内水温的变化量，实际意义为每分钟水温的变化量；
$b$是时间为0时的水温，实际意义为刚开始煮茶时水的温度。
【答案】
(1)$T=8t+18$
(2)每分钟水温的变化量；刚开始煮茶时水的温度
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数系数的实际意义；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合茶文化的生活场景考查一次函数的基础应用，解题核心是理解一次函数中斜率$k$和截距$b$的实际含义，结合题目给出的初始条件和变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10.若函数$y=(m-1)x^{m^2}+3$是关于x的一次函数，则m的值为
$-1$
。答案
10.$-1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一次函数的判定规则：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$），必须同时满足两个条件：一是自变量$x$的次数为1，二是自变量的系数$k$不能为0。我们对应题目给出的函数式，分别列出关于$m$的方程和不等式，取公共解就能得到$m$的取值。
【解析】
已知函数$y=(m-1)x^{m^2}+3$是关于$x$的一次函数，根据一次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的次数为1，即$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件，排除不符合要求的$m=1$，最终可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题是一次函数定义的基础考察题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=±1$的错误结论，解题时要牢记一次函数需同时满足“自变量次数为1”和“一次项系数不为0”两个要求。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确一次函数的判定规则：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$），必须同时满足两个条件：一是自变量$x$的次数为1，二是自变量的系数$k$不能为0。我们对应题目给出的函数式，分别列出关于$m$的方程和不等式，取公共解就能得到$m$的取值。
【解析】
已知函数$y=(m-1)x^{m^2}+3$是关于$x$的一次函数，根据一次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的次数为1，即$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件，排除不符合要求的$m=1$，最终可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题是一次函数定义的基础考察题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=±1$的错误结论，解题时要牢记一次函数需同时满足“自变量次数为1”和“一次项系数不为0”两个要求。
【难度系数】
0.7
11.已知$y=(k-1)x +k^2 -1$，若y是x的正比例函数，则k的值为
$-1$
。答案
11.$-1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆正比例函数的定义特征：正比例函数的标准形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），需同时满足两个要求：一是$x$的系数不为0，保证函数是一次的；二是常数项为0，没有额外的常数项。我们只需对照这两个要求，对题目给出的函数式列出对应的方程和不等式，求解后取公共的$k$值即可。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得以下两个约束条件：
1. 常数项为0：$k^2 -1=0$
解方程得：$k^2=1$，即$k=1$或$k=-1$
2. 一次项系数不为0：$k-1≠0$
解得：$k≠1$
综合两个条件，排除不符合要求的$k=1$，最终得$k=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
正比例函数的定义、解一元一次不等式、解简单一元二次方程
【点评】
本题属于正比例函数定义的基础应用题型，解题核心是牢记正比例函数的两项限制条件，易错点是容易忽略一次项系数不为0的要求，直接得出$k=±1$导致多解错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要回忆正比例函数的定义特征：正比例函数的标准形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），需同时满足两个要求：一是$x$的系数不为0，保证函数是一次的；二是常数项为0，没有额外的常数项。我们只需对照这两个要求，对题目给出的函数式列出对应的方程和不等式，求解后取公共的$k$值即可。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得以下两个约束条件：
1. 常数项为0：$k^2 -1=0$
解方程得：$k^2=1$，即$k=1$或$k=-1$
2. 一次项系数不为0：$k-1≠0$
解得：$k≠1$
综合两个条件，排除不符合要求的$k=1$，最终得$k=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
正比例函数的定义、解一元一次不等式、解简单一元二次方程
【点评】
本题属于正比例函数定义的基础应用题型，解题核心是牢记正比例函数的两项限制条件，易错点是容易忽略一次项系数不为0的要求，直接得出$k=±1$导致多解错误。
【难度系数】
0.7
12.某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数.下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是（
A.家庭用水的价格为2.5元/$m^3$，每月的水费支出与用水量之间的关系
B.百米赛跑中，时间与速度之间的关系
C.相同规格的A4纸整齐叠放，纸的厚度与纸的张数之间的关系
D.普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系
B
）A.家庭用水的价格为2.5元/$m^3$，每月的水费支出与用水量之间的关系
B.百米赛跑中，时间与速度之间的关系
C.相同规格的A4纸整齐叠放，纸的厚度与纸的张数之间的关系
D.普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系
答案
12.B
解析
【分析】
要判断变量关系是否为一次函数，首先要明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，其中当$b=0$时的正比例函数是特殊的一次函数。解题时我们可以逐个分析选项，先设出每个情景中的自变量和因变量，列出对应的函数关系式，再对照一次函数的定义判断即可。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$是正比例函数，属于特殊的一次函数。
逐一分析选项：
A. 设每月用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，水费支出为$y$元，根据题意得$y=2.5x$，符合一次函数定义，属于一次函数，不符合题意；
B. 百米赛跑总路程固定为100m，设速度为$v$，所用时间为$t$，可得$t=\frac{100}{v}$，该式不符合$y=kx+b$的一次函数形式，不属于一次函数，符合题意；
C. 设每张A4纸的厚度为定值$a$，纸的张数为$x$，总厚度为$y$，可得$y=ax$，符合一次函数定义，属于一次函数，不符合题意；
D. 普通钟表指针匀速转动，设单位时间转动的角度为定值$k$，所用时间为$x$，转动的角度为$y$，可得$y=kx$，符合一次函数定义，属于一次函数，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数的判定
2. 正比例函数的特征
【点评】
本题结合生活常见情景考查一次函数的识别，解题的关键是熟练掌握一次函数的表达式形式，能根据实际情景准确列出变量间的关系式即可正确作答。
【难度系数】
0.8
要判断变量关系是否为一次函数，首先要明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，其中当$b=0$时的正比例函数是特殊的一次函数。解题时我们可以逐个分析选项，先设出每个情景中的自变量和因变量，列出对应的函数关系式，再对照一次函数的定义判断即可。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$是正比例函数，属于特殊的一次函数。
逐一分析选项：
A. 设每月用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，水费支出为$y$元，根据题意得$y=2.5x$，符合一次函数定义，属于一次函数，不符合题意；
B. 百米赛跑总路程固定为100m，设速度为$v$，所用时间为$t$，可得$t=\frac{100}{v}$，该式不符合$y=kx+b$的一次函数形式，不属于一次函数，符合题意；
C. 设每张A4纸的厚度为定值$a$，纸的张数为$x$，总厚度为$y$，可得$y=ax$，符合一次函数定义，属于一次函数，不符合题意；
D. 普通钟表指针匀速转动，设单位时间转动的角度为定值$k$，所用时间为$x$，转动的角度为$y$，可得$y=kx$，符合一次函数定义，属于一次函数，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数的判定
2. 正比例函数的特征
【点评】
本题结合生活常见情景考查一次函数的识别，解题的关键是熟练掌握一次函数的表达式形式，能根据实际情景准确列出变量间的关系式即可正确作答。
【难度系数】
0.8
13.(教材P82例2变式)“元旦”假期，小名和家人一起开车从家出发到距家300千米的邓小平故里旅游.已知小名家有两辆车(出发前油箱均已加满，假设行驶过程中汽车的耗油量均匀)，混动车的剩余油量$Q_1$(升)与行驶路程$x$(千米)之间的关系式为$Q_1=50-0.05x$，燃油车的剩余油量$Q_2$(升)与行驶路程$x$(千米)之间的关系式为$Q_2=55-0.1x$.
回答下列问题：
(1)说明$Q_1$中0.05的实际意义，并说明哪辆车的油箱更大.
(2)当汽车到达邓小平故里时，求剩余油量$Q_1,Q_2$的值.
(3)当油箱中油量不超过4升时，汽车仪表盘油灯将自动报警，则当油灯刚好自动报警时，混动车比燃油车多行驶多少千米？
回答下列问题：
(1)说明$Q_1$中0.05的实际意义，并说明哪辆车的油箱更大.
(2)当汽车到达邓小平故里时，求剩余油量$Q_1,Q_2$的值.
(3)当油箱中油量不超过4升时，汽车仪表盘油灯将自动报警，则当油灯刚好自动报警时，混动车比燃油车多行驶多少千米？
答案
13.解:(1)0.05表示混动车每千米的耗油量为0.05升，燃油车油箱容量为55升，混动车油箱容量为50升，所以燃油车油箱更大.
(2)当$x=300$时，$Q_1=50-0.05x=50-0.05×300=35$；$Q_2=55-0.1x=55-0.1×300=25$.
(3)当$Q_1=Q_2=4$时，$4=50-0.05x_1$，解得$x_1=920$. $4=55-0.1x_2$，解得$x_2=510$. $920-510=410$(千米).
∴当油灯刚好自动报警时，混动车比燃油车多行驶410千米.
(2)当$x=300$时，$Q_1=50-0.05x=50-0.05×300=35$；$Q_2=55-0.1x=55-0.1×300=25$.
(3)当$Q_1=Q_2=4$时，$4=50-0.05x_1$，解得$x_1=920$. $4=55-0.1x_2$，解得$x_2=510$. $920-510=410$(千米).
∴当油灯刚好自动报警时，混动车比燃油车多行驶410千米.
解析
【分析】
(1) 首先明确剩余油量的关系式逻辑：剩余油量=油箱总容量-每千米耗油量×行驶路程，因此混动车关系式中x的系数0.05就是混动车每千米的耗油量；两个关系式的常数项对应两车满油时的总油量，比较常数项大小即可判断油箱大小。
(2) 到达目的地时行驶路程为300千米，直接将x=300分别代入两个剩余油量关系式计算即可得到对应数值。
(3) 油灯刚好报警时剩余油量为4升，分别令两个剩余油量等于4，解一元一次方程得到两车报警时的行驶路程，再作差即可得到混动车多行驶的距离。
【解析】
(1) 根据剩余油量的构成规律，Q₁=50-0.05x中0.05的实际意义是混动车每行驶1千米的耗油量为0.05升；
混动车满油总容量为50升，燃油车满油总容量为55升，因为55＞50，所以燃油车的油箱更大。
(2) 到达邓小平故里时行驶路程x=300千米，
代入Q₁=50-0.05x得：$Q_1=50-0.05×300=35$（升）；
代入Q₂=55-0.1x得：$Q_2=55-0.1×300=25$（升）。
(3) 当油灯刚好报警时，剩余油量为4升，
对混动车：令$Q_1=4$，即$4=50-0.05x_1$，
解得$x_1=920$千米；
对燃油车：令$Q_2=4$，即$4=55-0.1x_2$，
解得$x_2=510$千米；
混动车比燃油车多行驶的路程为：$920-510=410$（千米）。
【答案】
(1) 0.05表示混动车每千米耗油量为0.05升，燃油车油箱更大；
(2) $Q_1=35$升，$Q_2=25$升；
(3) 410千米
【知识点】
一次函数的实际意义，代数式求值，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合汽车油耗的生活场景考查一次函数的实际应用，解题核心是准确理解函数关系式中各参数的实际含义，根据题干要求正确代入计算或列方程求解，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
(1) 首先明确剩余油量的关系式逻辑：剩余油量=油箱总容量-每千米耗油量×行驶路程，因此混动车关系式中x的系数0.05就是混动车每千米的耗油量；两个关系式的常数项对应两车满油时的总油量，比较常数项大小即可判断油箱大小。
(2) 到达目的地时行驶路程为300千米，直接将x=300分别代入两个剩余油量关系式计算即可得到对应数值。
(3) 油灯刚好报警时剩余油量为4升，分别令两个剩余油量等于4，解一元一次方程得到两车报警时的行驶路程，再作差即可得到混动车多行驶的距离。
【解析】
(1) 根据剩余油量的构成规律，Q₁=50-0.05x中0.05的实际意义是混动车每行驶1千米的耗油量为0.05升；
混动车满油总容量为50升，燃油车满油总容量为55升，因为55＞50，所以燃油车的油箱更大。
(2) 到达邓小平故里时行驶路程x=300千米，
代入Q₁=50-0.05x得：$Q_1=50-0.05×300=35$（升）；
代入Q₂=55-0.1x得：$Q_2=55-0.1×300=25$（升）。
(3) 当油灯刚好报警时，剩余油量为4升，
对混动车：令$Q_1=4$，即$4=50-0.05x_1$，
解得$x_1=920$千米；
对燃油车：令$Q_2=4$，即$4=55-0.1x_2$，
解得$x_2=510$千米；
混动车比燃油车多行驶的路程为：$920-510=410$（千米）。
【答案】
(1) 0.05表示混动车每千米耗油量为0.05升，燃油车油箱更大；
(2) $Q_1=35$升，$Q_2=25$升；
(3) 410千米
【知识点】
一次函数的实际意义，代数式求值，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合汽车油耗的生活场景考查一次函数的实际应用，解题核心是准确理解函数关系式中各参数的实际含义，根据题干要求正确代入计算或列方程求解，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
14. (教材P86习题T2变式)将“”和“◣”按如图所示的方式有规律的排列.
(1)设图n中“”的个数为x，“
”的个数为y，则x与n之间的关系式为
(2)写出y与x之间的关系式：
(3)若图n中“”的个数与“◣”的个数之和为247，则x=
…
(1)设图n中“”的个数为x，“
”的个数为y，则x与n之间的关系式为$x=n+1$
，y与n之间的关系式为$y=2n$
.(2)写出y与x之间的关系式：
$y=2x-2$
.(3)若图n中“”的个数与“◣”的个数之和为247，则x=
$83$
.…
答案
14.(1)$x=n+1$ $y=2n$ (2)$y=2x-2$ (3)$83$
解析
【分析】
(1) 可通过列举前几个图形中两种图形的数量推导规律：观察图形变化可知，第1个图中正方形个数为2=1+1、三角形个数为2=2×1；第2个图中正方形个数为3=2+1、三角形个数为4=2×2；第3个图中正方形个数为4=3+1、三角形个数为6=2×3，以此类推即可得到x、y与n的关系式。
(2) 将x=n+1变形为n=x-1，代入y=2n中消去n，即可得到y与x的关系式。
(3) 根据“两种图形个数之和为247”列方程，再代入y与x的关系式解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 观察图形数量规律：
当n=1时，$x=1+1$，$y=2×1$；
当n=2时，$x=2+1$，$y=2×2$；
当n=3时，$x=3+1$，$y=2×3$；
……
因此第n个图中，$x=n+1$，$y=2n$。
(2) 由$x=n+1$可得$n=x-1$，将其代入$y=2n$得：
$y=2(x-1)=2x-2$。
(3) 根据题意得$x+y=247$，将$y=2x-2$代入方程：
$x+2x-2=247$
合并同类项得$3x=249$
解得$x=83$。
【答案】
(1)$x=n+1$；$y=2n$
(2)$y=2x-2$
(3)$83$
【知识点】
图形规律探究；函数关系式推导；一元一次方程求解
【点评】
本题结合图形规律考查函数关系式的推导与方程的应用，解题核心是先通过列举前几个图形的特征找到数量变化规律，再通过代数变形得到变量间的关系，是规律探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 可通过列举前几个图形中两种图形的数量推导规律：观察图形变化可知，第1个图中正方形个数为2=1+1、三角形个数为2=2×1；第2个图中正方形个数为3=2+1、三角形个数为4=2×2；第3个图中正方形个数为4=3+1、三角形个数为6=2×3，以此类推即可得到x、y与n的关系式。
(2) 将x=n+1变形为n=x-1，代入y=2n中消去n，即可得到y与x的关系式。
(3) 根据“两种图形个数之和为247”列方程，再代入y与x的关系式解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 观察图形数量规律：
当n=1时，$x=1+1$，$y=2×1$；
当n=2时，$x=2+1$，$y=2×2$；
当n=3时，$x=3+1$，$y=2×3$；
……
因此第n个图中，$x=n+1$，$y=2n$。
(2) 由$x=n+1$可得$n=x-1$，将其代入$y=2n$得：
$y=2(x-1)=2x-2$。
(3) 根据题意得$x+y=247$，将$y=2x-2$代入方程：
$x+2x-2=247$
合并同类项得$3x=249$
解得$x=83$。
【答案】
(1)$x=n+1$；$y=2n$
(2)$y=2x-2$
(3)$83$
【知识点】
图形规律探究；函数关系式推导；一元一次方程求解
【点评】
本题结合图形规律考查函数关系式的推导与方程的应用，解题核心是先通过列举前几个图形的特征找到数量变化规律，再通过代数变形得到变量间的关系，是规律探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
