1. 如图,已知圆内接四边形ABDC中,∠BAC = $60°$,AB = AC,连接AD.
(1)求∠ADB与∠ADC的大小;
(2)求证:AD = BD+CD.

解：​$(1)$​连接​$BC，$​因为​$AB = AC，$​​$∠BAC = 60°，$​所以​$\triangle ABC$​为等边三角形，则​$∠ABC=∠ACB = 60°。$​​$ $​由于​$∠ADB$​与​$∠ACB、$​​$∠ADC$​与​$∠ABC$​是同弧所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得​$∠ADB=∠ADC = 60°。$​​$ (2)$​在​$AD$​上取点​$E、$​​$F，$​使​$DE = DB，$​​$DF = DC。$​​$ $​因为​$∠ADB=∠ADC = 60°，$​所以​$\triangle BDE$​与​$\triangle CDF $​都为等边三角形。​$ $​那么​$∠DEB=∠DFC = 60°，$​所以​$∠AEB=∠CFA = 120°。$​​$ $​又因为​$∠FAC+∠FCA=∠DFC = 60°，$​​$∠FAC+∠EAB=∠BAC = 60°，$​所以​$∠EAB=∠FCA。$​​$ $​且​$AB = AC，$​所以​$\triangle ABE\cong \triangle CAF(\mathrm {AAS})，$​则​$AE = CF。$​​$ $​所以​$AD=DE + AE=BD + FC=BD + CD。$​

2. 问题背景:如图①,AB是$\odot O$的直径,点C、点D在圆上(在直径AB的异侧),且D为弧AB的中点,连接AD、BD、CD、AC、BC.
探究思路:如图②,将$△ ADC$绕点D顺时针旋转$90°$得到$△ BDE$,证明C、B、E三点共线,从而得到$△ DCE$为等腰直角三角形,$BC+BE=\sqrt{2}CD$,从而得出$AC+BC=\sqrt{2}CD$.
(1)请你根据探究思路,写出完整的推理过程;
问题解决:
(2)若点C、点D在直径AB的同侧,如图③所示,且D为$\overset{\frown}{AB}$的中点,连接$CD,BC=m,AC=n$$(m＞n)$,直接写出线段CD的长为________;(用含有m、n的式子表示)
拓展探究:
(3)将$△ CBD$沿BD翻折得到$△ MBD$,如图④所示,试探究:MA、MB、MD之间的数量关系,并说明理由.

$\frac{\sqrt{2}}{2}(m - n)$ ; 解：​$(1)$​∵​$△ADC$​绕点​$D$​顺时针旋转​$90°$​得到​$△BDE， $​∴​$△ADC≌△BDE、$​​$∠CDE=90°，$​∴​$CD=DE， AD=DB，AC=BE，$​∴​$CD²+DE²=CE²，$​∴​$\sqrt {2}CD=CE. $​∵​$CE=BC+BE，$​∴​$\sqrt {2}CD=BC+BE. $​∵​$AC=BE，$​∴​$AC+BC=\sqrt {2}CD.$​​$(3)$​理由如下： 如图②，将​$\triangle BCD$​绕点​$D$​逆时针旋转​$90°$​得到​$\triangle AC'D，$​点​$A$​在​$CC'$​上。​$ $​所以​$\triangle AC'D\cong \triangle BCD。$​​$ $​因为​$\triangle CBD$​沿​$BD$​翻折得到​$\triangle MBD，$​所以​$\triangle CDB\cong \triangle MDB。$​​$ $​所以​$\triangle AC'D\cong \triangle BCD\cong \triangle BMD。$​​$ $​所以​$CD = C'D = DM，$​​$BC = AC' = MB，$​​$∠CBD=∠MBD=∠C'AD。$​​$ $​因为​$∠C'DC = 90°，$​根据勾股定理​$CC'^2=CD^2+C'D^2，$​所以​$CC'=\sqrt {2}CD。$​​$ $​因为​$AB$​是​$\odot O$​的直径，所以​$∠ACB = 90°，$​则​$C'B^2=CC'^2+BC^2，$​所以​$C'B^2=2DM^2+MB^2。$​​$ $​因为​$∠ADB = 90°，$​​$AD = BD，$​所以​$∠DAB=∠DBA = 45°，$​所以​$∠MBD + 45°=∠C'AD + 45°，$​即​$∠ABM=∠C'AB。$​​$ $​在​$\triangle BAC'$​和​$\triangle ABM$​中，​$\begin {cases}AC' = BM\\∠C'AB=∠MBA\\AB = BA\end {cases}，$​所以​$\triangle BAC'\cong \triangle ABM(\mathrm {SAS})，$​所以​$BC' = AM，$​所以​$AM^2=2DM^2+MB^2。$
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