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11 在$△ ABC$中，$D$是$BC$上的点，若$AB=15$，$AC=10$，且$BD:DC=AB:AC$，$BD-DC=2$，求$BC$的长。
答案
11 因为$BD:DC=AB:AC$,所以$BD:DC=15:10=3:2$。设$BD=3x$,则$DC=2x$。因为$BD-DC=2$,所以$3x-2x=2$,$x=2$,所以$BC=BD+CD=5x=10$。
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：已知AB、AC的长度，且BD与DC的比等于AB与AC的比，我们可先代入AB、AC的数值求出BD:DC的具体比值；再结合题目给出的BD与DC的差的条件，根据求出的比例设未知数，将BD、DC用含同一个未知数的代数式表示，代入差的等量关系求出未知数的值；最后BC是BD与DC的和，代入未知数的值即可算出结果。
【解析】
解：
∵ $BD:DC=AB:AC$，$AB=15$，$AC=10$
∴ $BD:DC=15:10=3:2$
设$BD=3x$（$x＞0$），则$DC=2x$
∵ $BD-DC=2$
∴ $3x-2x=2$
解得$x=2$
∴ $BC=BD+DC=3x+2x=5x=5×2=10$
【答案】
10
【知识点】
比例的性质，一元一次方程的应用，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过已知比例关系得到两条线段的比值，再结合线段的差的条件设未知数列方程求解，计算量小，逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已知条件：已知AB、AC的长度，且BD与DC的比等于AB与AC的比，我们可先代入AB、AC的数值求出BD:DC的具体比值；再结合题目给出的BD与DC的差的条件，根据求出的比例设未知数，将BD、DC用含同一个未知数的代数式表示，代入差的等量关系求出未知数的值；最后BC是BD与DC的和，代入未知数的值即可算出结果。
【解析】
解：
∵ $BD:DC=AB:AC$，$AB=15$，$AC=10$
∴ $BD:DC=15:10=3:2$
设$BD=3x$（$x＞0$），则$DC=2x$
∵ $BD-DC=2$
∴ $3x-2x=2$
解得$x=2$
∴ $BC=BD+DC=3x+2x=5x=5×2=10$
【答案】
10
【知识点】
比例的性质，一元一次方程的应用，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过已知比例关系得到两条线段的比值，再结合线段的差的条件设未知数列方程求解，计算量小，逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
12 如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD。在BA的延长线上取点F，使$PF=PD$，以AF为边作正方形AMEF，点M在边AD上。
（1）求AM、DM的长。
（2）试说明：$AM^2 = AD · DM$。
（3）根据（2）中的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
（1）求AM、DM的长。
（2）试说明：$AM^2 = AD · DM$。
（3）根据（2）中的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
答案
12 （1）因为正方形$ABCD$的边长为2，$P$是$AB$中点，所以$AB=AD=2$，$AP=1$。在$\mathrm{Rt}△ APD$中,$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{5}$。因为$PF=PD$,所以$AF=PF-AP=\sqrt{5}-1$。因为四边形$AMEF$是正方形,所以$AM=AF=\sqrt{5}-1$,$DM=AD-AM=3-\sqrt{5}$。
（2）由(1)得$AM^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$,$AD· DM=2(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$,所以$AM^2=AD· DM$。
（3）图中点$M$是线段$AD$的黄金分割点。
（2）由(1)得$AM^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$,$AD· DM=2(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$,所以$AM^2=AD· DM$。
（3）图中点$M$是线段$AD$的黄金分割点。
解析
【分析】
（1）先利用正方形的性质得到AB、AD的长度，结合P是AB中点求出AP的长，再在Rt△APD中用勾股定理算出PD的长度；根据PF=PD求出AF的长度，再由正方形AMEF边长相等得到AM的长度，最后用AD减去AM即可得到DM的长度。
（2）分别计算$AM^2$和$AD· DM$的数值，对比二者是否相等即可证明结论。
（3）根据黄金分割点的定义：若一点将线段分为两段，且较长段的平方等于整条线段与较短线段的乘积，则该点为这条线段的黄金分割点，结合（2）的结论即可找到对应的黄金分割点。
【解析】
（1）解：
∵正方形ABCD的边长为2，P是AB的中点，
∴$AB=AD=2$，$AP=\frac{1}{2}AB=1$，$∠ BAD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ APD$中，由勾股定理得：
$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∵$PF=PD$，
∴$PF=\sqrt{5}$，
∴$AF=PF-AP=\sqrt{5}-1$，
∵四边形AMEF是正方形，
∴$AM=AF=\sqrt{5}-1$，
∴$DM=AD-AM=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
（2）证明：由（1）的结果可得：
$AM^2=(\sqrt{5}-1)^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$，
$AD· DM=2×(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$，
∴$AM^2=AD· DM$。
（3）解：结合（2）的结论$AM^2=AD· DM$，符合黄金分割点的判定条件，因此点M是线段AD的黄金分割点。
【答案】
（1）$AM=\sqrt{5}-1$，$DM=3-\sqrt{5}$；
（2）$AM^2=AD· DM$，证明成立；
（3）点M是线段AD的黄金分割点。
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、黄金分割
【点评】
本题是基础综合题，融合了正方形性质、勾股定理、黄金分割三个核心知识点，解题思路清晰，先通过几何性质和勾股定理求出线段长度，再通过代数运算验证结论，最后结合定义判断即可，能很好地考察学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）先利用正方形的性质得到AB、AD的长度，结合P是AB中点求出AP的长，再在Rt△APD中用勾股定理算出PD的长度；根据PF=PD求出AF的长度，再由正方形AMEF边长相等得到AM的长度，最后用AD减去AM即可得到DM的长度。
（2）分别计算$AM^2$和$AD· DM$的数值，对比二者是否相等即可证明结论。
（3）根据黄金分割点的定义：若一点将线段分为两段，且较长段的平方等于整条线段与较短线段的乘积，则该点为这条线段的黄金分割点，结合（2）的结论即可找到对应的黄金分割点。
【解析】
（1）解：
∵正方形ABCD的边长为2，P是AB的中点，
∴$AB=AD=2$，$AP=\frac{1}{2}AB=1$，$∠ BAD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ APD$中，由勾股定理得：
$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∵$PF=PD$，
∴$PF=\sqrt{5}$，
∴$AF=PF-AP=\sqrt{5}-1$，
∵四边形AMEF是正方形，
∴$AM=AF=\sqrt{5}-1$，
∴$DM=AD-AM=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
（2）证明：由（1）的结果可得：
$AM^2=(\sqrt{5}-1)^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$，
$AD· DM=2×(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$，
∴$AM^2=AD· DM$。
（3）解：结合（2）的结论$AM^2=AD· DM$，符合黄金分割点的判定条件，因此点M是线段AD的黄金分割点。
【答案】
（1）$AM=\sqrt{5}-1$，$DM=3-\sqrt{5}$；
（2）$AM^2=AD· DM$，证明成立；
（3）点M是线段AD的黄金分割点。
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、黄金分割
【点评】
本题是基础综合题，融合了正方形性质、勾股定理、黄金分割三个核心知识点，解题思路清晰，先通过几何性质和勾股定理求出线段长度，再通过代数运算验证结论，最后结合定义判断即可，能很好地考察学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
13 如图，AD是$△ ABC$的角平分线。求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$。
答案
13 过点$D$作$DH ⊥ AB$于点$H$,$DG ⊥ AC$于点$G$。因为$AD$是$∠ BAC$的角平分线,所以$DH=DG$,所以$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB· DH}{\dfrac{1}{2}AC· DG}=\dfrac{AB}{AC}$。又因为$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{BD}{CD}$,所以$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$。
解析
【分析】
要证明线段成比例$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，可通过面积法转换比例关系：首先AD是$△ ABC$的角平分线，根据角平分线的性质，点D到AB、AC两边的距离相等，因此$△ ABD$与$△ ADC$分别以AB、AC为底时高相等，面积比等于AB与AC的比；同时$△ ABD$和$△ ADC$以BD、DC为底时，二者的高都是点A到BC的垂线段，面积比等于BD与DC的比，两个面积比相等即可推出待证结论。
【解析】
证明：过点$D$作$DH ⊥ AB$于点$H$，$DG ⊥ AC$于点$G$。
∵$AD$是$∠ BAC$的角平分线，
∴$DH=DG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB· DH}{\dfrac{1}{2}AC· DG}=\dfrac{AB}{AC}$。
又
∵$△ ABD$和$△ ADC$以$BD$、$DC$为底时高相同，均为点$A$到$BC$的垂线段，
∴$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{BD}{CD}$。
联立即可得$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$。
【答案】
过点$D$作$DH ⊥ AB$于点$H$,$DG ⊥ AC$于点$G$。因为$AD$是$∠ BAC$的角平分线,所以$DH=DG$,所以$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB· DH}{\dfrac{1}{2}AC· DG}=\dfrac{AB}{AC}$。又因为$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{BD}{CD}$,所以$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$。
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例性质
【点评】
本题是角平分线定理的典型证明题，巧妙运用面积法将线段比例关系转化为三角形面积的比例关系，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和同高三角形面积与底的对应规律，是几何中证明线段成比例的基础题型，能帮助学生理解面积法在几何证明中的应用。
【难度系数】
0.7
要证明线段成比例$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，可通过面积法转换比例关系：首先AD是$△ ABC$的角平分线，根据角平分线的性质，点D到AB、AC两边的距离相等，因此$△ ABD$与$△ ADC$分别以AB、AC为底时高相等，面积比等于AB与AC的比；同时$△ ABD$和$△ ADC$以BD、DC为底时，二者的高都是点A到BC的垂线段，面积比等于BD与DC的比，两个面积比相等即可推出待证结论。
【解析】
证明：过点$D$作$DH ⊥ AB$于点$H$，$DG ⊥ AC$于点$G$。
∵$AD$是$∠ BAC$的角平分线，
∴$DH=DG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB· DH}{\dfrac{1}{2}AC· DG}=\dfrac{AB}{AC}$。
又
∵$△ ABD$和$△ ADC$以$BD$、$DC$为底时高相同，均为点$A$到$BC$的垂线段，
∴$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{BD}{CD}$。
联立即可得$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$。
【答案】
过点$D$作$DH ⊥ AB$于点$H$,$DG ⊥ AC$于点$G$。因为$AD$是$∠ BAC$的角平分线,所以$DH=DG$,所以$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB· DH}{\dfrac{1}{2}AC· DG}=\dfrac{AB}{AC}$。又因为$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{BD}{CD}$,所以$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$。
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例性质
【点评】
本题是角平分线定理的典型证明题，巧妙运用面积法将线段比例关系转化为三角形面积的比例关系，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和同高三角形面积与底的对应规律，是几何中证明线段成比例的基础题型，能帮助学生理解面积法在几何证明中的应用。
【难度系数】
0.7
14 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、DB交于点O，如果$S_{△ AOD}=2$，$S_{△ ABD}=5$，求四边形ABCD的面积。
答案
14 因为$S_{△ AOD}=2$,$S_{△ ABD}=5$,所以$S_{△ AOB}=3$,所以$\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{2}{3}$。因为$AD // BC$,所以$\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{2}{3}$,所以$S_{△ COD}=3$,$S_{△ BOC}=4.5$,所以$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=12.5$。
解析
【分析】
解题时先观察已知面积的△AOD和△ABD的关系：二者共顶点A，底边都在BD上，属于同高三角形，先通过面积差求出△AOB的面积，再利用同高三角形面积比等于底的比，得到OD与OB的比值。接下来结合AD//BC的条件，由平行线分线段成比例得到AO与OC的比值，再多次运用同高三角形面积比的性质，分别求出△COD和△BOC的面积，最后将四个三角形面积相加即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
解：
∵ $S_{△ AOD}=2$，$S_{△ ABD}=5$，△AOD和△AOB同高（顶点为A，底边均在BD上）
∴ $S_{△ AOB}=S_{△ ABD}-S_{△ AOD}=5-2=3$
根据同高三角形面积比等于对应底的比，可得 $\frac{OD}{OB}=\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\frac{2}{3}$
∵ $AD// BC$
∴ 由平行线分线段成比例，得 $\frac{OD}{OB}=\frac{AO}{OC}=\frac{2}{3}$
① △AOD和△COD同高（顶点为D，底边均在AC上），则 $\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ COD}}=\frac{AO}{OC}=\frac{2}{3}$，代入$S_{△ AOD}=2$，解得$S_{△ COD}=3$
② △AOB和△BOC同高（顶点为B，底边均在AC上），则 $\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ BOC}}=\frac{AO}{OC}=\frac{2}{3}$，代入$S_{△ AOB}=3$，解得$S_{△ BOC}=4.5$
∴ 四边形ABCD的面积为：
$S_{ABCD}=S_{△ AOD}+S_{△ AOB}+S_{△ COD}+S_{△ BOC}=2+3+3+4.5=12.5$
【答案】
$12.5$（或$\frac{25}{2}$）
【知识点】
同高三角形面积比、平行线分线段成比例、四边形面积计算
【点评】
本题是梯形面积计算的典型题型，核心是灵活运用“同高三角形的面积比等于对应底的比”的性质，结合平行线得到的线段比例关系逐步推导各部分面积，解题时要注意找准同高三角形对应的底，避免比例关系混淆。
【难度系数】
0.6
解题时先观察已知面积的△AOD和△ABD的关系：二者共顶点A，底边都在BD上，属于同高三角形，先通过面积差求出△AOB的面积，再利用同高三角形面积比等于底的比，得到OD与OB的比值。接下来结合AD//BC的条件，由平行线分线段成比例得到AO与OC的比值，再多次运用同高三角形面积比的性质，分别求出△COD和△BOC的面积，最后将四个三角形面积相加即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
解：
∵ $S_{△ AOD}=2$，$S_{△ ABD}=5$，△AOD和△AOB同高（顶点为A，底边均在BD上）
∴ $S_{△ AOB}=S_{△ ABD}-S_{△ AOD}=5-2=3$
根据同高三角形面积比等于对应底的比，可得 $\frac{OD}{OB}=\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\frac{2}{3}$
∵ $AD// BC$
∴ 由平行线分线段成比例，得 $\frac{OD}{OB}=\frac{AO}{OC}=\frac{2}{3}$
① △AOD和△COD同高（顶点为D，底边均在AC上），则 $\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ COD}}=\frac{AO}{OC}=\frac{2}{3}$，代入$S_{△ AOD}=2$，解得$S_{△ COD}=3$
② △AOB和△BOC同高（顶点为B，底边均在AC上），则 $\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ BOC}}=\frac{AO}{OC}=\frac{2}{3}$，代入$S_{△ AOB}=3$，解得$S_{△ BOC}=4.5$
∴ 四边形ABCD的面积为：
$S_{ABCD}=S_{△ AOD}+S_{△ AOB}+S_{△ COD}+S_{△ BOC}=2+3+3+4.5=12.5$
【答案】
$12.5$（或$\frac{25}{2}$）
【知识点】
同高三角形面积比、平行线分线段成比例、四边形面积计算
【点评】
本题是梯形面积计算的典型题型，核心是灵活运用“同高三角形的面积比等于对应底的比”的性质，结合平行线得到的线段比例关系逐步推导各部分面积，解题时要注意找准同高三角形对应的底，避免比例关系混淆。
【难度系数】
0.6
