7.(2024·河北一模)如图,A,B,C,D均为圆周上的十二等分点,若用直尺测量弦CD的长时,发现点C,D分别与刻度1和4对齐,则A,B两点间的距离是________.

$3\sqrt{3}$

8. 如图,已知$\odot O$和$\odot O$上的一点A.
(1)作$\odot O$的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
(2)在(1)的作图中,如果点E在$\overset{\frown}{AD}$上,求证:DE是$\odot O$内接正十二边形的一边.

解：(1)如图，内接正方形$ABCD$的作法： ①作直径$AC；$②作$AC$的垂直平分线交$\odot O$于点$B，$$D；$ ③连接$AB，$$BC，$$CD，$$DA，$四边形$ABCD$即为$\odot O$的内接正方形. 内接正六边形$AEFCGH$的作法： ①分别以点$A，$$C$为圆心，$OA$的长为半径作弧，交$\odot O$于点$E，$$H，$$F，$$G；$
②连接$AH，$$HG，$$GC，$$CF，$$EF，$$EA.$ 六边形$AEFCGH$即为$\odot O$的内接正六边形. (2)证明：如图，连接$OE，$$DE.$ $∵∠AOD=\frac{360°}{4}=90°，$$∠AOE=\frac{360°}{6}=60°，$ $∴∠DOE=∠AOD - ∠AOE = 30°，$则$n=\frac{360°}{30°} = 12.$ $∴DE$为$\odot O$内接正十二边形的一边. ;

9.如图,已知等边$△ ABC$,请用直尺(不带刻度)和圆规,按下列要求作图.(不写作法,但要保留作图痕迹)
(1)如图①,作$△ ABC$的外心$O$;
(2)如图②,设$D$是$AB$边上一点,在图中作出一个正六边形$DEFGHI$,使点$F,H$分别在边$BC$和$AC$上.

第9题图

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10.(1)如图①，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为劣弧BC上一动点.求证：PA=PB+PC；
(2)如图②，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P为劣弧BC上一动点.求证：PA=PC+$\sqrt{2}$PB.

证明：​$(1)$​延长​$BP_{至点}E，$​使​$PE = PC，$​连接​$CE，$​如图①.  ∵​$\triangle ABC$​是等边三角形， ∴​$AC = BC，$​​$∠BAC=∠BCA = 60°.$​ ∵四边形​$ABPC$​是​$\odot O$​的内接四边形， ∴​$∠BAC+∠BPC = 180°.$​ ∵​$∠BPC+∠EPC = 180°，$​ ∴​$∠BAC=∠CPE = 60°.$​ ∵​$PE = PC，$​∴​$\triangle PCE$​是等边三角形， ∴​$CE = PC，$​​$∠PCE = 60°.$​ 又∵​$∠BCE = 60°+∠BCP，$​​$∠ACP = 60°+∠BCP，$​ ∴​$∠BCE=∠ACP.$​​$ $​在​$\triangle BEC$​和​$\triangle APC$​中，​$\begin {cases}CE = CP，\\∠BCE=∠ACP，\\BC = AC，\end {cases}$​ ∴​$\triangle BEC\cong \triangle APC(\mathrm {SAS})，$​ ∴​$PA = BE = PB + PC.$​​$ (2)$​过点​$B$​作​$BE\perp PB$​交​$PA$​于点​$E，$​连接​$OA，$​​$OB，$​如图②. ∵四边形​$ABCD$​是正方形，∴​$∠ABC = 90°，$​​$AB = BC，$​ ∴​$∠1+∠2=∠2+∠3 = 90°，$​∴​$∠1=∠3.$​ ∵​$∠APB=\frac {1}{2}∠AOB = 45°，$​∴​$\triangle BPE$​是等腰直角三角形，∴​$BP = BE，$​∴​$PE=\sqrt {2}PB.$​​$ $​在​$\triangle ABE$​和​$\triangle CBP_{中}，$​​$\begin {cases}BE = BP，\\∠1=∠3，\\AB = CB，\end {cases}$​ ∴​$\triangle ABE\cong \triangle CBP(\mathrm {SAS})，$​ ∴​$PC = AE，$​∴​$PA = AE + PE = PC+\sqrt {2}PB.$​ ;