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8. 情境 现实生活 社会发展「2026江苏南京秦淮外国语学校月考，★☆」如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是$55°$，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上安装
4
台这样的监视器.答案
8.答案 4
解析
∵ ∠P=55°,
∴ ∠P 所对弧所对应的圆心角是110°,
∵ 360°÷110°= 3 3/11,
∴ 最少需要在圆形边缘上安装 4 台这样的监视器.
解析
∵ ∠P=55°,
∴ ∠P 所对弧所对应的圆心角是110°,
∵ 360°÷110°= 3 3/11,
∴ 最少需要在圆形边缘上安装 4 台这样的监视器.
解析
【分析】
解决本题的思路如下：首先明确点P处的监控角是圆周角，根据圆周角定理可求出该角所对弧对应的圆心角度数；要监控整个圆形展区，需要所有监视器对应的监控弧覆盖整个圆周，因此用周角360°除以单个监控角对应的圆心角度数，若结果不是整数，需向上取整（不能采用四舍五入，否则会存在监控死角），即可得到最少需要的监视器台数。
【解析】
解：已知监控角∠P是圆周角，度数为$55°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
可得∠P所对的弧对应的圆心角为$2×55°=110°$。
要覆盖整个圆形区域（周角为$360°$），计算需要的监视器数量：
$360°÷110°=3\frac{3}{11}$
若安装3台，最多可覆盖$3×110°=330°＜360°$，存在监控死角，因此需要向上取整，最少需要4台。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理；周角性质；实际问题取整
【点评】
本题结合生活场景考查圆周角定理的实际应用，解题核心是将实际监控角度转化为数学中的圆周角，再对应到圆心角计算覆盖范围，需注意实际覆盖问题不能用四舍五入取近似值，要保证完全覆盖需向上取整，体现了数学知识的实用价值。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路如下：首先明确点P处的监控角是圆周角，根据圆周角定理可求出该角所对弧对应的圆心角度数；要监控整个圆形展区，需要所有监视器对应的监控弧覆盖整个圆周，因此用周角360°除以单个监控角对应的圆心角度数，若结果不是整数，需向上取整（不能采用四舍五入，否则会存在监控死角），即可得到最少需要的监视器台数。
【解析】
解：已知监控角∠P是圆周角，度数为$55°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
可得∠P所对的弧对应的圆心角为$2×55°=110°$。
要覆盖整个圆形区域（周角为$360°$），计算需要的监视器数量：
$360°÷110°=3\frac{3}{11}$
若安装3台，最多可覆盖$3×110°=330°＜360°$，存在监控死角，因此需要向上取整，最少需要4台。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理；周角性质；实际问题取整
【点评】
本题结合生活场景考查圆周角定理的实际应用，解题核心是将实际监控角度转化为数学中的圆周角，再对应到圆心角计算覆盖范围，需注意实际覆盖问题不能用四舍五入取近似值，要保证完全覆盖需向上取整，体现了数学知识的实用价值。
【难度系数】
0.7
9.「★☆」如图,点A,B,O是边长为1的正方形组成的网格上的三个格点,OA为$\odot O$的半径,点P是优弧$\overset{\frown}{AMB}$的中点,则$△ APB$的面积为
$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
。答案
9.答案 $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
解析 如图,过点 B 作 $BC ⊥ PA$ 于点 C,
∵ 点 P 是优弧$\overset{\frown}{AMB}$的中点,
∴ PA=PB,
∵ ∠AOB=90°,
∴ ∠APB=1/2∠AOB=45°,
∴ △PBC 是等腰直角三角形,
∴ PC=BC,设 $PC=BC=x$,则 $PA=PB=\sqrt{2}x$,
∴ $AC=PA-PC=(\sqrt{2}-1)x$,
∵ $AB^2=AC^2+BC^2$,$AB=\sqrt{2}$,
∴ $2=[(\sqrt{2}-1)x]^2+x^2$,
∴ $x^2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$,
∴ $S_{△ APB}=\frac{1}{2}PA · BC=\frac{\sqrt{2}}{2}x^2=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
要求△APB的面积，首先先梳理已知条件：点A、B、O是边长为1的正方形格点，可得OA=OB=1，∠AOB=90°，AB=√2。结合圆的性质分析：点P是优弧$\overset{\frown}{AMB}$的中点，可得弧$\overset{\frown}{AP}$=弧$\overset{\frown}{BP}$，根据等弧对等弦得到PA=PB；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，即△PAB是顶角为45°的等腰三角形。此时可过B作AP边上的高BC，将△APB拆分为两个直角三角形，设高为x，利用勾股定理列方程求出x相关的量，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
如图，过点B作$BC ⊥ PA$于点C
∵ 点P是优弧$\overset{\frown}{AMB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{BP}$，
∴ PA=PB。
∵ ∠AOB=90°，根据圆周角定理，同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ APB=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$，
∴ △PBC是等腰直角三角形，即PC=BC。
设 $PC=BC=x$，则在等腰Rt△PBC中，$PB=\sqrt{PC^2+BC^2}=\sqrt{2}x$，
∴ $PA=PB=\sqrt{2}x$，
∴ $AC=PA-PC=\sqrt{2}x - x=(\sqrt{2}-1)x$。
∵ 在Rt△AOB中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，代入得：
$2=[(\sqrt{2}-1)x]^2+x^2$，
展开计算得：$2=(2-2\sqrt{2}+1)x^2 + x^2=(4-2\sqrt{2})x^2$，
解得：$x^2=\frac{2}{4-2\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$。
∴ $S_{△ APB}=\frac{1}{2} · PA · BC=\frac{1}{2} × \sqrt{2}x × x=\frac{\sqrt{2}}{2}x^2$，
将$x^2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$代入得：
$S_{△ APB}=\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{2+\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{4}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1.圆周角定理 2.勾股定理 3.三角形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是利用圆周角定理和弧中点的性质得到三角形的边角特征，通过作高构造直角三角形，结合勾股定理求解未知量，能够较好地考察学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求△APB的面积，首先先梳理已知条件：点A、B、O是边长为1的正方形格点，可得OA=OB=1，∠AOB=90°，AB=√2。结合圆的性质分析：点P是优弧$\overset{\frown}{AMB}$的中点，可得弧$\overset{\frown}{AP}$=弧$\overset{\frown}{BP}$，根据等弧对等弦得到PA=PB；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，即△PAB是顶角为45°的等腰三角形。此时可过B作AP边上的高BC，将△APB拆分为两个直角三角形，设高为x，利用勾股定理列方程求出x相关的量，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
如图，过点B作$BC ⊥ PA$于点C
∵ 点P是优弧$\overset{\frown}{AMB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{BP}$，
∴ PA=PB。
∵ ∠AOB=90°，根据圆周角定理，同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ APB=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$，
∴ △PBC是等腰直角三角形，即PC=BC。
设 $PC=BC=x$，则在等腰Rt△PBC中，$PB=\sqrt{PC^2+BC^2}=\sqrt{2}x$，
∴ $PA=PB=\sqrt{2}x$，
∴ $AC=PA-PC=\sqrt{2}x - x=(\sqrt{2}-1)x$。
∵ 在Rt△AOB中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，代入得：
$2=[(\sqrt{2}-1)x]^2+x^2$，
展开计算得：$2=(2-2\sqrt{2}+1)x^2 + x^2=(4-2\sqrt{2})x^2$，
解得：$x^2=\frac{2}{4-2\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$。
∴ $S_{△ APB}=\frac{1}{2} · PA · BC=\frac{1}{2} × \sqrt{2}x × x=\frac{\sqrt{2}}{2}x^2$，
将$x^2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$代入得：
$S_{△ APB}=\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{2+\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{4}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1.圆周角定理 2.勾股定理 3.三角形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是利用圆周角定理和弧中点的性质得到三角形的边角特征，通过作高构造直角三角形，结合勾股定理求解未知量，能够较好地考察学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10.「2025江苏南京中考，★☆」如图，扇形OAB的圆心角为260°,若点P在该扇形内,则∠APB的度数的范围是
$50°＜∠APB＜140°$
。答案
10.答案 $50°＜∠APB＜140°$
解析 如图 1,当点 P 在 AO 的延长线上时,延长 AP 交圆 O 于点 C,连接 BC,
∵ 扇形 OAB 的圆心角为 260°,
∴ ∠AOB=360°-260°=100°,
∴ ∠C=1/2∠AOB=50°,
∴ ∠APB＞∠C=50°;
当点 P 在线段 AO 上时,如图 2,连接 AB,
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA=(180°-100°)÷2=40°,
∴ ∠OBP＜∠OBA=40°,
∵ ∠APB=∠AOB+∠OBP=100°+∠OBP,
∴ ∠APB＜140°.
综上,∠APB 的度数的范围是 $50°＜∠APB＜140°$.
解析
【分析】
要解决∠APB的取值范围问题，需先找到该角的两个临界状态：①点P无限靠近优弧AB时，∠APB取最小值的临界；②点P无限靠近OA或OB线段上靠近O的位置时，∠APB取最大值的临界。首先计算劣弧AB对应的圆心角，再结合圆周角定理、三角形外角性质分别计算两个临界角，最后根据P在扇形内部确定不等关系即可。
【解析】
1. 计算劣弧AB对应的圆心角
已知扇形OAB的圆心角（优弧AB对应的圆心角）为260°，因此劣弧AB对应的圆心角：
$∠ AOB=360°-260°=100°$
2. 求∠APB的最小值边界
如图1，当点P在AO的延长线上时，延长AP交$\odot O$于点C，连接BC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$
$∠ APB$是$△ PBC$的外角，根据三角形外角性质，外角大于任意一个不相邻的内角，因此$∠ APB＞∠ ACB$，即$∠ APB＞50°$。
3. 求∠APB的最大值边界
如图2，连接AB。
$\because OA=OB$（都是圆的半径），$\therefore△ OAB$是等腰三角形，
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-∠ AOB}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$
$∠ APB$是$△ OBP$的外角，根据外角性质得：$∠ APB=∠ AOB+∠ OBP$
$\because$点P在扇形内部，$\therefore ∠ OBP＜∠ OBA=40°$，
$\therefore ∠ APB＜100°+40°=140°$。
综上可得∠APB的度数范围。
【答案】
$50°＜∠APB＜140°$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是几何角度范围类的基础题，解题核心是找到角度的两个临界位置，结合圆周角、等腰三角形、外角的相关性质推导边界值，需注意点P在扇形内部，边界值无法取到。
【难度系数】
0.7
要解决∠APB的取值范围问题，需先找到该角的两个临界状态：①点P无限靠近优弧AB时，∠APB取最小值的临界；②点P无限靠近OA或OB线段上靠近O的位置时，∠APB取最大值的临界。首先计算劣弧AB对应的圆心角，再结合圆周角定理、三角形外角性质分别计算两个临界角，最后根据P在扇形内部确定不等关系即可。
【解析】
1. 计算劣弧AB对应的圆心角
已知扇形OAB的圆心角（优弧AB对应的圆心角）为260°，因此劣弧AB对应的圆心角：
$∠ AOB=360°-260°=100°$
2. 求∠APB的最小值边界
如图1，当点P在AO的延长线上时，延长AP交$\odot O$于点C，连接BC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$
$∠ APB$是$△ PBC$的外角，根据三角形外角性质，外角大于任意一个不相邻的内角，因此$∠ APB＞∠ ACB$，即$∠ APB＞50°$。
3. 求∠APB的最大值边界
如图2，连接AB。
$\because OA=OB$（都是圆的半径），$\therefore△ OAB$是等腰三角形，
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-∠ AOB}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$
$∠ APB$是$△ OBP$的外角，根据外角性质得：$∠ APB=∠ AOB+∠ OBP$
$\because$点P在扇形内部，$\therefore ∠ OBP＜∠ OBA=40°$，
$\therefore ∠ APB＜100°+40°=140°$。
综上可得∠APB的度数范围。
【答案】
$50°＜∠APB＜140°$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是几何角度范围类的基础题，解题核心是找到角度的两个临界位置，结合圆周角、等腰三角形、外角的相关性质推导边界值，需注意点P在扇形内部，边界值无法取到。
【难度系数】
0.7
11. 聚焦中考直接经验学习「2026 江苏无锡江阴云亭中学月考，★☆」
如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AB=AC$，$P$是$\odot O$上一点.请你只用无刻度的直尺，分别画出图1和图2中$∠ BPC$的平分线.(不写作法，保留作图痕迹)
如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AB=AC$，$P$是$\odot O$上一点.请你只用无刻度的直尺，分别画出图1和图2中$∠ BPC$的平分线.(不写作法，保留作图痕迹)
答案
11.解析 如图 1,PA 即为所求作的角平分线;
如图 2,PD 即为所求作的角平分线.
解析
【分析】
要作∠BPC的平分线，本质是构造两个相等的圆周角，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，因此只需让所作射线将∠BPC对应的弧BC分成两段相等的弧即可。
对于图1：已知AB=AC，根据同圆中等弦对等弧，可得弧AB=弧AC，∠BPA对应弧AB，∠CPA对应弧AC，因此∠BPA=∠CPA，连接PA即可得到∠BPC的平分线。
对于图2：等腰△ABC的外接圆圆心O在∠BAC的平分线上，过点A、O作直线，该直线是△ABC的对称轴，会平分弧BC，设直线与圆交于点D，此时弧BD=弧CD，∠BPD对应弧BD，∠CPD对应弧CD，因此∠BPD=∠CPD，连接PD即为∠BPC的平分线。
【解析】
图1：连接PA，由AB=AC得弧AB=弧AC，根据等弧所对的圆周角相等，得∠BPA=∠CPA，因此PA是∠BPC的平分线。
图2：连接AO并延长交⊙O于点D，因为AB=AC，所以AO所在直线平分弧BC，即弧BD=弧CD，根据等弧所对的圆周角相等，得∠BPD=∠CPD，因此PD是∠BPC的平分线。
【答案】
如图1，PA即为所求作的角平分线；
如图2，PD即为所求作的角平分线。
【知识点】
圆周角定理，等弧对等圆周角，等腰三角形性质
【点评】
本题为无刻度直尺作图题，结合了三角形和圆的基础性质，解题核心是掌握圆周角相等和所对弧相等的对应关系，侧重对基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
要作∠BPC的平分线，本质是构造两个相等的圆周角，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，因此只需让所作射线将∠BPC对应的弧BC分成两段相等的弧即可。
对于图1：已知AB=AC，根据同圆中等弦对等弧，可得弧AB=弧AC，∠BPA对应弧AB，∠CPA对应弧AC，因此∠BPA=∠CPA，连接PA即可得到∠BPC的平分线。
对于图2：等腰△ABC的外接圆圆心O在∠BAC的平分线上，过点A、O作直线，该直线是△ABC的对称轴，会平分弧BC，设直线与圆交于点D，此时弧BD=弧CD，∠BPD对应弧BD，∠CPD对应弧CD，因此∠BPD=∠CPD，连接PD即为∠BPC的平分线。
【解析】
图1：连接PA，由AB=AC得弧AB=弧AC，根据等弧所对的圆周角相等，得∠BPA=∠CPA，因此PA是∠BPC的平分线。
图2：连接AO并延长交⊙O于点D，因为AB=AC，所以AO所在直线平分弧BC，即弧BD=弧CD，根据等弧所对的圆周角相等，得∠BPD=∠CPD，因此PD是∠BPC的平分线。
【答案】
如图1，PA即为所求作的角平分线；
如图2，PD即为所求作的角平分线。
【知识点】
圆周角定理，等弧对等圆周角，等腰三角形性质
【点评】
本题为无刻度直尺作图题，结合了三角形和圆的基础性质，解题核心是掌握圆周角相等和所对弧相等的对应关系，侧重对基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
12. 核心素养推理能力「2025江苏扬州月考」如图1，C,D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC=∠BPD，则称∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”。
(1)如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP。求证：∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”。
(2)如图3，若直径AB=6，弦CE⊥AB，$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为90°，求CD的长。
(1)如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP。求证：∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”。
(2)如图3，若直径AB=6，弦CE⊥AB，$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为90°，求CD的长。
答案
12.解析 (1)证明:
∵ 弦 CE ⊥ 直径 AB,
∴ AB 垂直平分弦 CE,
∴ ∠APC=∠APE,
∵ ∠APE=∠BPD,
∴ ∠APC=∠BPD,
∴ ∠CPD 是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”.
(2)
∵ $\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为 90°,
∴ ∠CPD = 90°,
∴ ∠APC=∠BPD=45°,
∵ 弦 CE ⊥ AB,
∴ PC=PE,∠APE=∠APC=45°,
∴ ∠PEC=∠PCE,∠CPE=90°,
∴ ∠PEC=∠PCE=45°,
如图,连接 OC,OD,则 $OC=OD=\frac{1}{2}AB=3$,
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠COD=2∠PEC=90°,
∴ $CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=3\sqrt{2}$,
即 CD 的长为 $3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”，需根据定义证明∠APC=∠BPD。已知CE垂直于直径AB，根据垂径定理可得AB垂直平分CE，因此AB是线段CE的对称轴，可推出∠APC=∠APE；再结合对顶角相等的性质，可得∠APE=∠BPD，等量代换即可满足“相望角”的判定条件。
(2) 已知“相望角”为90°，先根据定义推出∠APC=∠BPD=45°，结合CE⊥AB的条件可得∠CPE=90°，进而推出弧CD所对的圆周角∠CED=45°；再连接OC、OD，根据圆周角定理可得弧CD对应的圆心角∠COD=2∠CED=90°，最后在等腰直角△COD中用勾股定理即可计算出CD的长度。
【解析】
(1)证明：
∵ 弦CE⊥直径AB，
∴ AB垂直平分弦CE，
∴ ∠APC=∠APE，
∵ ∠APE=∠BPD（对顶角相等），
∴ ∠APC=∠BPD，
∴ ∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”。
(2)解：
∵ $\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为90°，
∴ ∠CPD = 90°，
∴ ∠APC=∠BPD=45°，
∵ 弦CE⊥AB，
∴ PC=PE，∠APE=∠APC=45°，
∴ ∠PEC=∠PCE，∠CPE=90°，
∴ ∠PEC=∠PCE=45°，
如图，连接OC,OD，则 $OC=OD=\frac{1}{2}AB=3$，
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠COD=2∠PEC=90°，
∴ $CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
即CD的长为$3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 已证得∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”；(2) CD的长为$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题为新定义类题型，结合圆的基本性质考查逻辑推理能力，解题的核心是准确理解“相望角”的定义，将新定义转化为已知的角的等量关系，再结合圆的相关性质求解，能较好地考查知识迁移和综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”，需根据定义证明∠APC=∠BPD。已知CE垂直于直径AB，根据垂径定理可得AB垂直平分CE，因此AB是线段CE的对称轴，可推出∠APC=∠APE；再结合对顶角相等的性质，可得∠APE=∠BPD，等量代换即可满足“相望角”的判定条件。
(2) 已知“相望角”为90°，先根据定义推出∠APC=∠BPD=45°，结合CE⊥AB的条件可得∠CPE=90°，进而推出弧CD所对的圆周角∠CED=45°；再连接OC、OD，根据圆周角定理可得弧CD对应的圆心角∠COD=2∠CED=90°，最后在等腰直角△COD中用勾股定理即可计算出CD的长度。
【解析】
(1)证明：
∵ 弦CE⊥直径AB，
∴ AB垂直平分弦CE，
∴ ∠APC=∠APE，
∵ ∠APE=∠BPD（对顶角相等），
∴ ∠APC=∠BPD，
∴ ∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”。
(2)解：
∵ $\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为90°，
∴ ∠CPD = 90°，
∴ ∠APC=∠BPD=45°，
∵ 弦CE⊥AB，
∴ PC=PE，∠APE=∠APC=45°，
∴ ∠PEC=∠PCE，∠CPE=90°，
∴ ∠PEC=∠PCE=45°，
如图，连接OC,OD，则 $OC=OD=\frac{1}{2}AB=3$，
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠COD=2∠PEC=90°，
∴ $CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
即CD的长为$3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 已证得∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”；(2) CD的长为$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题为新定义类题型，结合圆的基本性质考查逻辑推理能力，解题的核心是准确理解“相望角”的定义，将新定义转化为已知的角的等量关系，再结合圆的相关性质求解，能较好地考查知识迁移和综合应用能力。
【难度系数】
0.7
