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9. 情境 数学文化 发展史 「2025 河南中考，★☆」我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图所示的是研究“割圆术”时的一个图形，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点$O$，四边形$ABCD$为矩形，边$CD$与$\odot O$相切于点$E$，连接$BE$，$∠ ABE = 15°$，连接$OE$交$AB$于点$F$.若$AB=4$，则图中阴影部分的面积为
$\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$
.答案
9.答案 $\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$
解析
∵$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O,边CD与$\odot O$相切于点E,
∴$OA=OB=OE$,$OE⊥ CD$,
∵四边形ABCD为矩形,
∴$AB// CD$,
∴$OE⊥ AB$,
∵$AB=4$,
∴$AF=BF=\frac{1}{2}AB=2$,
∵$∠ ABE=15°$,
∴$∠ AOE=2∠ ABE=30°$,
∵$OA=OB$,$OF⊥ AB$,
∴$∠ AOB=2∠ AOF=60°$,
∴$△ AOB$是等边三角形,
∴$OA=AB=4$,
∴$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=2\sqrt{3}$,
∴阴影部分的面积=$S_{\mathrm{扇形}AOE}-S_{△ AOF}=\frac{30π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$.
解析
∵$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O,边CD与$\odot O$相切于点E,
∴$OA=OB=OE$,$OE⊥ CD$,
∵四边形ABCD为矩形,
∴$AB// CD$,
∴$OE⊥ AB$,
∵$AB=4$,
∴$AF=BF=\frac{1}{2}AB=2$,
∵$∠ ABE=15°$,
∴$∠ AOE=2∠ ABE=30°$,
∵$OA=OB$,$OF⊥ AB$,
∴$∠ AOB=2∠ AOF=60°$,
∴$△ AOB$是等边三角形,
∴$OA=AB=4$,
∴$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=2\sqrt{3}$,
∴阴影部分的面积=$S_{\mathrm{扇形}AOE}-S_{△ AOF}=\frac{30π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察阴影为不规则图形，可采用割补法，即阴影面积=扇形AOE的面积减去$△ AOF$的面积。解题思路如下：①先利用切线的性质和矩形对边平行的性质，推出$OE⊥ AB$，结合垂径定理得到$AF=BF=2$；②根据圆周角定理，由$∠ ABE=15°$求出圆心角$∠ AOE=30°$；③再由等腰$△ AOB$三线合一推出$∠ AOB=60°$，判定$△ AOB$为等边三角形，得到圆的半径$OA=4$；④利用勾股定理求出$OF$的长度；⑤分别计算扇形AOE和$△ AOF$的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
∵$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O，边CD与$\odot O$相切于点E，
∴$OA=OB=OE$，$OE⊥ CD$，
∵四边形ABCD为矩形，
∴$AB// CD$，
∴$OE⊥ AB$，
∵$AB=4$，
∴$AF=BF=\frac{1}{2}AB=2$，
∵$∠ ABE=15°$，
∴$∠ AOE=2∠ ABE=30°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∵$OA=OB$，$OF⊥ AB$，
∴$∠ AOB=2∠ AOF=60°$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$OA=AB=4$，
在$Rt△ AOF$中，由勾股定理得$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=$S_{\mathrm{扇形}AOE}-S_{△ AOF}=\frac{30π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题以我国古代“割圆术”为背景，综合考查圆的性质与不规则图形面积的计算，解题的关键是熟练运用圆的相关性质求出扇形的圆心角和半径，灵活使用割补法转化不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察阴影为不规则图形，可采用割补法，即阴影面积=扇形AOE的面积减去$△ AOF$的面积。解题思路如下：①先利用切线的性质和矩形对边平行的性质，推出$OE⊥ AB$，结合垂径定理得到$AF=BF=2$；②根据圆周角定理，由$∠ ABE=15°$求出圆心角$∠ AOE=30°$；③再由等腰$△ AOB$三线合一推出$∠ AOB=60°$，判定$△ AOB$为等边三角形，得到圆的半径$OA=4$；④利用勾股定理求出$OF$的长度；⑤分别计算扇形AOE和$△ AOF$的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
∵$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O，边CD与$\odot O$相切于点E，
∴$OA=OB=OE$，$OE⊥ CD$，
∵四边形ABCD为矩形，
∴$AB// CD$，
∴$OE⊥ AB$，
∵$AB=4$，
∴$AF=BF=\frac{1}{2}AB=2$，
∵$∠ ABE=15°$，
∴$∠ AOE=2∠ ABE=30°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∵$OA=OB$，$OF⊥ AB$，
∴$∠ AOB=2∠ AOF=60°$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$OA=AB=4$，
在$Rt△ AOF$中，由勾股定理得$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=$S_{\mathrm{扇形}AOE}-S_{△ AOF}=\frac{30π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题以我国古代“割圆术”为背景，综合考查圆的性质与不规则图形面积的计算，解题的关键是熟练运用圆的相关性质求出扇形的圆心角和半径，灵活使用割补法转化不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
10.「2025山东青岛中考，★☆」如图，在扇形AOB中，$∠ AOB=30°$，$OA=2\sqrt{3}$，点C在OB上，且OC=AC。延长CB到D，使CD=CA。以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为
$3\sqrt{3}-π$
（结果保留$π$）。答案
10.答案 $3\sqrt{3}-π$
解析 如图,过点A作$AH⊥ OD$于点H,
∵$∠ AOB=30°$,$OA=2\sqrt{3}$,
∴$AH=\frac{1}{2}OA=\sqrt{3}$,
∵$OC=AC$,
∴$∠ OAC=∠ AOB=30°$,
∴$∠ ACB=30°+30°=60°$,
∴$∠ CAH=30°$,
∴$AC=2CH$,设$CH=x$,则$AC=2x$,在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,由勾股定理得,$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$,解得$x=1$(负值舍去),即$CH=1$,$AC=2$,
∴$CD=CA=OC=2$,
∴$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ AOC}+S_{□ ACDE}-S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}+2×\sqrt{3}-\frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-π=3\sqrt{3}-π$.
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，需用割补法转化为规则图形的面积和差求解：第一步，利用含30°角的直角三角形性质、等腰三角形性质和勾股定理，求出高AH、线段AC（即OC、CD）的长度；第二步，分别计算△AOC、平行四边形ACDE、扇形OAB的面积；第三步，根据阴影面积=△AOC面积+平行四边形ACDE面积-扇形OAB面积，代入数值计算即可。
【解析】
过点A作$AH⊥OD$于点H，
∵$∠AOB=30°$，$OA=2\sqrt{3}$，
∴在$Rt△AOH$中，$AH=\frac{1}{2}OA=\sqrt{3}$，
∵$OC=AC$，
∴$∠OAC=∠AOB=30°$，
∴$∠ACB=∠OAC+∠AOB=30°+30°=60°$，
∴在$Rt△ACH$中，$∠CAH=90°-∠ACB=30°$，
∴$AC=2CH$，设$CH=x$，则$AC=2x$，
由勾股定理得：$CH^2+AH^2=AC^2$，即$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$，
解得$x=1$（负值舍去），
∴$CH=1$，$AC=2$，
∴$CD=CA=OC=2$，
∴$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ AOC}+S_{□ ACDE}-S_{\mathrm{扇形}OAB}$
$=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3} + 2×\sqrt{3} - \frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}$
$=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-π$
$=3\sqrt{3}-π$
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算，平行四边形性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心方法是割补法，将不规则图形转化为三角形、平行四边形、扇形等规则图形的面积和差求解，解题关键是利用等腰三角形、直角三角形的性质求出所需线段长度，需熟练掌握各类规则图形的面积公式。
【难度系数】
0.7
阴影部分为不规则图形，需用割补法转化为规则图形的面积和差求解：第一步，利用含30°角的直角三角形性质、等腰三角形性质和勾股定理，求出高AH、线段AC（即OC、CD）的长度；第二步，分别计算△AOC、平行四边形ACDE、扇形OAB的面积；第三步，根据阴影面积=△AOC面积+平行四边形ACDE面积-扇形OAB面积，代入数值计算即可。
【解析】
过点A作$AH⊥OD$于点H，
∵$∠AOB=30°$，$OA=2\sqrt{3}$，
∴在$Rt△AOH$中，$AH=\frac{1}{2}OA=\sqrt{3}$，
∵$OC=AC$，
∴$∠OAC=∠AOB=30°$，
∴$∠ACB=∠OAC+∠AOB=30°+30°=60°$，
∴在$Rt△ACH$中，$∠CAH=90°-∠ACB=30°$，
∴$AC=2CH$，设$CH=x$，则$AC=2x$，
由勾股定理得：$CH^2+AH^2=AC^2$，即$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$，
解得$x=1$（负值舍去），
∴$CH=1$，$AC=2$，
∴$CD=CA=OC=2$，
∴$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ AOC}+S_{□ ACDE}-S_{\mathrm{扇形}OAB}$
$=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3} + 2×\sqrt{3} - \frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}$
$=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-π$
$=3\sqrt{3}-π$
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算，平行四边形性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心方法是割补法，将不规则图形转化为三角形、平行四边形、扇形等规则图形的面积和差求解，解题关键是利用等腰三角形、直角三角形的性质求出所需线段长度，需熟练掌握各类规则图形的面积公式。
【难度系数】
0.7
11.「2025黑龙江大庆中考，★☆」如图,四边形ABCD是正方形,AB=1.执行下面操作:第一次操作以点A为圆心,以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E,得到扇形DAE;第二次操作以点B为圆心,以BE为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F,得到扇形EBF;第三次操作以点C为圆心,以CF为半径顺时针作弧FG交DC的延长线于点G,得到扇形FCG,依此类推进行操作,其中$\overset{\frown}{DE},\overset{\frown}{EF},\overset{\frown}{FG},\overset{\frown}{GH},\dots$的圆心依次按A,B,C,D循环,所得曲线DEFGH…叫作“正方形的渐开线”,则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为
$\frac{15}{2}π$
(结果保留π).答案
11.答案 $\frac{15}{2}π$
解析
∵四边形ABCD是正方形,
∴$AB=BC=CD=DA=1$,$∠ DAB=∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=90°$,
∴$∠ DAE=∠ EBF=∠ FCG=∠ GDH=180°-90°=90°$,
∴扇形DAE的面积为$\frac{90π×1^2}{360}=\frac{1}{4}π$,
∵$AB=AD=AE=1$,
∴$BE=AB+AE=2$,
∴扇形EBF的面积为$\frac{90π×2^2}{360}=π$,
∵$BF=BE=2$,$BC=1$,
∴$CF=CB+BF=3$,
∴扇形FCG的面积为$\frac{90π×3^2}{360}=\frac{9}{4}π$,
∵$GC=CF=3$,$CD=1$,
∴$GD=GC+CD=4$,
∴扇形GDH的面积为$\frac{90π×4^2}{360}=4π$,
∴四个扇形的面积和为$\frac{1}{4}π+π+\frac{9}{4}π+4π=\frac{15}{2}π$.
解析
∵四边形ABCD是正方形,
∴$AB=BC=CD=DA=1$,$∠ DAB=∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=90°$,
∴$∠ DAE=∠ EBF=∠ FCG=∠ GDH=180°-90°=90°$,
∴扇形DAE的面积为$\frac{90π×1^2}{360}=\frac{1}{4}π$,
∵$AB=AD=AE=1$,
∴$BE=AB+AE=2$,
∴扇形EBF的面积为$\frac{90π×2^2}{360}=π$,
∵$BF=BE=2$,$BC=1$,
∴$CF=CB+BF=3$,
∴扇形FCG的面积为$\frac{90π×3^2}{360}=\frac{9}{4}π$,
∵$GC=CF=3$,$CD=1$,
∴$GD=GC+CD=4$,
∴扇形GDH的面积为$\frac{90π×4^2}{360}=4π$,
∴四个扇形的面积和为$\frac{1}{4}π+π+\frac{9}{4}π+4π=\frac{15}{2}π$.
解析
【分析】
首先明确已知条件：正方形ABCD边长为1，作弧的圆心按A、B、C、D循环，由于正方形内角为90°，因此每个扇形的圆心角均为90°，对应四分之一圆的面积。接下来依次确定四个扇形的半径：第一次以A为圆心，半径为正方形边长1；后续每次扇形的半径均比上一次大1，依次为2、3、4。最后分别计算四个扇形的面积，求和即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC=CD=DA=1$，$∠ DAB=∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=90°$，
∴每个扇形的圆心角$∠ DAE=∠ EBF=∠ FCG=∠ GDH=180°-90°=90°$，
第一个扇形DAE的半径为$AD=1$，面积为$\frac{90π×1^2}{360}=\frac{1}{4}π$；
∵$AE=AD=1$，
∴$BE=AB+AE=1+1=2$，
第二个扇形EBF的半径为$BE=2$，面积为$\frac{90π×2^2}{360}=π$；
∵$BF=BE=2$，
∴$CF=BC+BF=1+2=3$，
第三个扇形FCG的半径为$CF=3$，面积为$\frac{90π×3^2}{360}=\frac{9}{4}π$；
∵$GC=CF=3$，
∴$GD=CD+GC=1+3=4$，
第四个扇形GDH的半径为$GD=4$，面积为$\frac{90π×4^2}{360}=4π$；
则四个扇形的面积和为$\frac{1}{4}π+π+\frac{9}{4}π+4π=\frac{15}{2}π$。
【答案】
$\frac{15}{2}π$
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，图形规律探究
【点评】
本题属于基础规律探究题，解题核心是结合正方形性质确定每个扇形的圆心角和半径的变化规律，再代入扇形面积公式计算即可，整体计算量不大，思路清晰。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：正方形ABCD边长为1，作弧的圆心按A、B、C、D循环，由于正方形内角为90°，因此每个扇形的圆心角均为90°，对应四分之一圆的面积。接下来依次确定四个扇形的半径：第一次以A为圆心，半径为正方形边长1；后续每次扇形的半径均比上一次大1，依次为2、3、4。最后分别计算四个扇形的面积，求和即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC=CD=DA=1$，$∠ DAB=∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=90°$，
∴每个扇形的圆心角$∠ DAE=∠ EBF=∠ FCG=∠ GDH=180°-90°=90°$，
第一个扇形DAE的半径为$AD=1$，面积为$\frac{90π×1^2}{360}=\frac{1}{4}π$；
∵$AE=AD=1$，
∴$BE=AB+AE=1+1=2$，
第二个扇形EBF的半径为$BE=2$，面积为$\frac{90π×2^2}{360}=π$；
∵$BF=BE=2$，
∴$CF=BC+BF=1+2=3$，
第三个扇形FCG的半径为$CF=3$，面积为$\frac{90π×3^2}{360}=\frac{9}{4}π$；
∵$GC=CF=3$，
∴$GD=CD+GC=1+3=4$，
第四个扇形GDH的半径为$GD=4$，面积为$\frac{90π×4^2}{360}=4π$；
则四个扇形的面积和为$\frac{1}{4}π+π+\frac{9}{4}π+4π=\frac{15}{2}π$。
【答案】
$\frac{15}{2}π$
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，图形规律探究
【点评】
本题属于基础规律探究题，解题核心是结合正方形性质确定每个扇形的圆心角和半径的变化规律，再代入扇形面积公式计算即可，整体计算量不大，思路清晰。
【难度系数】
0.7
12.「2026江苏宿迁沭阳月考，★☆」如图，AB是$\odot O$的直径，弦AD平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AC$，垂足为E，AC与$\odot O$交于点F，连接DF.
(1)判断DE与$\odot O$有怎样的位置关系，并说明理由.
(2)若$AB=8$，$∠ BAC=60°$，求阴影部分的面积.
(1)判断DE与$\odot O$有怎样的位置关系，并说明理由.
(2)若$AB=8$，$∠ BAC=60°$，求阴影部分的面积.
答案
12.解析 (1)$DE$与$\odot O$相切.
理由:如图,连接$OD$,
∵弦AD平分$∠ BAC$,
∴$∠ BAD=∠ CAD$,
∵$OA=OD$,
∴$∠ BAD=∠ ADO$,
∴$∠ ADO=∠ CAD$,
∴$OD// AC$,
∵$DE⊥ AC$,
∴$DE⊥ OD$,
∵$OD$是$\odot O$的半径,
∴$DE$与$\odot O$相切.
(2)如图,连接$OF$,
∵$∠ BAC=60°$,$OA=OF$,
∴$△ AOF$是等边三角形,
∴$∠ AOF=∠ AFO=∠ OAF=60°$,
∵$OD// AC$,
∴$∠ BOD=∠ BAC=60°$,
∴$∠ FOD=180°-∠ AOF-∠ BOD=60°$,
又
∵$OD=OF$,
∴$△ ODF$是等边三角形,
∴$DF=OF=OA=\frac{1}{2}AB=4$,$∠ DFO=60°$,
∴$∠ DFE=180°-∠ DFO-∠ OFA=60°$,
∵$DE⊥ AC$,
∴$∠ DEF=90°$,
∴$∠ FDE=90°-∠ DFE=30°$,
∴$EF=\frac{1}{2}DF=2$,
∴$DE=\sqrt{DF^2-EF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}EFOD}-S_{\mathrm{扇形}ODF}=\frac{1}{2}(EF+OD)· DE-\frac{60π×4^2}{360}$
$=\frac{1}{2}×(2+4)×2\sqrt{3}-\frac{60π×4^2}{360}=6\sqrt{3}-\frac{8π}{3}$,
∴阴影部分的面积为$6\sqrt{3}-\frac{8π}{3}$.
解析
【分析】
(1) 判定直线与圆相切的常用方法是“连半径，证垂直”：已知点D在圆上，先连接OD，结合角平分线性质和等腰三角形的等角性质，推出OD与AC平行，再结合DE⊥AC的条件，即可得到DE⊥OD，从而证明DE是⊙O的切线。
(2) 阴影部分是不规则图形，需用割补法转化为规则图形面积的差求解：先连接OF，结合已知角度证明△AOF、△ODF均为等边三角形，求出相关线段EF、DE的长度，再利用“阴影面积=梯形EFOD面积 - 扇形ODF面积”计算即可。
【解析】
(1) $DE$与$\odot O$相切.
理由:如图,连接$OD$,
∵弦AD平分$∠ BAC$,
∴$∠ BAD=∠ CAD$,
∵$OA=OD$,
∴$∠ BAD=∠ ADO$,
∴$∠ ADO=∠ CAD$,
∴$OD// AC$,
∵$DE⊥ AC$,
∴$DE⊥ OD$,
∵$OD$是$\odot O$的半径,
∴$DE$与$\odot O$相切.
(2) 如图,连接$OF$,
∵$∠ BAC=60°$,$OA=OF$,
∴$△ AOF$是等边三角形,
∴$∠ AOF=∠ AFO=∠ OAF=60°$,
∵$OD// AC$,
∴$∠ BOD=∠ BAC=60°$,
∴$∠ FOD=180°-∠ AOF-∠ BOD=60°$,
又
∵$OD=OF$,
∴$△ ODF$是等边三角形,
∴$DF=OF=OA=\frac{1}{2}AB=4$,$∠ DFO=60°$,
∴$∠ DFE=180°-∠ DFO-∠ OFA=60°$,
∵$DE⊥ AC$,
∴$∠ DEF=90°$,
∴$∠ FDE=90°-∠ DFE=30°$,
∴$EF=\frac{1}{2}DF=2$,
∴$DE=\sqrt{DF^2-EF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}EFOD}-S_{\mathrm{扇形}ODF}=\frac{1}{2}(EF+OD)· DE-\frac{60π×4^2}{360}$
$=\frac{1}{2}×(2+4)×2\sqrt{3}-\frac{60π×4^2}{360}=6\sqrt{3}-\frac{8π}{3}$
【答案】
(1) $DE$与$\odot O$相切，理由见上述解析；
(2) 阴影部分的面积为$\boldsymbol{6\sqrt{3}-\dfrac{8π}{3}}$。
【知识点】
切线的判定，扇形面积计算，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合常考题，既考查了切线的判定逻辑，也考查了不规则图形面积的转化思路，解题核心是合理添加辅助线，将未知的不规则图形问题转化为已知的规则图形问题求解。
【难度系数】
0.6
(1) 判定直线与圆相切的常用方法是“连半径，证垂直”：已知点D在圆上，先连接OD，结合角平分线性质和等腰三角形的等角性质，推出OD与AC平行，再结合DE⊥AC的条件，即可得到DE⊥OD，从而证明DE是⊙O的切线。
(2) 阴影部分是不规则图形，需用割补法转化为规则图形面积的差求解：先连接OF，结合已知角度证明△AOF、△ODF均为等边三角形，求出相关线段EF、DE的长度，再利用“阴影面积=梯形EFOD面积 - 扇形ODF面积”计算即可。
【解析】
(1) $DE$与$\odot O$相切.
理由:如图,连接$OD$,
∵弦AD平分$∠ BAC$,
∴$∠ BAD=∠ CAD$,
∵$OA=OD$,
∴$∠ BAD=∠ ADO$,
∴$∠ ADO=∠ CAD$,
∴$OD// AC$,
∵$DE⊥ AC$,
∴$DE⊥ OD$,
∵$OD$是$\odot O$的半径,
∴$DE$与$\odot O$相切.
(2) 如图,连接$OF$,
∵$∠ BAC=60°$,$OA=OF$,
∴$△ AOF$是等边三角形,
∴$∠ AOF=∠ AFO=∠ OAF=60°$,
∵$OD// AC$,
∴$∠ BOD=∠ BAC=60°$,
∴$∠ FOD=180°-∠ AOF-∠ BOD=60°$,
又
∵$OD=OF$,
∴$△ ODF$是等边三角形,
∴$DF=OF=OA=\frac{1}{2}AB=4$,$∠ DFO=60°$,
∴$∠ DFE=180°-∠ DFO-∠ OFA=60°$,
∵$DE⊥ AC$,
∴$∠ DEF=90°$,
∴$∠ FDE=90°-∠ DFE=30°$,
∴$EF=\frac{1}{2}DF=2$,
∴$DE=\sqrt{DF^2-EF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}EFOD}-S_{\mathrm{扇形}ODF}=\frac{1}{2}(EF+OD)· DE-\frac{60π×4^2}{360}$
$=\frac{1}{2}×(2+4)×2\sqrt{3}-\frac{60π×4^2}{360}=6\sqrt{3}-\frac{8π}{3}$
【答案】
(1) $DE$与$\odot O$相切，理由见上述解析；
(2) 阴影部分的面积为$\boldsymbol{6\sqrt{3}-\dfrac{8π}{3}}$。
【知识点】
切线的判定，扇形面积计算，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合常考题，既考查了切线的判定逻辑，也考查了不规则图形面积的转化思路，解题核心是合理添加辅助线，将未知的不规则图形问题转化为已知的规则图形问题求解。
【难度系数】
0.6
13. 核心素养推理能力「2025江苏南京建邺一模」如图,两条道路的宽分别为10 m,8 m,∠A=∠B=120°.现修建圆弧形道路,其内侧$\overset{\frown}{CD}$与边界相切于点C,D,外侧$\overset{\frown}{EF}$与边界相切于点E,F,两弧的圆心均在直线CE上.$\overset{\frown}{CD}$,$\overset{\frown}{EF}$的长度m,n满足的数量关系为
$n=m+2π$
.答案
13.答案 $n=m+2π$
解析 如图,过点D作$GD⊥ BD$,交EC的延长线于点G,交AF于点N,过点F作$HF⊥ AF$,交EC的延长线于点H,过点H作$HM⊥ DG$于点M,易得四边形HMNF是矩形,
∴$HF=MN$,$HF// MN$,
∵点C,D,E,F均为切点,且两弧的圆心均在直线CE上,
∴点G为$\overset{\frown}{CD}$所在圆的圆心,点H为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的圆心,
设$CG=DG=r$ m,$GH=x$ m,
∵两条道路的宽分别为10 m,8 m,
∴$HE=HF=(r-x+10)$ m,
∴$GM=GN-MN=GN-HF=(r+8)-(r-x+10)=(x-2)$ m,
∵$∠ A=∠ B=120°$,
∴$∠ G=∠ EHF=360°-90°-90°-120°=60°$,
∴$∠ GHM=90°-∠ G=30°$,
∴$GH=2GM$,即$x=2(x-2)$,解得$x=4$,
∴$HE=HF=(r-4+10)=(r+6)$ m,
∴$m=\frac{60π r}{180}=\frac{π r}{3}$(m),$n=\frac{60π(r+6)}{180}=(\frac{π r}{3}+2π)$ m,
∴$n=m+2π$.
解析
【分析】
要解决本题，首先结合切线性质确定两段圆弧的圆心和圆心角：切线与过切点的半径垂直，结合已知的∠A=∠B=120°，通过四边形内角和可算出两段弧的圆心角均为60°。接下来需找到两段弧半径的数量关系：结合道路宽度构造矩形和直角三角形，利用30°直角三角形的性质列方程求出两半径的差值，最后代入弧长公式计算两段弧长的差，即可得到m和n的数量关系。
【解析】
如图，过点D作$GD⊥ BD$，交EC的延长线于点G，交AF于点N，过点F作$HF⊥ AF$，交EC的延长线于点H，过点H作$HM⊥ DG$于点M，易得四边形HMNF是矩形，
∴$HF=MN$，$HF// MN$，
∵点C,D,E,F均为切点，且两弧的圆心均在直线CE上，
∴点G为$\overset{\frown}{CD}$所在圆的圆心，点H为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的圆心，
设$CG=DG=r$ m，$GH=x$ m，
∵两条道路的宽分别为10 m，8 m，
∴$HE=HF=(r-x+10)$ m，
∴$GM=GN-MN=GN-HF=(r+8)-(r-x+10)=(x-2)$ m，
∵$∠ A=∠ B=120°$，
∴$∠ G=∠ EHF=360°-90°-90°-120°=60°$，
∴$∠ GHM=90°-∠ G=30°$，
∴$GH=2GM$，即$x=2(x-2)$，解得$x=4$，
∴$HE=HF=(r-4+10)=(r+6)$ m，
∴$m=\frac{60π r}{180}=\frac{π r}{3}$(m)，$n=\frac{60π(r+6)}{180}=(\frac{π r}{3}+2π)$ m，
∴$n=m+2π$。
【答案】
$n=m+2π$
【知识点】
切线的性质；弧长公式；矩形的性质
【点评】
本题结合几何图形性质与弧长计算，侧重考查逻辑推理能力，解题的关键是利用切线性质确定圆心角，结合线段关系推导两段圆弧的半径差，进而得到弧长的数量关系。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先结合切线性质确定两段圆弧的圆心和圆心角：切线与过切点的半径垂直，结合已知的∠A=∠B=120°，通过四边形内角和可算出两段弧的圆心角均为60°。接下来需找到两段弧半径的数量关系：结合道路宽度构造矩形和直角三角形，利用30°直角三角形的性质列方程求出两半径的差值，最后代入弧长公式计算两段弧长的差，即可得到m和n的数量关系。
【解析】
如图，过点D作$GD⊥ BD$，交EC的延长线于点G，交AF于点N，过点F作$HF⊥ AF$，交EC的延长线于点H，过点H作$HM⊥ DG$于点M，易得四边形HMNF是矩形，
∴$HF=MN$，$HF// MN$，
∵点C,D,E,F均为切点，且两弧的圆心均在直线CE上，
∴点G为$\overset{\frown}{CD}$所在圆的圆心，点H为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的圆心，
设$CG=DG=r$ m，$GH=x$ m，
∵两条道路的宽分别为10 m，8 m，
∴$HE=HF=(r-x+10)$ m，
∴$GM=GN-MN=GN-HF=(r+8)-(r-x+10)=(x-2)$ m，
∵$∠ A=∠ B=120°$，
∴$∠ G=∠ EHF=360°-90°-90°-120°=60°$，
∴$∠ GHM=90°-∠ G=30°$，
∴$GH=2GM$，即$x=2(x-2)$，解得$x=4$，
∴$HE=HF=(r-4+10)=(r+6)$ m，
∴$m=\frac{60π r}{180}=\frac{π r}{3}$(m)，$n=\frac{60π(r+6)}{180}=(\frac{π r}{3}+2π)$ m，
∴$n=m+2π$。
【答案】
$n=m+2π$
【知识点】
切线的性质；弧长公式；矩形的性质
【点评】
本题结合几何图形性质与弧长计算，侧重考查逻辑推理能力，解题的关键是利用切线性质确定圆心角，结合线段关系推导两段圆弧的半径差，进而得到弧长的数量关系。
【难度系数】
0.5
