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1.「2025江苏徐州一模」已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（
A.$90°$
B.$180°$
C.$135°$
D.$120°$
A
）A.$90°$
B.$180°$
C.$135°$
D.$120°$
答案
设其侧面展开扇形的圆心角的度数为$n°$,由题意得$\frac{nπ × 12}{180}=2π × 3$,解得$n=90$.故选 A.
解析
【分析】
要解决圆锥侧面展开扇形的圆心角问题，需抓住圆锥与侧面展开扇形的核心等量关系：圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，且圆锥的母线长对应扇形的半径。我们可以先设圆心角的度数为未知数，再分别表示出底面周长和扇形弧长，列方程求解即可。
【解析】
设该圆锥侧面展开扇形的圆心角的度数为$n°$。
圆锥底面周长为：$2π×3$
侧面展开扇形的弧长（扇形半径为母线长12）为：$\frac{nπ×12}{180}$
根据“圆锥底面周长=侧面展开扇形弧长”列方程：
$\frac{nπ × 12}{180}=2π × 3$
两边约去π后化简计算：
$\frac{12n}{180}=6$
$12n=1080$
解得$n=90$，即圆心角的度数为90°。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算公式
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题关键是明确圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系，熟练掌握弧长公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决圆锥侧面展开扇形的圆心角问题，需抓住圆锥与侧面展开扇形的核心等量关系：圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，且圆锥的母线长对应扇形的半径。我们可以先设圆心角的度数为未知数，再分别表示出底面周长和扇形弧长，列方程求解即可。
【解析】
设该圆锥侧面展开扇形的圆心角的度数为$n°$。
圆锥底面周长为：$2π×3$
侧面展开扇形的弧长（扇形半径为母线长12）为：$\frac{nπ×12}{180}$
根据“圆锥底面周长=侧面展开扇形弧长”列方程：
$\frac{nπ × 12}{180}=2π × 3$
两边约去π后化简计算：
$\frac{12n}{180}=6$
$12n=1080$
解得$n=90$，即圆心角的度数为90°。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算公式
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题关键是明确圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系，熟练掌握弧长公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2.「2026江苏南通启东期中」如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径等于大圆的半径。下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（
D
）答案
设外圆的半径为R,则内圆的半径为$\frac{1}{2}R$,设圆锥的侧面展开图所对的圆心角的度数为$n°$,由题意得,
$2π · \frac{1}{2}R=\frac{nπ R}{180}$,$\therefore n=180$,$\therefore$ 对应扇形圆心角的度数为$180°$.故选 D.
$2π · \frac{1}{2}R=\frac{nπ R}{180}$,$\therefore n=180$,$\therefore$ 对应扇形圆心角的度数为$180°$.故选 D.
解析
【分析】
要判断哪个剪法能配成圆锥，核心是明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长这一核心等量关系。首先设大圆（即扇形所在的圆）的半径为R，由题意可知小圆的直径等于大圆半径，因此小圆的半径为$\frac{1}{2}R$。我们可以分别表示出小圆的周长和扇形的弧长，令二者相等，即可求出符合要求的扇形圆心角度数，再对应选项选择即可。
【解析】
设外圆（扇形所在圆）的半径为$R$，已知小圆的直径等于大圆的半径，因此小圆（圆锥底面）的半径为$\frac{1}{2}R$。
设能配套的扇形圆心角度数为$n°$，根据“圆锥侧面扇形的弧长=底面圆的周长”列等式：
底面圆周长：$C_{\mathrm{底}}=2π · \frac{1}{2}R=π R$
扇形弧长：$l_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ R}{180}$
令二者相等：$π R=\frac{nπ R}{180}$
两边同时约去$π R$，解得$n=180$，即对应扇形的圆心角为$180°$，符合的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥展开图性质；弧长公式；圆的周长计算
【点评】
本题解题的关键是抓住圆锥侧面展开图与底面圆的等量对应关系，通过列方程求解圆心角，是对空间几何对应关系和公式应用的常规考查，理清对应量就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断哪个剪法能配成圆锥，核心是明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长这一核心等量关系。首先设大圆（即扇形所在的圆）的半径为R，由题意可知小圆的直径等于大圆半径，因此小圆的半径为$\frac{1}{2}R$。我们可以分别表示出小圆的周长和扇形的弧长，令二者相等，即可求出符合要求的扇形圆心角度数，再对应选项选择即可。
【解析】
设外圆（扇形所在圆）的半径为$R$，已知小圆的直径等于大圆的半径，因此小圆（圆锥底面）的半径为$\frac{1}{2}R$。
设能配套的扇形圆心角度数为$n°$，根据“圆锥侧面扇形的弧长=底面圆的周长”列等式：
底面圆周长：$C_{\mathrm{底}}=2π · \frac{1}{2}R=π R$
扇形弧长：$l_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ R}{180}$
令二者相等：$π R=\frac{nπ R}{180}$
两边同时约去$π R$，解得$n=180$，即对应扇形的圆心角为$180°$，符合的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥展开图性质；弧长公式；圆的周长计算
【点评】
本题解题的关键是抓住圆锥侧面展开图与底面圆的等量对应关系，通过列方程求解圆心角，是对空间几何对应关系和公式应用的常规考查，理清对应量就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3.「2025江苏宿迁中考」已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为
15π
。答案
答案 15π
解析 $\because$ 圆锥的底面半径为3,高为4,$\therefore$ 圆锥的母线长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$,$\because$ 圆锥的底面周长为$2×3×π=6π$,
$\therefore$ 该圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}×6π×5=15π$.
解析 $\because$ 圆锥的底面半径为3,高为4,$\therefore$ 圆锥的母线长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$,$\because$ 圆锥的底面周长为$2×3×π=6π$,
$\therefore$ 该圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}×6π×5=15π$.
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先明确圆锥侧面积的计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×$底面周长$×$母线长。题目已知底面半径和高，缺少母线长和底面周长两个量：第一步先通过勾股定理求母线长，圆锥的底面半径、高、母线恰好构成直角三角形，满足勾股定理的应用条件；第二步根据圆的周长公式计算底面周长；最后将两个量代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=3$，高$h=4$，
$\because$ 圆锥的母线长$l$、底面半径$r$、高$h$构成直角三角形，
$\therefore$ 母线长 $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
圆锥的底面周长 $C=2π r=2×π×3=6π$，
代入圆锥侧面积公式 $S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}Cl$，
得 $S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×6π×5=15π$。
【答案】
$15π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；勾股定理；圆的周长计算
【点评】
本题是基础计算题，考查圆锥相关参数的运算，解题核心是理清圆锥底面半径、高、母线的数量关系，牢记侧面积计算公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的侧面积，首先明确圆锥侧面积的计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×$底面周长$×$母线长。题目已知底面半径和高，缺少母线长和底面周长两个量：第一步先通过勾股定理求母线长，圆锥的底面半径、高、母线恰好构成直角三角形，满足勾股定理的应用条件；第二步根据圆的周长公式计算底面周长；最后将两个量代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=3$，高$h=4$，
$\because$ 圆锥的母线长$l$、底面半径$r$、高$h$构成直角三角形，
$\therefore$ 母线长 $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
圆锥的底面周长 $C=2π r=2×π×3=6π$，
代入圆锥侧面积公式 $S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}Cl$，
得 $S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×6π×5=15π$。
【答案】
$15π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；勾股定理；圆的周长计算
【点评】
本题是基础计算题，考查圆锥相关参数的运算，解题核心是理清圆锥底面半径、高、母线的数量关系，牢记侧面积计算公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4.「2025山东潍坊中考」如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为
8π
。答案
答案 8π
解析 $\because$ 母线l与高AO的夹角为$30°$,母线l长为4,
$\therefore$ 圆锥的底面圆半径$r=\frac{1}{2}×4=2$,$\therefore$ 圆锥侧面展开图的面积$=π rl=π×2×4=8π$.
解析 $\because$ 母线l与高AO的夹角为$30°$,母线l长为4,
$\therefore$ 圆锥的底面圆半径$r=\frac{1}{2}×4=2$,$\therefore$ 圆锥侧面展开图的面积$=π rl=π×2×4=8π$.
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面圆半径，$l$是母线长。本题已知母线长$l=4$，因此只需要求出底面半径$r$即可。观察圆锥的结构，高$AO$、底面半径、母线恰好构成直角三角形，且母线与高的夹角为$30°$，底面半径是该$30°$角对应的直角边，母线为斜边，利用含$30°$角的直角三角形的性质即可求出$r$，最后代入公式计算侧面积即可。
【解析】
解：
∵ 圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，母线与高的夹角为$30°$，母线长$l=4$，
∴ 底面圆半径$r=\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}×4=2$，
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入$r=2$、$l=4$可得：
$S_{侧}=π×2×4=8π$
【答案】
$8π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，含30°角的直角三角形性质，圆锥的结构特征
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是结合圆锥的结构特征找到直角三角形，利用特殊直角三角形的性质求出未知的底面半径，再代入对应公式求解，主要考查学生对基础公式和几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥侧面展开图的面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面圆半径，$l$是母线长。本题已知母线长$l=4$，因此只需要求出底面半径$r$即可。观察圆锥的结构，高$AO$、底面半径、母线恰好构成直角三角形，且母线与高的夹角为$30°$，底面半径是该$30°$角对应的直角边，母线为斜边，利用含$30°$角的直角三角形的性质即可求出$r$，最后代入公式计算侧面积即可。
【解析】
解：
∵ 圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，母线与高的夹角为$30°$，母线长$l=4$，
∴ 底面圆半径$r=\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}×4=2$，
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入$r=2$、$l=4$可得：
$S_{侧}=π×2×4=8π$
【答案】
$8π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，含30°角的直角三角形性质，圆锥的结构特征
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是结合圆锥的结构特征找到直角三角形，利用特殊直角三角形的性质求出未知的底面半径，再代入对应公式求解，主要考查学生对基础公式和几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
5.若一个圆锥的侧面展开图是一个半圆,它的高为$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,求圆锥的全面积.
答案
解析 设圆锥母线长为l,底面圆的半径为r,
由题意,得$2π r=\frac{180· π · l}{180}$,$\therefore l=2r$.$\because r^2+(4\sqrt{3})^2=l^2$,
即$r^2+(4\sqrt{3})^2=4r^2$,解得r=4(负值舍去),$\therefore l=8$,
$\therefore$ 圆锥的全面积$=π×4^2+π×4×8=48π$.
由题意,得$2π r=\frac{180· π · l}{180}$,$\therefore l=2r$.$\because r^2+(4\sqrt{3})^2=l^2$,
即$r^2+(4\sqrt{3})^2=4r^2$,解得r=4(负值舍去),$\therefore l=8$,
$\therefore$ 圆锥的全面积$=π×4^2+π×4×8=48π$.
解析
【分析】
解决本题需分三步思考：第一步，明确圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，由此建立母线长l和底面半径r的等量关系；第二步，圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，结合已知高，利用勾股定理可求出r和l的具体值；第三步，圆锥全面积为底面积与侧面积之和，代入对应数值计算即可。
【解析】
设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$。
因为圆锥侧面展开图是半圆，半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得：
$2π r=\frac{180· π · l}{180}$，化简得$l=2r$。
已知圆锥的高为$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$r^2+(4\sqrt{3})^2=l^2$，将$l=2r$代入得：
$r^2+48=4r^2$，
整理得$3r^2=48$，解得$r=4$（半径为正数，舍去负值），因此$l=8$。
圆锥的全面积为底面积加侧面积，代入公式得：
$S_{\mathrm{全}}=π r^2+π rl=π×4^2+π×4×8=16π+32π=48π$。
【答案】
$48π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 勾股定理
3. 圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的常规题型，核心是掌握圆锥侧面展开图与圆锥各要素的对应关系，计算全面积时注意不要遗漏底面积，理清各量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
解决本题需分三步思考：第一步，明确圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，由此建立母线长l和底面半径r的等量关系；第二步，圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，结合已知高，利用勾股定理可求出r和l的具体值；第三步，圆锥全面积为底面积与侧面积之和，代入对应数值计算即可。
【解析】
设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$。
因为圆锥侧面展开图是半圆，半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得：
$2π r=\frac{180· π · l}{180}$，化简得$l=2r$。
已知圆锥的高为$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$r^2+(4\sqrt{3})^2=l^2$，将$l=2r$代入得：
$r^2+48=4r^2$，
整理得$3r^2=48$，解得$r=4$（半径为正数，舍去负值），因此$l=8$。
圆锥的全面积为底面积加侧面积，代入公式得：
$S_{\mathrm{全}}=π r^2+π rl=π×4^2+π×4×8=16π+32π=48π$。
【答案】
$48π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 勾股定理
3. 圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的常规题型，核心是掌握圆锥侧面展开图与圆锥各要素的对应关系，计算全面积时注意不要遗漏底面积，理清各量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
6.「2025四川自贡嘉祥外国语学校三模，★☆」如图，小珍同学用半径为8 cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2 cm的圆锥侧面，则圆锥中粘贴部分的面积是
$\frac{16π}{9}$
cm². 答案
答案 $\frac{16π}{9}$
解析 根据圆锥的底面半径为2 cm,可得其底面周长为$4π$ cm,$\because$ 扇形弧长为$\frac{100π×8}{180}=\frac{40}{9}π$(cm),$\therefore$ 粘贴部分的弧长为$\frac{40}{9}π-4π=\frac{4}{9}π$(cm),$\therefore$ 圆锥中粘贴部分的面积是$\frac{1}{2}×\frac{4}{9}π×8=\frac{16π}{9}(cm^2)$.
解析 根据圆锥的底面半径为2 cm,可得其底面周长为$4π$ cm,$\because$ 扇形弧长为$\frac{100π×8}{180}=\frac{40}{9}π$(cm),$\therefore$ 粘贴部分的弧长为$\frac{40}{9}π-4π=\frac{4}{9}π$(cm),$\therefore$ 圆锥中粘贴部分的面积是$\frac{1}{2}×\frac{4}{9}π×8=\frac{16π}{9}(cm^2)$.
解析
【分析】
要求粘贴部分的面积，首先明确粘贴部分是半径与原扇形半径相等的小扇形，只需先求出其弧长即可计算面积。解题思路如下：①根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，计算出制作圆锥实际需要的弧长；②计算给出的大扇形的弧长，两者的差值就是粘贴部分的弧长；③利用扇形面积公式计算粘贴部分的面积即可。
【解析】
首先计算圆锥底面周长，也就是制作圆锥侧面需要的弧长：
$C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$
再计算原扇形的弧长：
$l_{\mathrm{原}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{100π×8}{180}=\frac{40}{9}π\ \mathrm{cm}$
粘贴部分的弧长为原扇形弧长减去实际需要的弧长：
$l_{\mathrm{粘}}=\frac{40}{9}π - 4π=\frac{40}{9}π-\frac{36}{9}π=\frac{4}{9}π\ \mathrm{cm}$
粘贴部分是半径为8cm的扇形，根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，可得：
$S_{\mathrm{粘}}=\frac{1}{2}×\frac{4}{9}π×8=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{16π}{9}$
【知识点】
圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形面积公式
【点评】
本题考查圆锥与展开扇形的对应关系，解题的核心是明确粘贴部分的弧长等于原扇形弧长与圆锥底面周长的差值，熟练掌握弧长、扇形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求粘贴部分的面积，首先明确粘贴部分是半径与原扇形半径相等的小扇形，只需先求出其弧长即可计算面积。解题思路如下：①根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，计算出制作圆锥实际需要的弧长；②计算给出的大扇形的弧长，两者的差值就是粘贴部分的弧长；③利用扇形面积公式计算粘贴部分的面积即可。
【解析】
首先计算圆锥底面周长，也就是制作圆锥侧面需要的弧长：
$C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$
再计算原扇形的弧长：
$l_{\mathrm{原}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{100π×8}{180}=\frac{40}{9}π\ \mathrm{cm}$
粘贴部分的弧长为原扇形弧长减去实际需要的弧长：
$l_{\mathrm{粘}}=\frac{40}{9}π - 4π=\frac{40}{9}π-\frac{36}{9}π=\frac{4}{9}π\ \mathrm{cm}$
粘贴部分是半径为8cm的扇形，根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，可得：
$S_{\mathrm{粘}}=\frac{1}{2}×\frac{4}{9}π×8=\frac{16π}{9}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{16π}{9}$
【知识点】
圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形面积公式
【点评】
本题考查圆锥与展开扇形的对应关系，解题的核心是明确粘贴部分的弧长等于原扇形弧长与圆锥底面周长的差值，熟练掌握弧长、扇形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7.「2026江苏南京鼓楼期中，★☆」如图1，正方形纸片ABCD的边长为6 dm，O是AD的中点，点E，F分别在边AB，CD上，扇形纸片OEF的半径OE=6 dm.剪下该扇形纸片，将其围成一个如图2所示的圆锥形纸帽.
(1)求该纸帽的底面半径.
(2)如图3，N是母线OM的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是M，终点是N，求丝带的最短长度.
(1)求该纸帽的底面半径.
(2)如图3，N是母线OM的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是M，终点是N，求丝带的最短长度.
答案
(1)如图,连接EF,$\because$ 正方形纸片ABCD的边长为6 dm,扇形纸片OEF的半径OE=6 dm,$\therefore OE=OF=EF=BC=6$ dm,
$\therefore △ OEF$是等边三角形,$\therefore ∠ EOF=60°$,
设纸帽底面圆的半径为r dm,$\therefore 2π r=\frac{60π×6}{180}$,$\therefore r=1$.
答:该纸帽的底面半径为1 dm.
(2)如图,易知点M与点E重合,作点M关于直线OF的对称点M',连接MM'交OF于点K,连接NM'交OF于点G,过点N作$NH⊥ MM'$于点H,$\therefore$ 丝带的最短长度为NM'的长度,
$\because △ OEF$为等边三角形,$EN=\frac{1}{2}OE=3$ dm,OF垂直平分线段MM',
$\therefore EK$平分$∠ OEF$,$\therefore ∠ OEK=30°$,
$\therefore OK=\frac{1}{2}OE=3$ dm,$NH=\frac{1}{2}EN=\frac{3}{2}$ dm,
$\therefore EK=\sqrt{OE^2-OK^2}=3\sqrt{3}$ dm,
$EH=\sqrt{EN^2-NH^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ dm,
$\therefore EM'=2EK=6\sqrt{3}$ dm,
$\therefore HM'=EM'-EH=6\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$ dm,
在$\mathrm{Rt}△ NHM'$中,由勾股定理得,$NM'=\sqrt{NH^2+HM'^2}=3\sqrt{7}$ dm,
$\therefore$ 丝带的最短长度为$3\sqrt{7}$ dm.
解析
【分析】
(1) 求圆锥底面半径，首先需要确定扇形OEF的圆心角：结合正方形边长与OE的长度，可判定△OEF为等边三角形，得到圆心角∠EOF=60°；再利用“扇形弧长等于圆锥底面周长”的等量关系列方程，即可求出底面半径。
(2) 求解圆锥侧面上的最短路径，需用“化曲为直”的思路：将圆锥侧面展开为扇形，由于丝带绕2圈，通过作对称点将绕两圈的路径转化为展开图中两点间的线段，再结合等边三角形的性质、勾股定理计算线段长度即可得到最短丝带长度。
【解析】
(1) 连接EF，
∵ 正方形纸片ABCD的边长为6 dm，扇形纸片OEF的半径OE=6 dm，
∴ OE=OF=EF=BC=6 dm，
∴ △OEF是等边三角形，
∴ ∠EOF=60°，
设纸帽底面圆的半径为r dm，根据扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：
$2π r=\frac{60π×6}{180}$，
解得$r=1$。
(2) 由题意可知点M与点E重合，作点M关于直线OF的对称点M'，连接MM'交OF于点K，连接NM'交OF于点G，过点N作$NH⊥ MM'$于点H，此时丝带的最短长度为NM'的长度。
∵ △OEF为等边三角形，N是母线OM的中点，
∴ $EN=\frac{1}{2}OE=3$ dm，OF垂直平分线段MM'，
∴ EK平分$∠OEF$，
∴ $∠OEK=30°$，
∴ $OK=\frac{1}{2}OE=3$ dm，$NH=\frac{1}{2}EN=\frac{3}{2}$ dm，
由勾股定理得：$EK=\sqrt{OE^2-OK^2}=3\sqrt{3}$ dm，
$EH=\sqrt{EN^2-NH^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ dm，
∴ $EM'=2EK=6\sqrt{3}$ dm，
∴ $HM'=EM'-EH=6\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$ dm，
在$\mathrm{Rt}△ NHM'$中，由勾股定理得：
$NM'=\sqrt{NH^2+HM'^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{9\sqrt{3}}{2})^2}=3\sqrt{7}$ dm。
【答案】
(1) 该纸帽的底面半径为$\boldsymbol{1\ \mathrm{dm}}$；
(2) 丝带的最短长度为$\boldsymbol{3\sqrt{7}\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
圆锥展开与计算；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题综合了正方形、等边三角形、扇形、圆锥的相关性质，核心考查圆锥侧面展开图与底面周长的对应关系，以及“化曲为直”求解立体图形最短路径的思想，对学生的空间想象能力和几何运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求圆锥底面半径，首先需要确定扇形OEF的圆心角：结合正方形边长与OE的长度，可判定△OEF为等边三角形，得到圆心角∠EOF=60°；再利用“扇形弧长等于圆锥底面周长”的等量关系列方程，即可求出底面半径。
(2) 求解圆锥侧面上的最短路径，需用“化曲为直”的思路：将圆锥侧面展开为扇形，由于丝带绕2圈，通过作对称点将绕两圈的路径转化为展开图中两点间的线段，再结合等边三角形的性质、勾股定理计算线段长度即可得到最短丝带长度。
【解析】
(1) 连接EF，
∵ 正方形纸片ABCD的边长为6 dm，扇形纸片OEF的半径OE=6 dm，
∴ OE=OF=EF=BC=6 dm，
∴ △OEF是等边三角形，
∴ ∠EOF=60°，
设纸帽底面圆的半径为r dm，根据扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：
$2π r=\frac{60π×6}{180}$，
解得$r=1$。
(2) 由题意可知点M与点E重合，作点M关于直线OF的对称点M'，连接MM'交OF于点K，连接NM'交OF于点G，过点N作$NH⊥ MM'$于点H，此时丝带的最短长度为NM'的长度。
∵ △OEF为等边三角形，N是母线OM的中点，
∴ $EN=\frac{1}{2}OE=3$ dm，OF垂直平分线段MM'，
∴ EK平分$∠OEF$，
∴ $∠OEK=30°$，
∴ $OK=\frac{1}{2}OE=3$ dm，$NH=\frac{1}{2}EN=\frac{3}{2}$ dm，
由勾股定理得：$EK=\sqrt{OE^2-OK^2}=3\sqrt{3}$ dm，
$EH=\sqrt{EN^2-NH^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ dm，
∴ $EM'=2EK=6\sqrt{3}$ dm，
∴ $HM'=EM'-EH=6\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$ dm，
在$\mathrm{Rt}△ NHM'$中，由勾股定理得：
$NM'=\sqrt{NH^2+HM'^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{9\sqrt{3}}{2})^2}=3\sqrt{7}$ dm。
【答案】
(1) 该纸帽的底面半径为$\boldsymbol{1\ \mathrm{dm}}$；
(2) 丝带的最短长度为$\boldsymbol{3\sqrt{7}\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
圆锥展开与计算；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题综合了正方形、等边三角形、扇形、圆锥的相关性质，核心考查圆锥侧面展开图与底面周长的对应关系，以及“化曲为直”求解立体图形最短路径的思想，对学生的空间想象能力和几何运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
