8. 如图,已知$△ ADE ∽ △ ABC$,$AG ⊥ BC$于点$G$,交$DE$于点$F$,$AN$平分$∠ BAC$交$DE$于点$M$,交$BC$于点$N$.若$AF:FG=2:3$,$AM=4$,则$AN$的长为______.

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9. 如图,将$△ ABC$沿边$BC$上的中线$AD$平移到$△ A'B'C'$的位置,已知$△ ABC$的面积为9,阴影部分的面积为4.若$AA'=1$,则$A'D$的长为（ ）
A. 2
B. 3
C. $\dfrac{2}{3}$
D. $\dfrac{3}{2}$

A

10. 如图,在矩形ABCD中,E是边CB上一点,连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,若AB=6,AD=4,CE=2.
(1)求DF的长.
(2)若M、N分别是AD、DE的中点,连接FM、CN,试判断$\frac{FM}{CN}$与$\frac{AF}{AB}$的大小关系,并说明理由.

解：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是矩形，​$AB = 6$​∴​$∠DCB=∠ADC = 90°，$​​$DC = AB = 6$​​$ $​在​$Rt\triangle DEC$​中，​$EC = 2$​根据勾股定理​$DE=\sqrt {DC^2+EC^2}=\sqrt {6^2+2^2}=\sqrt {36 + 4}=2\sqrt {10}$​∵​$AF\perp DE，$​∴​$∠AF D=∠DCE = 90°。$​ 又∵​$∠ADF+∠EDC = 90°，$​​$∠EDC+∠DEC = 90°$​∴​$∠ADF=∠DEC$​∴​$\triangle ADF\sim \triangle DEC$​​$ $​则​$\frac {AD}{DE}=\frac {DF}{EC}，$​即​$\frac 4{2\sqrt {10}}=\frac {DF}2，$​解得​$DF=\frac {2\sqrt {10}}5$​​$ (2)\frac {FM}{CN}=\frac {AF}{AB}，$​理由如下：∵​$\triangle ADF\sim \triangle DEC，$​​$M、$​​$N$​分别是​$AD、$​​$DE$​的中点∴​$\frac {FM}{CN}=\frac {AF}{DC}$​又∵​$DC = AB，$​∴​$\frac {FM}{CN}=\frac {AF}{AB}$​

11. 有一块三角形铁片$ABC$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，高$AH=8\ \mathrm{cm}$，按图1、图2两种设计方案把它加工成一块矩形铁片$DEFG$，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些. 请你通过计算判断图1、图2两种设计方案哪个更好.

解：∵四边形​$DEFG $​是矩形∴​$DG//BC，$​∴​$\triangle ADG\sim \triangle ABC$​设​$DE = x\mathrm {cm}，$​则​$DG = 2x\mathrm {cm}$​∵​$BC = 12\ \mathrm {cm}，$​​$AH = 8\ \mathrm {cm}$​∴​$\frac {AM}{AH}=\frac {DG}{BC}，$​即​$\frac {8 - x}8=\frac {2x}{12}$​解得​$x=\frac {24}7$​∴​$2x=\frac {48}7，$​​$S_{矩形DEFG}=\frac {24}7×\frac {48}7=\frac {1152}{49}(\mathrm {cm}^2)$​设​$DE = 2y\mathrm {cm}，$​则​$DG = y\mathrm {cm}$​∵​$BC = 12\ \mathrm {cm}，$​​$AH = 8\ \mathrm {cm}$​∴​$\frac {AM}{AH}=\frac {DG}{BC}，$​即​$\frac {8 - 2y}8=\frac {y}{12}$​解得​$y = 3$​∴​$2y = 6，$​​$S_{矩形DEFG}=3×6 = 18(\mathrm {cm}^2)$​∵​$\frac {1152}{49}>18，$​∴图​$1$​的设计方案更好