3. 如图①, $\odot O$ 为 $△ ABC$ 的外接圆, 半径为 6, $AB=AC, ∠ BAC=120°, D$ 为优弧 $BC$ 上异于 $B、C$ 的一动点, 连接 $DA、DB、DC$.
(1)求证: $DA$ 平分 $∠ BDC$.
(2)如图②, $CM$ 平分 $∠ BCD$, 且与 $AD$ 交于点 $M$.
花花同学认为:无论点 $D$ 运动到哪里,始终有 $AM=AC$;
都都同学认为:$AM$ 的长会随着点 $D$ 的运动而变化.
你赞同谁的观点,请说明理由.

解：​$(1)$​因为​$AB = AC，$​所以​$\overset {\frown }{AB}=\overset {\frown }{AC}，$​根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得​$∠ADB=∠ADC，$​所以​$DA$​平分​$∠BDC。$​​$ (2)$​我赞同花花的观点。理由如下：​$ $​由​$(1)$​可知​$∠ADB=∠ADC，$​因为​$CM$​平分​$∠BCD，$​所以​$∠BCM=∠DCM。$​​$ $​因为​$\overset {\frown }{AB}=\overset {\frown }{AB}，$​所以​$∠ADB=∠ACB，$​则​$∠ACB=∠ADC。$​​$ $​因为​$∠AMC=∠ADC+∠DCM，$​​$∠ACM=∠ACB+∠BCM，$​所以​$∠AMC=∠ACM，$​所以​$AC = AM，$​所以无论点​$D$​运动到哪里，始终有​$AM = AC。$​

4. 如图,已知等腰直角三角形$BCD,∠BCD=90°,B、D$在$\odot O$上,延长$BC$交$\odot O$于点$F$,过点$B$作$BE⊥BC$,交$\odot O$于点$E$,连接$DE、EF$,$I$是$△ FBE$的内心.
(1)如图①,求证:$∠DEF=∠DFE$;
(2)如图②,连接$BI$并延长交$\odot O$于点$A$,求证:$AI=AF$;
(3)如图③,过点$I$作$EF$的垂线,垂足为$M$,当$CD=2$时,求$FM-EM$的长度.

解：​$(1)$​因为​$BE\perp BF，$​所以​$∠EBF = 90°，$​所以​$EF $​是​$\odot O$​的直径，所以​$∠EDF = 90°。$​​$ $​因为​$\triangle BCD$​是等腰直角三角形，所以​$∠CBD=∠CDB = 45°。$​ 根据同弧所对的圆周角相等，​$∠DEF=∠DBC = 45°，$​所以​$∠DEF=∠DFE = 45°。$​​$(2)$​连接​$IF。$​因为​$I $​是​$\triangle BEF $​的内心，所以​$∠IBF=∠IBE，$​​$∠IFB=∠IFE。$​​$ $​因为​$∠AIF=∠IBF+∠IFB，$​​$∠AFI=∠AFE+∠IFE，$​且​$∠AFE=∠IBE，$​所以​$∠AIF=∠AFI，$​所以​$AI = AF。$​​$(3)$​过点​$D$​作​$DJ\perp EB，$​交​$EB$​的延长线于点​$J，$​作​$\triangle BEF $​的内切圆​$\odot I，$​切点分别为​$P、$​​$Q、$​​$M。$​​$ $​因为​$∠CBJ=∠J=∠DCB = 90°，$​所以四边形​$BJDC$​是矩形。​$ $​又因为​$CB = CD，$​所以四边形​$BJDC$​是正方形，所以​$CD = DJ = BJ = BC。$​​$ $​因为​$∠DEF=∠DFE = 45°，$​所以​$DE = DF，$​所以​$Rt\triangle DCF\cong Rt\triangle DJE(\mathrm {HL})，$​所以​$FC = EJ。$​​$ $​因为​$\odot I $​与​$\triangle BEF $​内切于点​$P、$​​$Q、$​​$M，$​所以​$EM = EP，$​​$BP = BQ，$​​$FQ = FM。$​​$ $​所以​$FM - EM=FQ - PE=BF - BE$​​$=BC + CF-(EJ - BJ)=2BC = 2CD。$​​$ $​已知​$CD = 2，$​所以​$FM - EM = 4。$
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