三、解答题(共52分)
9.(17分)(2024·甘孜州)如图,AB为$\odot O$的弦,C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,过点C作$CD// AB$,交OB的延长线于点D.连接OA,OC.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线;
(2)若$OA=3,BD=2$,求$△ OCD$的面积.

证明：(1)设$OC$交$AB$于点$E。$ 因为$OC$是$\odot O$的半径，$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点， 所以$OC$垂直平分$AB。$ 因为$CD// AB，$所以$∠OCD=∠OEB = 90°。$ 因为$OC$是$\odot O$的半径，且$CD\perp OC，$
所以$CD$是$\odot O$的切线。 (2)解：因为$OA = OC = OB = 3，$$BD = 2，$ 所以$OD=OB + BD=3 + 2 = 5。$ 因为$∠OCD = 90°，$
所以$CD=\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4，$ 所以$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}CD·OC=\frac{1}{2}×4×3 = 6。$ ;

10.(17分)如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为16 m,拱高($\overset{\frown}{AB}$的中点C到弦AB的距离)CD为4 m.有一艘宽为10 m的货船,船舱顶部为长方形,并高出水面2 m,则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥,并说明理由.

解：此货船能顺利通过这座拱桥。 理由：设圆弧形拱桥所在圆的圆心为​$O，$​则点​$O$​在​$CD$​的延长线上，连接​$OB。$​​$ $​因为​$OC\perp AB，$​所以​$D$​为​$AB$​的中点。​$ $​因为​$AB = 16m，$​所以​$BD=\frac {1}{2}AB = 8m。$​​$ $​又因为​$CD = 4m，$​​$ $​设​$OB = OC = rm，$​则​$OD=(r - 4)m。$​​$ $​在​$Rt\triangle BOD$​中，根据勾股定理，得​$r^2=(r - 4)^2+8^2，$​​$ $​展开得​$r^2=r^2-8r + 16+64，$​​$ $​移项得​$r^2-r^2+8r=16 + 64，$​​$ $​合并同类项得​$8r = 80，$​​$ $​解得​$r = 10，$​​$ $​所以圆弧形拱桥所在圆的半径为​$10m。$​​$ $​连接​$ON。$​因为​$CD = 4m，$​船舱顶部为长方形并高出水面​$2m，$​​$ $​所以​$CE=4 - 2 = 2(\mathrm {m})，$​所以​$OE=10 - 2 = 8(\mathrm {m})。$​​$ $​在​$Rt\triangle OEN$​中，​$EN=\sqrt {ON^2-OE^2}=\sqrt {10^2-8^2}=\sqrt {100 - 64}=\sqrt {36}=6m。$​​$ $​所以​$MN = 2EN=2×6 = 12>10，$​ 所以此货船能顺利通过这座拱桥。 ;

11.(18分)(2024·绥化)如图①，O是正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OC长为半径的$\odot O$与AD相切于点E，与AC相交于点F.
(1)求证:AB与$\odot O$相切；
(2)若正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}+1$，求$\odot O$的半径；
(3)如图②，在(2)的条件下，若M是半径OC上的一个动点，过点M作$MN⊥ OC$交$\overset{\frown}{CE}$于点N.当$CM:FM=1:4$时，求CN的长.

第11题图

证明：​$(1)$​连接​$OE，$​过点​$O$​作​$OG\perp AB$​于点​$G。$​​$ $​因为​$\odot O$​与​$AD$​相切于点​$E，$​所以​$OE\perp AD。$​​$ $​因为四边形​$ABCD$​是正方形，​$AC$​是正方形的对角线，​$ $​所以​$∠BAC=∠DAC = 45°，$​所以​$OE = OG。$​​$ $​因为​$OE$​为​$\odot O$​的半径，所以​$OG $​为​$\odot O$​的半径。​$ $​因为​$OG\perp AB，$​所以​$AB$​与​$\odot O$​相切。​$ (2)$​解：因为​$AC$​为正方形​$ABCD$​的对角线，所以​$∠DAC = 45°。$​​$ $​因为​$\odot O$​与​$AD$​相切于点​$E，$​所以​$∠AEO = 90°，$​所以​$AE = OE。$​​$ $​设​$AE=OE=OC=OF = R。$​在​$Rt\triangle AEO$​中，​$ $​因为​$AE^2+EO^2=AO^2，$​所以​$AO^2=R^2+R^2，$​因为​$R>0，$​​$ $​所以​$AO=\sqrt {2}R。$​​$ $​因为正方形​$ABCD$​的边长为​$\sqrt {2}+1，$​在​$Rt\triangle ADC$​中，​$AC=\sqrt {AD^2+CD^2}=\sqrt {(\sqrt {2}+1)^2+(\sqrt {2}+1)^2}$​​$=\sqrt {2}(\sqrt {2}+1)，$​​$OA + OC = AC，$​​$ $​所以​$\sqrt {2}R+R=\sqrt {2}(\sqrt {2}+1)，$​​$ $​即​$(\sqrt {2}+1)R=\sqrt {2}(\sqrt {2}+1)，$​解得​$R=\sqrt {2}，$​​$ $​所以​$\odot O$​的半径为​$\sqrt {2}。$​​$ (3)$​解：连接​$ON，$​设​$CM = k。$​​$ $​因为​$CM：FM = 1：4，$​所以​$CF = 5k，$​所以​$OC=ON=\frac {5}{2}k，$​​$ $​所以​$OM=OC - CM=\frac {5}{2}k - k=\frac {3}{2}k。$​​$ $​在​$Rt\triangle OMN$​中，由勾股定理，得​$MN=\sqrt {ON^2-OM^2}=\sqrt {(\frac {5}{2}k)^2-(\frac {3}{2}k)^2}$​​$=\sqrt {\frac {25}{4}k^2-\frac {9}{4}k^2}=\sqrt {4k^2} = 2k。$​​$ $​在​$Rt\triangle CMN$​中，由勾股定理，得​$CN=\sqrt {CM^2+MN^2}=\sqrt {k^2+(2k)^2}=\sqrt {5k^2}=\sqrt {5}k。$​​$ $​因为​$FC = 5k = 2R = 2\sqrt {2}，$​所以​$k=\frac {2\sqrt {2}}{5}，$​​$ $​所以​$CN=\sqrt {5}×\frac {2\sqrt {2}}{5}=\frac {2\sqrt {10}}{5}。$​ ;
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