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7. (2023·南京)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？”大意为：在$△ ABC$中，$AB=13$里，$BC=14$里，$AC=15$里，则$△ ABC$的面积是(注：里为古代长度单位，1里$=500\ \mathrm{m}$)
( )
A. 80平方里
B. 82平方里
C. 84平方里
D. 86平方里
( )
A. 80平方里
B. 82平方里
C. 84平方里
D. 86平方里
答案
C
8. 如图,在数轴上,点A、B表示的数分别为0、2,BC⊥AB于点B,且BC=1,连接AC,在AC上截取CD=BC.以A为圆心、AD的长为半径画弧,交线段AB于点E,则点E表示的实数是________.
答案
$\sqrt{5}-1$
9. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若$AD=4$，$BC=2$，则$AB^2 + CD^2$的值为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
20
10. 观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝______．
答案
17
11. 勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作“整数直角三角形”；这三个正整数叫作一组“勾股数”.在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
其中$m$、$n$为正整数，且$m＞n$.
(1)观察表格，当$m=2$，$n=1$时，对应的$a$、$b$、$c$的值能否作为直角三角形三边的长？说明你的理由.
(2)探究$a$、$b$、$c$与$m$、$n$之间的关系并用含$m$、$n$的代数式表示：$a=$______，$b=$______，$c=$______.
(3)以$a$、$b$、$c$为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.
其中$m$、$n$为正整数，且$m＞n$.
(1)观察表格，当$m=2$，$n=1$时，对应的$a$、$b$、$c$的值能否作为直角三角形三边的长？说明你的理由.
(2)探究$a$、$b$、$c$与$m$、$n$之间的关系并用含$m$、$n$的代数式表示：$a=$______，$b=$______，$c=$______.
(3)以$a$、$b$、$c$为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.
答案
$m^{2}+n^{2}$ ; $2mn$ ; $m^{2}-n^{2}$ ; 解：（1）能。理由如下：
当$m = 2，$$n = 1$时，$a = 2^{2}+1^{2}=5，$$b = 4，$$c = 2^{2}-1^{2}=3。$ 因为$3^{2}+4^{2}=5^{2}，$所以$a$、$b$、$c$的值能作为直角三角形三边的长。 （3）是。理由如下：
因为$a^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}，$$b^{2}=(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}，$$c^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}。$ 所以$b^{2}+c^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}+4m^{2}n^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}，$所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}。$ 所以以$a$、$b$、$c$为边长的三角形一定为直角三角形。
当$m = 2，$$n = 1$时，$a = 2^{2}+1^{2}=5，$$b = 4，$$c = 2^{2}-1^{2}=3。$ 因为$3^{2}+4^{2}=5^{2}，$所以$a$、$b$、$c$的值能作为直角三角形三边的长。 （3）是。理由如下：
因为$a^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}，$$b^{2}=(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}，$$c^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}。$ 所以$b^{2}+c^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}+4m^{2}n^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}，$所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}。$ 所以以$a$、$b$、$c$为边长的三角形一定为直角三角形。
