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1. 如图，为了测量池塘两岸A，B间的距离，在B点同侧选取点C，经测量∠ACB=30°，然后在BC的一侧找到一点D，使得BC为∠ABD的平分线，且∠DCB=30°。若BD的长为8 m，则池塘两岸A，B之间的距离为
8
m.答案
1. 8
解析
【分析】
要计算池塘两岸A、B之间的距离，已知BD的长度，可通过证明AB与BD所在的三角形全等，利用全等三角形对应边相等求解。首先根据角平分线的定义可得∠ABC=∠DBC，结合已知的∠ACB=∠DCB=30°，以及两个三角形的公共边BC，可依据角边角（ASA）判定定理证明△ABC和△DBC全等，进而得到AB=BD，代入BD的长度即可求出AB的值。
【解析】
∵ BC为∠ABD的平分线，
∴ ∠ABC = ∠DBC。
在△ABC和△DBC中：
$\{\begin{array}{l}∠ABC = ∠DBC \quad (\mathrm{已证}) \\BC = BC \quad (\mathrm{公共边}) \\∠ACB = ∠DCB = 30° \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ DBC$（ASA）
∴ $AB = BD$（全等三角形的对应边相等）
∵ $BD = 8\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = 8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量问题中的基础应用，解题核心是结合已知条件找到全等的三角形，利用全等三角形的性质转化线段长度，解题思路清晰，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
要计算池塘两岸A、B之间的距离，已知BD的长度，可通过证明AB与BD所在的三角形全等，利用全等三角形对应边相等求解。首先根据角平分线的定义可得∠ABC=∠DBC，结合已知的∠ACB=∠DCB=30°，以及两个三角形的公共边BC，可依据角边角（ASA）判定定理证明△ABC和△DBC全等，进而得到AB=BD，代入BD的长度即可求出AB的值。
【解析】
∵ BC为∠ABD的平分线，
∴ ∠ABC = ∠DBC。
在△ABC和△DBC中：
$\{\begin{array}{l}∠ABC = ∠DBC \quad (\mathrm{已证}) \\BC = BC \quad (\mathrm{公共边}) \\∠ACB = ∠DCB = 30° \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ DBC$（ASA）
∴ $AB = BD$（全等三角形的对应边相等）
∵ $BD = 8\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = 8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量问题中的基础应用，解题核心是结合已知条件找到全等的三角形，利用全等三角形的性质转化线段长度，解题思路清晰，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示，BC，AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD=BF，AF=7，CF=2，则BD的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2. B
解析
【分析】
首先根据已知条件中BC、AE是三角形的高，可得多个直角，利用“同角的余角相等”推导得到∠FBC=∠DAC，结合已知AD=BF，可证明△FBC和△DAC全等，再利用全等三角形对应边相等的性质得到相关线段的长度，最后通过线段的和差计算BD的长度。
【解析】
∵BC、AE是锐角△ABF的高
∴∠BCF=∠ACD=90°
∴∠F + ∠FBC = 90°，∠F + ∠FAE = 90°
∴∠FBC = ∠DAC
在△FBC和△DAC中：
$\{\begin{array}{l}∠BCF = ∠ACD \\∠FBC = ∠DAC \\AD = BF\end{array} $
∴△FBC ≌ △DAC（AAS）
∴BC = AC，CD = CF
已知AF=7，CF=2
∴AC = AF - CF = 7 - 2 = 5，CD=2
∴BC = AC = 5
∴BD = BC - CD = 5 - 2 = 3
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的突破口是利用高的性质结合同角的余角相等得到相等的角，进而证明三角形全等，再结合线段和差即可求解，是三角形全等应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件中BC、AE是三角形的高，可得多个直角，利用“同角的余角相等”推导得到∠FBC=∠DAC，结合已知AD=BF，可证明△FBC和△DAC全等，再利用全等三角形对应边相等的性质得到相关线段的长度，最后通过线段的和差计算BD的长度。
【解析】
∵BC、AE是锐角△ABF的高
∴∠BCF=∠ACD=90°
∴∠F + ∠FBC = 90°，∠F + ∠FAE = 90°
∴∠FBC = ∠DAC
在△FBC和△DAC中：
$\{\begin{array}{l}∠BCF = ∠ACD \\∠FBC = ∠DAC \\AD = BF\end{array} $
∴△FBC ≌ △DAC（AAS）
∴BC = AC，CD = CF
已知AF=7，CF=2
∴AC = AF - CF = 7 - 2 = 5，CD=2
∴BC = AC = 5
∴BD = BC - CD = 5 - 2 = 3
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的突破口是利用高的性质结合同角的余角相等得到相等的角，进而证明三角形全等，再结合线段和差即可求解，是三角形全等应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图，已知$AB=DC$，$AD=BC$，$E$，$F$是$DB$上两点，且$BF=DE$，若$∠ AEB=120°$，$∠ ADB=30°$，则$∠ BCF$的度数为
90°
。答案
3. 90°
解析
【分析】
解题思路如下：①首先观察已知条件AB=DC、AD=BC，结合公共边BD，可通过SSS判定△ABD≌△CDB，得到对应角∠ADB=∠CBD=30°；②要求∠BCF的度数，可通过证明△ADE和△CBF全等，将∠BCF转化为∠DAE求解：已知AD=BC、DE=BF，结合第一步得到的∠ADE=∠CBF，可通过SAS判定两三角形全等，得∠BCF=∠DAE；③最后利用三角形外角的性质，∠AEB是△ADE的外角，等于两个不相邻内角∠ADB与∠DAE的和，代入已知角度即可求出∠DAE的度数，进而得到∠BCF的度数。
【解析】
解：
1. 证明△ABD≌△CDB：
在△ABD和△CDB中，
$\{\begin{array}{l}AB=DC\\AD=BC\\BD=DB\quad (\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠ADB=∠CBD=30°（全等三角形对应角相等）
2. 证明△ADE≌△CBF：
在△ADE和△CBF中，
$\{\begin{array}{l}AD=BC\\∠ADE=∠CBF\\DE=BF\end{array} $
∴△ADE≌△CBF（SAS）
∴∠BCF=∠DAE（全等三角形对应角相等）
3. 利用三角形外角性质计算角度：
∵∠AEB是△ADE的外角
∴∠AEB=∠ADB+∠DAE
已知∠AEB=120°，∠ADB=30°，代入得：
$∠DAE=∠AEB-∠ADB=120°-30°=90°$
∴$∠BCF=∠DAE=90°$
【答案】
90°
【知识点】
SSS全等判定，SAS全等判定，三角形外角性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题的核心是通过两次全等转化待求角，再结合三角形外角性质计算角度，有助于锻炼学生的逻辑推导能力和条件转化能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先观察已知条件AB=DC、AD=BC，结合公共边BD，可通过SSS判定△ABD≌△CDB，得到对应角∠ADB=∠CBD=30°；②要求∠BCF的度数，可通过证明△ADE和△CBF全等，将∠BCF转化为∠DAE求解：已知AD=BC、DE=BF，结合第一步得到的∠ADE=∠CBF，可通过SAS判定两三角形全等，得∠BCF=∠DAE；③最后利用三角形外角的性质，∠AEB是△ADE的外角，等于两个不相邻内角∠ADB与∠DAE的和，代入已知角度即可求出∠DAE的度数，进而得到∠BCF的度数。
【解析】
解：
1. 证明△ABD≌△CDB：
在△ABD和△CDB中，
$\{\begin{array}{l}AB=DC\\AD=BC\\BD=DB\quad (\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠ADB=∠CBD=30°（全等三角形对应角相等）
2. 证明△ADE≌△CBF：
在△ADE和△CBF中，
$\{\begin{array}{l}AD=BC\\∠ADE=∠CBF\\DE=BF\end{array} $
∴△ADE≌△CBF（SAS）
∴∠BCF=∠DAE（全等三角形对应角相等）
3. 利用三角形外角性质计算角度：
∵∠AEB是△ADE的外角
∴∠AEB=∠ADB+∠DAE
已知∠AEB=120°，∠ADB=30°，代入得：
$∠DAE=∠AEB-∠ADB=120°-30°=90°$
∴$∠BCF=∠DAE=90°$
【答案】
90°
【知识点】
SSS全等判定，SAS全等判定，三角形外角性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题的核心是通过两次全等转化待求角，再结合三角形外角性质计算角度，有助于锻炼学生的逻辑推导能力和条件转化能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是边$BC$上的一点，连接$AD$，以$AD$为边作$△ ADE$，使$AE=AD$，且$∠ DAE=∠ BAC$，连接$EC$，若$BD=2$，求$EC$的长。
答案
4. 解：
∵∠DAE = ∠BAC，
∴∠DAE - ∠CAD = ∠BAC - ∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴EC=BD=2，
∴EC的长是2.
∵∠DAE = ∠BAC，
∴∠DAE - ∠CAD = ∠BAC - ∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴EC=BD=2，
∴EC的长是2.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知AB=AC、AD=AE，且∠DAE=∠BAC，目标是求EC的长，可通过证明EC与已知长度的BD所在的三角形全等求解。首先利用角的和差关系，将相等的∠DAE和∠BAC同时减去公共角∠CAD，即可得到△CAE和△BAD的一组对应夹角相等，结合已知的两组对应边相等，就能用SAS判定两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得出EC的长度。
【解析】
解：
∵∠DAE = ∠BAC，
∴∠DAE - ∠CAD = ∠BAC - ∠CAD，即∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中：
$\{\begin{array}{l}AC=AB\\∠CAE=∠BAD\\AE=AD\end{array} $
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴EC=BD，
∵BD=2，
∴EC=2。
【答案】
2
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题核心是通过等角减公共角得到全等所需的对应夹角相等，进而证明三角形全等得到对应边的长度，属于全等判定的常规考查题型，掌握全等三角形的判定和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知AB=AC、AD=AE，且∠DAE=∠BAC，目标是求EC的长，可通过证明EC与已知长度的BD所在的三角形全等求解。首先利用角的和差关系，将相等的∠DAE和∠BAC同时减去公共角∠CAD，即可得到△CAE和△BAD的一组对应夹角相等，结合已知的两组对应边相等，就能用SAS判定两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得出EC的长度。
【解析】
解：
∵∠DAE = ∠BAC，
∴∠DAE - ∠CAD = ∠BAC - ∠CAD，即∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中：
$\{\begin{array}{l}AC=AB\\∠CAE=∠BAD\\AE=AD\end{array} $
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴EC=BD，
∵BD=2，
∴EC=2。
【答案】
2
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题核心是通过等角减公共角得到全等所需的对应夹角相等，进而证明三角形全等得到对应边的长度，属于全等判定的常规考查题型，掌握全等三角形的判定和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
