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【知识点1】三角形全等的性质
○全等三角形的对应边
○全等三角形的对应边
相等
，全等三角形的对应角相等
.答案
相等 相等
解析
【分析】
本题考查全等三角形性质的基础识记，解题思路如下：首先回忆全等三角形的定义，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，其中互相重合的边是对应边，互相重合的角是对应角，既然边完全重合说明长度相等，角完全重合说明度数相等，据此即可直接填出答案。
【解析】
根据全等三角形的性质可知：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，因此两个空依次填入相等、相等。
【答案】
相等 相等
【知识点】
三角形全等的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对全等三角形核心性质的记忆掌握情况，该知识点是后续运用全等三角形解决几何证明、线段/角度计算问题的基础，需要熟练牢记。
【难度系数】
0.9
本题考查全等三角形性质的基础识记，解题思路如下：首先回忆全等三角形的定义，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，其中互相重合的边是对应边，互相重合的角是对应角，既然边完全重合说明长度相等，角完全重合说明度数相等，据此即可直接填出答案。
【解析】
根据全等三角形的性质可知：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，因此两个空依次填入相等、相等。
【答案】
相等 相等
【知识点】
三角形全等的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对全等三角形核心性质的记忆掌握情况，该知识点是后续运用全等三角形解决几何证明、线段/角度计算问题的基础，需要熟练牢记。
【难度系数】
0.9
1. 如图14.2-24，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=30°，则∠ACA'的度数为（
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
B
）A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，由此可得两个全等三角形的对应角∠ACB和∠A'CB'相等。观察图形可知这两个角包含公共角∠A'CB，将两个相等的角同时减去公共角，剩余的角度仍然相等，即可推出∠ACA'和已知的∠BCB'度数相等，代入已知数据就能求出结果。
【解析】
解：
∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB = ∠A'CB'（全等三角形的对应角相等），
等式两边同时减去公共角∠A'CB，可得：
∠ACB - ∠A'CB = ∠A'CB' - ∠A'CB，
即∠ACA' = ∠BCB'，
又
∵∠BCB' = 30°，
∴∠ACA' = 30°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用全等三角形对应角相等的性质，结合角的和差关系推导所求角和已知角的等量关系，熟练掌握全等三角形的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，由此可得两个全等三角形的对应角∠ACB和∠A'CB'相等。观察图形可知这两个角包含公共角∠A'CB，将两个相等的角同时减去公共角，剩余的角度仍然相等，即可推出∠ACA'和已知的∠BCB'度数相等，代入已知数据就能求出结果。
【解析】
解：
∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB = ∠A'CB'（全等三角形的对应角相等），
等式两边同时减去公共角∠A'CB，可得：
∠ACB - ∠A'CB = ∠A'CB' - ∠A'CB，
即∠ACA' = ∠BCB'，
又
∵∠BCB' = 30°，
∴∠ACA' = 30°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用全等三角形对应角相等的性质，结合角的和差关系推导所求角和已知角的等量关系，熟练掌握全等三角形的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 如图14.2-25，小李利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果$△ AOB ≌ △ COD$，则只需测出（
A.OD的长度
B.CD的长度
C.AB的长度
D.AC的长度
B
）A.OD的长度
B.CD的长度
C.AB的长度
D.AC的长度
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的核心性质：全等三角形的对应边相等。再根据全等三角形的书写规则，全等符号前后的顶点是一一对应的，由此找到待求边AB的对应边，即可确定需要测量的线段长度。
【解析】
∵△AOB≌△COD，根据全等三角形对应边相等的性质，且由全等的顶点对应关系可知，AB的对应边为CD，
∴AB=CD，
因此要得到池塘两端A、B的距离，只需测出CD的长度即可，故选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形性质；对应边识别
【点评】
本题考查全等三角形在实际测量中的基础应用，解题的核心是准确找到全等三角形的对应边，利用对应边相等的性质将难以直接测量的长度转化为容易测量的长度，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆全等三角形的核心性质：全等三角形的对应边相等。再根据全等三角形的书写规则，全等符号前后的顶点是一一对应的，由此找到待求边AB的对应边，即可确定需要测量的线段长度。
【解析】
∵△AOB≌△COD，根据全等三角形对应边相等的性质，且由全等的顶点对应关系可知，AB的对应边为CD，
∴AB=CD，
因此要得到池塘两端A、B的距离，只需测出CD的长度即可，故选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形性质；对应边识别
【点评】
本题考查全等三角形在实际测量中的基础应用，解题的核心是准确找到全等三角形的对应边，利用对应边相等的性质将难以直接测量的长度转化为容易测量的长度，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
(1) 如图14.2-26，从C地看A，B两地的视角∠C是锐角，从C地到A，B两地的距离相等，A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等吗？为什么？
(2) 在 (1) 的条件下，若从A地看D，B两地的视角∠DAB=24°，求∠C的度数。
(2) 在 (1) 的条件下，若从A地看D，B两地的视角∠DAB=24°，求∠C的度数。
答案
解：（1）AD=BE. 理由如下：
∵CA = CB，
∴∠CAB = ∠CBA.
∵AD ⊥ BC，BE ⊥ AC，
∴∠ADB=∠BEA=90°. 又
∵AB=BA，
∴△ADB≌△BEA（AAS）.
∴AD=BE.
（2）
∵∠DAB=24°，AD ⊥ BC，
∴∠ABC=90°-24°=66°. 又
∵CA = CB，AD = BE，
∴△ADB ≌ △BEA（HL），
∴∠ABC=∠BAC=66°.
∴∠C=180°-66°-66°=48°.
∵CA = CB，
∴∠CAB = ∠CBA.
∵AD ⊥ BC，BE ⊥ AC，
∴∠ADB=∠BEA=90°. 又
∵AB=BA，
∴△ADB≌△BEA（AAS）.
∴AD=BE.
（2）
∵∠DAB=24°，AD ⊥ BC，
∴∠ABC=90°-24°=66°. 又
∵CA = CB，AD = BE，
∴△ADB ≌ △BEA（HL），
∴∠ABC=∠BAC=66°.
∴∠C=180°-66°-66°=48°.
解析
【分析】
(1) 要判断AD与BE是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知CA=CB，由等腰三角形性质可得∠CAB=∠CBA，结合AD⊥BC、BE⊥AC得到的相等直角，以及公共边AB，可证明△ADB和△BEA全等，即可得到对应边AD=BE。
(2) 先在Rt△ADB中，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数，再结合等腰三角形等边对等角的性质得到∠BAC=∠ABC，最后根据三角形内角和为180°，即可计算出∠C的度数。
【解析】
(1) AD=BE，理由如下：
∵ CA = CB，
∴ ∠CAB = ∠CBA，
∵ AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ ∠ADB = ∠BEA = 90°，
在△ADB和△BEA中：
$\begin{cases}∠ADB=∠BEA \\∠DBA=∠EAB \\AB=BA\end{cases}$
∴ △ADB≌△BEA（AAS），
∴ AD=BE。
(2)
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
已知∠DAB=24°，
∴ ∠ABC = 90° - ∠DAB = 90° - 24° = 66°，
∵ CA=CB，
∴ ∠BAC = ∠ABC = 66°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠C = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 180° - 66° - 66° = 48°。
【答案】
(1) AD=BE，理由见解析；(2) $\boldsymbol{48°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题将等腰三角形性质与全等三角形的判定结合考查，解题的关键是准确找准全等三角形的对应元素，灵活选用判定定理证明三角形全等，同时熟练运用直角三角形、三角形内角和的相关性质进行角度计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断AD与BE是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知CA=CB，由等腰三角形性质可得∠CAB=∠CBA，结合AD⊥BC、BE⊥AC得到的相等直角，以及公共边AB，可证明△ADB和△BEA全等，即可得到对应边AD=BE。
(2) 先在Rt△ADB中，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数，再结合等腰三角形等边对等角的性质得到∠BAC=∠ABC，最后根据三角形内角和为180°，即可计算出∠C的度数。
【解析】
(1) AD=BE，理由如下：
∵ CA = CB，
∴ ∠CAB = ∠CBA，
∵ AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ ∠ADB = ∠BEA = 90°，
在△ADB和△BEA中：
$\begin{cases}∠ADB=∠BEA \\∠DBA=∠EAB \\AB=BA\end{cases}$
∴ △ADB≌△BEA（AAS），
∴ AD=BE。
(2)
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
已知∠DAB=24°，
∴ ∠ABC = 90° - ∠DAB = 90° - 24° = 66°，
∵ CA=CB，
∴ ∠BAC = ∠ABC = 66°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠C = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 180° - 66° - 66° = 48°。
【答案】
(1) AD=BE，理由见解析；(2) $\boldsymbol{48°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题将等腰三角形性质与全等三角形的判定结合考查，解题的关键是准确找准全等三角形的对应元素，灵活选用判定定理证明三角形全等，同时熟练运用直角三角形、三角形内角和的相关性质进行角度计算。
【难度系数】
0.7
【例】如图14.2-27所示，两根旗杆间相距12 m，某人从B点沿BA走向A，一定时间后到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为$90°$，且$CM=DM$，已知旗杆AC的高为3 m，该人的运动速度为1 m/s，求这个人运动了多长时间.
【点拨】本题的基础仍然是证明两个三角形全等，根据$∠ CMD=90°$，利用互余关系可以得出$∠ ACM=∠ DMB$，证明三角形全等的另外两个条件容易看出，利用全等的性质可求得$AC=BM=3$，从而求得运动时间.解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应
角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，本题的关键是求得$\mathrm{Rt}△ ACM≌\mathrm{Rt}△ BMD$.
【点拨】本题的基础仍然是证明两个三角形全等，根据$∠ CMD=90°$，利用互余关系可以得出$∠ ACM=∠ DMB$，证明三角形全等的另外两个条件容易看出，利用全等的性质可求得$AC=BM=3$，从而求得运动时间.解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应
角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，本题的关键是求得$\mathrm{Rt}△ ACM≌\mathrm{Rt}△ BMD$.
答案
解：
∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°. 又
∵∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠DMB. 在 Rt△ACM 和 Rt△BMD 中，
$\begin{cases}∠CAM=∠DBM,\\∠ACM=∠DMB,\\CM=MD,\end{cases}$
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴AC=BM=3.
∴他到达点 M 时，运动时间为 3÷1=3（s）. 答：该人运动了3 s.
∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°. 又
∵∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠DMB. 在 Rt△ACM 和 Rt△BMD 中，
$\begin{cases}∠CAM=∠DBM,\\∠ACM=∠DMB,\\CM=MD,\end{cases}$
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴AC=BM=3.
∴他到达点 M 时，运动时间为 3÷1=3（s）. 答：该人运动了3 s.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先观察到∠A、∠B均为直角，且∠CMD=90°，利用直角三角形两锐角互余的性质，可得∠CMA与∠ACM互余，∠CMA也与∠DMB互余，根据同角的余角相等即可推出∠ACM=∠DMB；再结合已知的CM=DM、两个直角相等的条件，可用AAS证明Rt△ACM和Rt△BMD全等；全等后对应边相等，可得AC=BM，已知AC长度为3m，即此人行走的路程BM为3m，最后结合行走速度，用路程除以速度即可算出运动时间。
【解析】
解：
∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°，
又
∵∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠DMB。
在Rt△ACM和Rt△BMD中，
$\begin{cases}∠CAM=∠DBM=90°,\\∠ACM=∠DMB,\\CM=MD,\end{cases}$
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴AC=BM=3 m，
已知该人的运动速度为1 m/s，
则运动时间为$3÷1=3$（s）。
【答案】
3 s
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际场景中的应用类题目，解题核心是通过角度的互余关系找到三角形全等的判定条件，利用全等三角形对应边相等的性质将未知线段转化为已知线段求解，考查了学生将实际问题转化为几何模型的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先观察到∠A、∠B均为直角，且∠CMD=90°，利用直角三角形两锐角互余的性质，可得∠CMA与∠ACM互余，∠CMA也与∠DMB互余，根据同角的余角相等即可推出∠ACM=∠DMB；再结合已知的CM=DM、两个直角相等的条件，可用AAS证明Rt△ACM和Rt△BMD全等；全等后对应边相等，可得AC=BM，已知AC长度为3m，即此人行走的路程BM为3m，最后结合行走速度，用路程除以速度即可算出运动时间。
【解析】
解：
∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°，
又
∵∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠DMB。
在Rt△ACM和Rt△BMD中，
$\begin{cases}∠CAM=∠DBM=90°,\\∠ACM=∠DMB,\\CM=MD,\end{cases}$
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴AC=BM=3 m，
已知该人的运动速度为1 m/s，
则运动时间为$3÷1=3$（s）。
【答案】
3 s
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际场景中的应用类题目，解题核心是通过角度的互余关系找到三角形全等的判定条件，利用全等三角形对应边相等的性质将未知线段转化为已知线段求解，考查了学生将实际问题转化为几何模型的应用能力。
【难度系数】
0.7
