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1.「2025青海中考」如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB=40°$,则$∠ ADC$的度数是 (
A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
B
)A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
答案
1.B
∵ AB 是 ⊙O 的直径,
∴ ∠ACB = 90°,
∴ ∠CAB+∠B= 90°,
∵ ∠CAB = 40°,
∴ ∠B = 50°,
∴ ∠ADC = ∠B=50°.故选 B.
∵ AB 是 ⊙O 的直径,
∴ ∠ACB = 90°,
∴ ∠CAB+∠B= 90°,
∵ ∠CAB = 40°,
∴ ∠B = 50°,
∴ ∠ADC = ∠B=50°.故选 B.
解析
【分析】
首先从题干给出的AB是⊙O的直径这一条件出发，联想到“直径所对的圆周角是直角”的性质，可得到∠ACB=90°，构建出直角三角形ACB；再结合已知的∠CAB=40°，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠B的度数；最后根据“同弧所对的圆周角相等”，∠ADC和∠B均为弧AC所对的圆周角，二者相等，就能得出∠ADC的度数。
【解析】
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∴ 在Rt△ACB中，∠CAB + ∠B = 90°，
已知∠CAB = 40°，代入得：
∠B = 90° - 40° = 50°，
又
∵ ∠ADC和∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ADC = ∠B = 50°。
故选B。
【答案】B
【知识点】
1.直径所对圆周角性质
2.同弧所对圆周角相等
3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查圆周角定理推论的应用，只要熟练掌握圆中直径与圆周角的关系、同弧圆周角的关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
首先从题干给出的AB是⊙O的直径这一条件出发，联想到“直径所对的圆周角是直角”的性质，可得到∠ACB=90°，构建出直角三角形ACB；再结合已知的∠CAB=40°，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠B的度数；最后根据“同弧所对的圆周角相等”，∠ADC和∠B均为弧AC所对的圆周角，二者相等，就能得出∠ADC的度数。
【解析】
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∴ 在Rt△ACB中，∠CAB + ∠B = 90°，
已知∠CAB = 40°，代入得：
∠B = 90° - 40° = 50°，
又
∵ ∠ADC和∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ADC = ∠B = 50°。
故选B。
【答案】B
【知识点】
1.直径所对圆周角性质
2.同弧所对圆周角相等
3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查圆周角定理推论的应用，只要熟练掌握圆中直径与圆周角的关系、同弧圆周角的关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2.「2025 四川泸州中考」如图, 四边形 ABCD 内接于$\odot O$, BD 为$\odot O$的直径.若$AB=AC,∠ACB=70°$,则$∠CBD=$（
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
2.B
∵ AB = AC,∠ACB = 70°,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 70°,
∴ ∠BAC = 180°-70°×2 = 40°,
∴ ∠BDC = ∠BAC = 40°,
∵ BD 为⊙O 的直径,
∴ ∠BCD = 90°,
∴ ∠CBD = 90°-40° = 50°.故选 B.
∵ AB = AC,∠ACB = 70°,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 70°,
∴ ∠BAC = 180°-70°×2 = 40°,
∴ ∠BDC = ∠BAC = 40°,
∵ BD 为⊙O 的直径,
∴ ∠BCD = 90°,
∴ ∠CBD = 90°-40° = 50°.故选 B.
解析
【分析】
我们可以按以下步骤思考解题：第一步，已知AB=AC，首先判断△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合已知∠ACB=70°，可求出∠ABC和∠BAC的度数；第二步，根据圆周角定理中“同弧所对的圆周角相等”，可推出∠BDC与∠BAC相等；第三步，已知BD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BCD=90°，最后在Rt△BCD中利用直角三角形两锐角互余，即可求出∠CBD的度数。
【解析】
∵ AB = AC，∠ACB = 70°，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 70°，
根据三角形内角和为180°，可得∠BAC = 180° - 70°×2 = 40°，
∵ ∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC = ∠BAC = 40°，
∵ BD为⊙O的直径，
∴ ∠BCD = 90°，
在Rt△BCD中，∠CBD + ∠BDC = 90°，
∴ ∠CBD = 90° - 40° = 50°。
故选B。
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】本题属于圆与三角形结合的基础题型，综合考查了等腰三角形、圆周角相关推论的应用，解题时只要熟练掌握相关性质和推论，就能快速梳理出解题路径，得出正确结果。
【难度系数】0.8
我们可以按以下步骤思考解题：第一步，已知AB=AC，首先判断△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合已知∠ACB=70°，可求出∠ABC和∠BAC的度数；第二步，根据圆周角定理中“同弧所对的圆周角相等”，可推出∠BDC与∠BAC相等；第三步，已知BD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BCD=90°，最后在Rt△BCD中利用直角三角形两锐角互余，即可求出∠CBD的度数。
【解析】
∵ AB = AC，∠ACB = 70°，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 70°，
根据三角形内角和为180°，可得∠BAC = 180° - 70°×2 = 40°，
∵ ∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC = ∠BAC = 40°，
∵ BD为⊙O的直径，
∴ ∠BCD = 90°，
在Rt△BCD中，∠CBD + ∠BDC = 90°，
∴ ∠CBD = 90° - 40° = 50°。
故选B。
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】本题属于圆与三角形结合的基础题型，综合考查了等腰三角形、圆周角相关推论的应用，解题时只要熟练掌握相关性质和推论，就能快速梳理出解题路径，得出正确结果。
【难度系数】0.8
3.「2026江苏南京月考」如图,木工师傅常用一种带有直角的角尺来测量圆的半径,他将角尺的直角顶点A放在圆周上,角尺的两条直角边分别与圆相交,交点分别为B,C,经测量AB=8,AC=6,则圆的半径是
5
.答案
3.答案 5
解析 如图,连接BC,
∵ ∠BAC=90°,
∴ BC 为圆的直径,BC = √(AB²+AC²) = 10,
∴ 圆的半径是 5.
解析
【分析】
首先观察到∠BAC是直角，且顶点A在圆周上，AB、AC分别与圆交于B、C两点，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，因此首先连接BC得到直径，再利用勾股定理计算直径BC的长度，最后除以2即可得到圆的半径。
【解析】
如图，连接BC，
∵ ∠BAC=90°，
∴ BC为圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，由勾股定理得：
$\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$，
∴ 圆的半径是$10÷2=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题考查圆周角定理推论和勾股定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握90°圆周角对应直径这一性质，将所求半径转化为直角三角形斜边的一半求解，属于基础类几何应用题。
【难度系数】
0.8
首先观察到∠BAC是直角，且顶点A在圆周上，AB、AC分别与圆交于B、C两点，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，因此首先连接BC得到直径，再利用勾股定理计算直径BC的长度，最后除以2即可得到圆的半径。
【解析】
如图，连接BC，
∵ ∠BAC=90°，
∴ BC为圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，由勾股定理得：
$\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$，
∴ 圆的半径是$10÷2=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题考查圆周角定理推论和勾股定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握90°圆周角对应直径这一性质，将所求半径转化为直角三角形斜边的一半求解，属于基础类几何应用题。
【难度系数】
0.8
4.「2025江苏常州中考」如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦.若$∠ DCB = 45°,AD = 1$,则$AB=$
√2
.答案
4.答案 √2
解析
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ADB=90°,
∵ ∠DCB=45°,
∴ ∠DAB=45°,
∴ ∠ABD=90°-∠DAB=45°,
∴ BD=AD=1,
∴ AB=√(AD²+BD²)=√2.
解析
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ADB=90°,
∵ ∠DCB=45°,
∴ ∠DAB=45°,
∴ ∠ABD=90°-∠DAB=45°,
∴ BD=AD=1,
∴ AB=√(AD²+BD²)=√2.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到AB是圆的直径，可联想到“直径所对的圆周角是直角”，由此能确定△ADB是直角三角形；接下来已知∠DCB=45°，观察角的位置可知∠DCB和∠DAB都是弧BD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”可推出∠DAB=45°，即可判断Rt△ADB是等腰直角三角形，已知AD的长度，最后用勾股定理就能求出AB的长度。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，
∵ $∠ DCB$和$∠ DAB$都是弧BD所对的圆周角，
∴ $∠ DAB=∠ DCB=45°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ABD=90°-∠ DAB=45°$，
∴ $BD=AD=1$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
直径所对圆周角性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理
【点评】
本题是圆周角定理推论的基础应用题型，核心是通过同弧所对圆周角的等量转换得到直角三角形的内角特征，结合勾股定理计算线段长度，解题关键是准确识别同弧对应的相等圆周角。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先看到AB是圆的直径，可联想到“直径所对的圆周角是直角”，由此能确定△ADB是直角三角形；接下来已知∠DCB=45°，观察角的位置可知∠DCB和∠DAB都是弧BD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”可推出∠DAB=45°，即可判断Rt△ADB是等腰直角三角形，已知AD的长度，最后用勾股定理就能求出AB的长度。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，
∵ $∠ DCB$和$∠ DAB$都是弧BD所对的圆周角，
∴ $∠ DAB=∠ DCB=45°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ABD=90°-∠ DAB=45°$，
∴ $BD=AD=1$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
直径所对圆周角性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理
【点评】
本题是圆周角定理推论的基础应用题型，核心是通过同弧所对圆周角的等量转换得到直角三角形的内角特征，结合勾股定理计算线段长度，解题关键是准确识别同弧对应的相等圆周角。
【难度系数】
0.8
5.「2025江苏南京秦淮二模」如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，点E在$\overset{\frown}{AD}$上.若$∠ ABC=\frac{3}{2}∠ E$，则$\overset{\frown}{CD}$的度数为
144
°. 答案
5.答案 144
解析 如图,连接AC,OC,OD,
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°,
∴ ∠CAB + ∠ABC = 90°,
∵ ∠ABC = 3/2 ∠E,∠CAB = ∠E,
∴ ∠ABC = 3/2 ∠CAB,
∴ ∠CAB + 3/2 ∠CAB = 90°,
∴ ∠CAB = 36°,
∴ ∠COB = 2 ∠CAB =72°,
∵ CD ⊥ AB,
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠COB = ∠BOD =72°,
∴ ∠COD = ∠COB + ∠BOD = 144°,
∴ $\overset{\frown}{CD}$ 的度数为 144°.
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{CD}$的度数，本质是求它所对的圆心角$∠ COD$的度数。首先由AB是$\odot O$的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，得到$∠ ACB=90°$，即$∠ CAB+∠ ABC=90°$；再根据同弧所对的圆周角相等，可知$∠ CAB=∠ E$，结合已知$∠ ABC=\frac{3}{2}∠ E$，可求出$∠ CAB$的度数；接着利用圆周角定理，得到弧BC对应的圆心角$∠ COB$的度数；最后由$CD⊥ AB$，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，对应圆心角相等，相加即可得到$∠ COD$的度数，也就是$\overset{\frown}{CD}$的度数。
【解析】
如图，连接$AC$、$OC$、$OD$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CAB + ∠ ABC = 90°$，
$\because ∠ CAB$和$∠ E$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ CAB = ∠ E$，
又$\because ∠ ABC=\frac{3}{2}∠ E$，
$\therefore ∠ ABC=\frac{3}{2}∠ CAB$，
代入得：$∠ CAB + \frac{3}{2}∠ CAB = 90°$，
解得$∠ CAB=36°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ COB=2∠ CAB=72°$，
$\because CD⊥ AB$，AB过圆心$O$，由垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ BOD=∠ COB=72°$，
$\therefore ∠ COD=∠ COB+∠ BOD=72°+72°=144°$，
$\because$ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，
$\therefore \overset{\frown}{CD}$的度数为$144°$。
【答案】
144
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的性质综合基础题，解题关键是熟练运用圆周角的等量关系和垂径定理转化角度条件，是圆章节考查性质应用的典型题型，能较好地检验学生对圆基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{CD}$的度数，本质是求它所对的圆心角$∠ COD$的度数。首先由AB是$\odot O$的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，得到$∠ ACB=90°$，即$∠ CAB+∠ ABC=90°$；再根据同弧所对的圆周角相等，可知$∠ CAB=∠ E$，结合已知$∠ ABC=\frac{3}{2}∠ E$，可求出$∠ CAB$的度数；接着利用圆周角定理，得到弧BC对应的圆心角$∠ COB$的度数；最后由$CD⊥ AB$，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，对应圆心角相等，相加即可得到$∠ COD$的度数，也就是$\overset{\frown}{CD}$的度数。
【解析】
如图，连接$AC$、$OC$、$OD$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CAB + ∠ ABC = 90°$，
$\because ∠ CAB$和$∠ E$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ CAB = ∠ E$，
又$\because ∠ ABC=\frac{3}{2}∠ E$，
$\therefore ∠ ABC=\frac{3}{2}∠ CAB$，
代入得：$∠ CAB + \frac{3}{2}∠ CAB = 90°$，
解得$∠ CAB=36°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ COB=2∠ CAB=72°$，
$\because CD⊥ AB$，AB过圆心$O$，由垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ BOD=∠ COB=72°$，
$\therefore ∠ COD=∠ COB+∠ BOD=72°+72°=144°$，
$\because$ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，
$\therefore \overset{\frown}{CD}$的度数为$144°$。
【答案】
144
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的性质综合基础题，解题关键是熟练运用圆周角的等量关系和垂径定理转化角度条件，是圆章节考查性质应用的典型题型，能较好地检验学生对圆基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
6.「2025甘肃中考」如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，连接BD，若$∠ ABC=70°$，则$∠ BDC$的度数为（
A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
C
）A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
答案
6.C 由题意得,∠ADC = 180°-∠ABC = 180°-70° = 110°,
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,
∴ ∠ADB = ∠BDC = 1/2 ∠ADC = 55°.故选 C.
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,
∴ ∠ADB = ∠BDC = 1/2 ∠ADC = 55°.故选 C.
解析
【分析】
解题时可按两步思考：第一步，看到四边形内接于圆，首先回忆圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠ABC的度数，先求出∠ADC的度数；第二步，根据$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，结合圆周角定理的推论，同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得BD平分∠ADC，因此∠BDC为∠ADC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠ABC=70°，
∴∠ADC = 180° - 70° = 110°，
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等，即∠ADB = ∠BDC，
∴$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×110°=55°$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于圆的基础性质类题目，解题核心是熟练掌握圆内接四边形对角互补、等弧所对圆周角相等的性质，整体计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
解题时可按两步思考：第一步，看到四边形内接于圆，首先回忆圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠ABC的度数，先求出∠ADC的度数；第二步，根据$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，结合圆周角定理的推论，同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得BD平分∠ADC，因此∠BDC为∠ADC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠ABC=70°，
∴∠ADC = 180° - 70° = 110°，
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等，即∠ADB = ∠BDC，
∴$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×110°=55°$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于圆的基础性质类题目，解题核心是熟练掌握圆内接四边形对角互补、等弧所对圆周角相等的性质，整体计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
7.「2026江苏南通期中」如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE和OD，若∠BCD=2∠BAD，则∠DOE的度数是（
A.30°
B.45°
C.60°
D.70°
C
）A.30°
B.45°
C.60°
D.70°
答案
7.C
∵ 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°,
∵ ∠BCD = 2 ∠BAD,
∴ ∠BCD = 120°,∠BAD = 60°,
∵ BE 是⊙O 的直径,
∴ ∠BAE = 90°,
∴ ∠DAE = 90°-∠BAD = 90°-60° = 30°,
∴ ∠DOE = 2 ∠DAE = 60°.故选 C.
∵ 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°,
∵ ∠BCD = 2 ∠BAD,
∴ ∠BCD = 120°,∠BAD = 60°,
∵ BE 是⊙O 的直径,
∴ ∠BAE = 90°,
∴ ∠DAE = 90°-∠BAD = 90°-60° = 30°,
∴ ∠DOE = 2 ∠DAE = 60°.故选 C.
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，看到圆内接四边形首先回忆其对角互补的性质，结合∠BCD和∠BAD的数量关系，先求出∠BAD的度数；再根据BE是直径的条件，利用直径所对圆周角为直角的性质求出∠DAE的度数；最后依据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可算出∠DOE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°，
∵ ∠BCD = 2∠BAD，
∴ 3∠BAD = 180°，解得∠BAD = 60°，∠BCD = 120°，
∵ BE是⊙O的直径，
∴ ∠BAE = 90°，
∴ ∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 90° - 60° = 30°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠DOE = 2∠DAE = 2×30° = 60°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理；直径所对圆周角特征
【点评】
本题属于圆性质的基础综合题，核心考查圆相关的基础性质定理，熟练掌握各定理的应用场景，按条件逐步推导即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发，看到圆内接四边形首先回忆其对角互补的性质，结合∠BCD和∠BAD的数量关系，先求出∠BAD的度数；再根据BE是直径的条件，利用直径所对圆周角为直角的性质求出∠DAE的度数；最后依据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可算出∠DOE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°，
∵ ∠BCD = 2∠BAD，
∴ 3∠BAD = 180°，解得∠BAD = 60°，∠BCD = 120°，
∵ BE是⊙O的直径，
∴ ∠BAE = 90°，
∴ ∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 90° - 60° = 30°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠DOE = 2∠DAE = 2×30° = 60°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理；直径所对圆周角特征
【点评】
本题属于圆性质的基础综合题，核心考查圆相关的基础性质定理，熟练掌握各定理的应用场景，按条件逐步推导即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
8.「2025江苏盐城中考」如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110°，连接OB,OD，则∠BOD=
140
°。答案
8.答案 140
解析
∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠A + ∠BCD = 180°,
∵ ∠A = 110°,
∴ ∠BCD = 180°-∠A = 180°-110° = 70°,由圆周角定理得 ∠BOD = 2 ∠BCD = 2×70° = 140°.
解析
∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠A + ∠BCD = 180°,
∵ ∠A = 110°,
∴ ∠BCD = 180°-∠A = 180°-110° = 70°,由圆周角定理得 ∠BOD = 2 ∠BCD = 2×70° = 140°.
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：四边形ABCD内接于⊙O，已知∠A=110°，要求圆心角∠BOD的度数。第一步先回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，因此可以先求出∠A的对角∠BCD的度数；第二步回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOD和∠BCD都对应弧BD，因此用求出的∠BCD的度数乘2即可得到∠BOD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵ ∠A = 110°，
∴ ∠BCD = 180° - ∠A = 180° - 110° = 70°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOD = 2∠BCD = 2×70° = 140°。
【答案】
140
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查圆内接四边形性质和圆周角定理的综合应用，解题思路清晰，只要牢记相关定理按步骤推导即可得出答案。
【难度系数】
0.8
拿到题目先梳理已知条件：四边形ABCD内接于⊙O，已知∠A=110°，要求圆心角∠BOD的度数。第一步先回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，因此可以先求出∠A的对角∠BCD的度数；第二步回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOD和∠BCD都对应弧BD，因此用求出的∠BCD的度数乘2即可得到∠BOD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵ ∠A = 110°，
∴ ∠BCD = 180° - ∠A = 180° - 110° = 70°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOD = 2∠BCD = 2×70° = 140°。
【答案】
140
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查圆内接四边形性质和圆周角定理的综合应用，解题思路清晰，只要牢记相关定理按步骤推导即可得出答案。
【难度系数】
0.8
9. 学科特色设参法「2026江苏南京建邺期中」四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A:∠B:∠C=3:5:6，则∠D=
80
°。答案
9.答案 80
解析
∵ 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,
∴ ∠A + ∠C = 180°,∠B + ∠D = 180°,
∵ ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 5 : 6,
∴ 设 ∠A = 3x(x＞0),则 ∠B = 5x,∠C = 6x,
∴ 3x + 6x = 180°,解得 x = 20°,
∴ ∠B = 5x = 100°,
∴ ∠D = 80°.
解析
∵ 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,
∴ ∠A + ∠C = 180°,∠B + ∠D = 180°,
∵ ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 5 : 6,
∴ 设 ∠A = 3x(x＞0),则 ∠B = 5x,∠C = 6x,
∴ 3x + 6x = 180°,解得 x = 20°,
∴ ∠B = 5x = 100°,
∴ ∠D = 80°.
解析
【分析】
解决本题首先要回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。题目给出了∠A、∠B、∠C的角度比，我们可以采用设参数的方法，把三个角分别用含相同参数的式子表示，先利用∠A和∠C互补的关系列方程求出参数的值，再求出∠B的度数，最后利用∠B和∠D互补的关系就能算出∠D的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°，
∵ ∠A:∠B:∠C = 3:5:6，
∴ 设∠A = 3x（x＞0），则∠B = 5x，∠C = 6x，
∴ 3x + 6x = 180°，解得x = 20°，
∴ ∠B = 5x = 5×20° = 100°，
∴ ∠D = 180° - ∠B = 180° - 100° = 80°。
【答案】
80
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补 2. 按比例设参计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考察圆内接四边形性质的应用，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，结合比例设参数的方法即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。题目给出了∠A、∠B、∠C的角度比，我们可以采用设参数的方法，把三个角分别用含相同参数的式子表示，先利用∠A和∠C互补的关系列方程求出参数的值，再求出∠B的度数，最后利用∠B和∠D互补的关系就能算出∠D的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°，
∵ ∠A:∠B:∠C = 3:5:6，
∴ 设∠A = 3x（x＞0），则∠B = 5x，∠C = 6x，
∴ 3x + 6x = 180°，解得x = 20°，
∴ ∠B = 5x = 5×20° = 100°，
∴ ∠D = 180° - ∠B = 180° - 100° = 80°。
【答案】
80
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补 2. 按比例设参计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考察圆内接四边形性质的应用，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，结合比例设参数的方法即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
10.如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,若$∠1+∠2=100^{\circ }$,则$∠B$的度数为
80°
.答案
10.答案 80°
解析
∵ 四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,
∴ ∠B + ∠D = 180°,
∴ ∠D = 180°-∠B,
∵ ∠1 + ∠2 = 100°,
∴ ∠AOC + ∠D = 360°-100° = 260°,
∵ 2 ∠B = ∠AOC,
∴ 2 ∠B + 180°-∠B = 260°,
∴ ∠B = 80°.
解析
∵ 四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,
∴ ∠B + ∠D = 180°,
∴ ∠D = 180°-∠B,
∵ ∠1 + ∠2 = 100°,
∴ ∠AOC + ∠D = 360°-100° = 260°,
∵ 2 ∠B = ∠AOC,
∴ 2 ∠B + 180°-∠B = 260°,
∴ ∠B = 80°.
解析
【分析】
要求∠B的度数，可结合已知条件逐步推导关联关系：首先观察图形，∠B是弧AC所对的圆周角，对应的圆心角为∠AOC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B；其次已知∠1+∠2=100°，在四边形ADCO中，根据四边形内角和为360°，可推出∠AOC + ∠D = 360° - (∠1+∠2) = 260°；最后因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据内接四边形对角互补可知∠D=180°-∠B，将上述关系联立即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴ ∠B + ∠D = 180°，即∠D = 180°-∠B，
∵ ∠1 + ∠2 = 100°，在四边形ADCO中内角和为360°，
∴ ∠AOC + ∠D = 360° - (∠1+∠2) = 360° - 100° = 260°，
∵ ∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠B是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠AOC = 2∠B，
将∠D=180°-∠B、∠AOC=2∠B代入∠AOC + ∠D = 260°，得：
2∠B + 180° - ∠B = 260°，
解得：∠B = 80°。
【答案】
80°
【知识点】
1.圆周角定理
2.圆内接四边形对角互补
3.四边形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合应用题，解题核心是通过圆周角定理、圆内接四边形性质建立待求角和已知角的等量关系，再通过简单计算求解，熟练掌握相关定理性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求∠B的度数，可结合已知条件逐步推导关联关系：首先观察图形，∠B是弧AC所对的圆周角，对应的圆心角为∠AOC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B；其次已知∠1+∠2=100°，在四边形ADCO中，根据四边形内角和为360°，可推出∠AOC + ∠D = 360° - (∠1+∠2) = 260°；最后因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据内接四边形对角互补可知∠D=180°-∠B，将上述关系联立即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴ ∠B + ∠D = 180°，即∠D = 180°-∠B，
∵ ∠1 + ∠2 = 100°，在四边形ADCO中内角和为360°，
∴ ∠AOC + ∠D = 360° - (∠1+∠2) = 360° - 100° = 260°，
∵ ∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠B是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠AOC = 2∠B，
将∠D=180°-∠B、∠AOC=2∠B代入∠AOC + ∠D = 260°，得：
2∠B + 180° - ∠B = 260°，
解得：∠B = 80°。
【答案】
80°
【知识点】
1.圆周角定理
2.圆内接四边形对角互补
3.四边形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合应用题，解题核心是通过圆周角定理、圆内接四边形性质建立待求角和已知角的等量关系，再通过简单计算求解，熟练掌握相关定理性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
