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1. 如果$\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}$有意义，那么代数式$|x-1|+\sqrt{(x-9)^2}$的值为（
A.$\pm8$
B.$8$
C.$-8$
D.无法确定
B
）A.$\pm8$
B.$8$
C.$-8$
D.无法确定
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，据此先求出x的取值范围；再根据x的取值范围，结合绝对值的性质和二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，化简待求的代数式，最终计算出结果即可。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
若$\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}$有意义，则两个被开方数均为非负数，可列不等式组：
$\begin{cases}x-1≥0 \\9-x≥0\end{cases}$
解得：$1≤ x≤9$
第二步：化简代数式
因为$1≤ x≤9$，所以$x-1≥0$，$x-9≤0$。
根据绝对值的性质：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数，结合二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得：
$|x-1|=x-1$，$\sqrt{(x-9)^2}=|x-9|=9-x$
代入原式计算：
$|x-1|+\sqrt{(x-9)^2}=(x-1)+(9-x)=8$
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题属于基础常考题，核心是先根据二次根式有意义的条件锁定未知数的取值范围，再结合绝对值的性质完成化简计算，避免直接忽略取值范围盲目化简出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，据此先求出x的取值范围；再根据x的取值范围，结合绝对值的性质和二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，化简待求的代数式，最终计算出结果即可。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
若$\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}$有意义，则两个被开方数均为非负数，可列不等式组：
$\begin{cases}x-1≥0 \\9-x≥0\end{cases}$
解得：$1≤ x≤9$
第二步：化简代数式
因为$1≤ x≤9$，所以$x-1≥0$，$x-9≤0$。
根据绝对值的性质：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数，结合二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得：
$|x-1|=x-1$，$\sqrt{(x-9)^2}=|x-9|=9-x$
代入原式计算：
$|x-1|+\sqrt{(x-9)^2}=(x-1)+(9-x)=8$
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题属于基础常考题，核心是先根据二次根式有意义的条件锁定未知数的取值范围，再结合绝对值的性质完成化简计算，避免直接忽略取值范围盲目化简出错。
【难度系数】
0.8
2. 小明的作业本上有以下四题：①$\sqrt{16a^4}=4a^2$；②$\sqrt{5a}·\sqrt{10a}=5\sqrt{2}a$；③$a\sqrt{\frac{1}{a}}=\sqrt{a^2·\frac{1}{a}}=\sqrt{a}$；④$\sqrt{8a}÷\sqrt{2a}=4$。做错的题是（
A.①
B.②
C.③
D.④
D
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查二次根式的性质与运算，解题时需要我们逐个验证4个式子的正误，依据二次根式的化简规则、乘除运算法则，同时注意被开方数非负的隐含条件，判断每个式子计算是否正确，最终找出做错的题目。
【解析】
我们逐一分析4道题：
① $\sqrt{16a^4}=\sqrt{(4a^2)^2}$，因为$a^2≥0$，所以开方后结果为$4a^2$，①计算正确；
② 根据二次根式乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$），$\sqrt{5a}·\sqrt{10a}=\sqrt{5a·10a}=\sqrt{50a^2}$，由题意被开方数有意义可知$a＞0$，所以$\sqrt{50a^2}=5\sqrt{2}a$，②计算正确；
③ 式子有意义则$\frac{1}{a}＞0$即$a＞0$，可将$a$变形为$\sqrt{a^2}$移入根号内，得$a\sqrt{\frac{1}{a}}=\sqrt{a^2·\frac{1}{a}}=\sqrt{a}$，③计算正确；
④ 根据二次根式除法法则$\sqrt{m}÷\sqrt{n}=\sqrt{\frac{m}{n}}$（$m≥0,n＞0$），$\sqrt{8a}÷\sqrt{2a}=\sqrt{\frac{8a}{2a}}=\sqrt{4}=2≠4$，④计算错误。
因此做错的题是④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式乘法运算；二次根式除法运算
【点评】
本题侧重考查二次根式的基础运算，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则，同时要注意运算中被开方数的隐含取值范围，避免忽略取值范围导致判断失误。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的性质与运算，解题时需要我们逐个验证4个式子的正误，依据二次根式的化简规则、乘除运算法则，同时注意被开方数非负的隐含条件，判断每个式子计算是否正确，最终找出做错的题目。
【解析】
我们逐一分析4道题：
① $\sqrt{16a^4}=\sqrt{(4a^2)^2}$，因为$a^2≥0$，所以开方后结果为$4a^2$，①计算正确；
② 根据二次根式乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$），$\sqrt{5a}·\sqrt{10a}=\sqrt{5a·10a}=\sqrt{50a^2}$，由题意被开方数有意义可知$a＞0$，所以$\sqrt{50a^2}=5\sqrt{2}a$，②计算正确；
③ 式子有意义则$\frac{1}{a}＞0$即$a＞0$，可将$a$变形为$\sqrt{a^2}$移入根号内，得$a\sqrt{\frac{1}{a}}=\sqrt{a^2·\frac{1}{a}}=\sqrt{a}$，③计算正确；
④ 根据二次根式除法法则$\sqrt{m}÷\sqrt{n}=\sqrt{\frac{m}{n}}$（$m≥0,n＞0$），$\sqrt{8a}÷\sqrt{2a}=\sqrt{\frac{8a}{2a}}=\sqrt{4}=2≠4$，④计算错误。
因此做错的题是④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式乘法运算；二次根式除法运算
【点评】
本题侧重考查二次根式的基础运算，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则，同时要注意运算中被开方数的隐含取值范围，避免忽略取值范围导致判断失误。
【难度系数】
0.8
3. 如果最简二次根式$\sqrt[b-a]{3b}$和$\sqrt{2b - a + 2}$可以合并，那么$a,b$的值为（
A.$a=1,b=-2$
B.$a=-1,b=1$
C.$a=2,b=0$
D.$a=0,b=2$
D
）A.$a=1,b=-2$
B.$a=-1,b=1$
C.$a=2,b=0$
D.$a=0,b=2$
答案
3.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确两个最简二次根式可以合并的前提是二者为同类二次根式，同类二次根式需要满足两个核心条件：一是根指数均为2（二次根式的根指数为2），二是被开方数相等。根据这两个条件可以列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到a、b的值，也可通过代入选项逐一验证排除错误答案，同时要注意二次根式被开方数必须为非负数的隐含要求。
【解析】
解：
∵ 最简二次根式$\sqrt[b-a]{3b}$和$\sqrt{2b - a + 2}$可以合并
∴ 二者是同类二次根式，满足以下条件：
1. 根指数为2：$b - a = 2$ ①
2. 被开方数相等：$3b = 2b - a + 2$ ②
整理②式可得：$b + a = 2$ ③
联立①③，将两个方程相加：$(b - a) + (b + a) = 2 + 2$
化简得$2b=4$，解得$b=2$
把$b=2$代入③式，得$2+a=2$，解得$a=0$
验证：当$a=0,b=2$时，两个根式分别为$\sqrt{6}$和$\sqrt{6}$，均为最简二次根式且可以合并，符合题意。
也可代入选项排除：
A选项：$b=-2$时$3b=-6＜0$，二次根式无意义，排除；
B选项：代入得两个根式为$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$，被开方数不同，不能合并，排除；
C选项：根指数$b-a=-2$，不符合二次根式根指数为2的要求，排除；
故选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式、最简二次根式、二元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查同类二次根式的判定，解题关键是掌握可合并的最简二次根式“根指数相同、被开方数相等”的特征，解题时可灵活选用直接计算法或代入排除法，同时要注意二次根式被开方数非负的隐含限制。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确两个最简二次根式可以合并的前提是二者为同类二次根式，同类二次根式需要满足两个核心条件：一是根指数均为2（二次根式的根指数为2），二是被开方数相等。根据这两个条件可以列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到a、b的值，也可通过代入选项逐一验证排除错误答案，同时要注意二次根式被开方数必须为非负数的隐含要求。
【解析】
解：
∵ 最简二次根式$\sqrt[b-a]{3b}$和$\sqrt{2b - a + 2}$可以合并
∴ 二者是同类二次根式，满足以下条件：
1. 根指数为2：$b - a = 2$ ①
2. 被开方数相等：$3b = 2b - a + 2$ ②
整理②式可得：$b + a = 2$ ③
联立①③，将两个方程相加：$(b - a) + (b + a) = 2 + 2$
化简得$2b=4$，解得$b=2$
把$b=2$代入③式，得$2+a=2$，解得$a=0$
验证：当$a=0,b=2$时，两个根式分别为$\sqrt{6}$和$\sqrt{6}$，均为最简二次根式且可以合并，符合题意。
也可代入选项排除：
A选项：$b=-2$时$3b=-6＜0$，二次根式无意义，排除；
B选项：代入得两个根式为$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$，被开方数不同，不能合并，排除；
C选项：根指数$b-a=-2$，不符合二次根式根指数为2的要求，排除；
故选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式、最简二次根式、二元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查同类二次根式的判定，解题关键是掌握可合并的最简二次根式“根指数相同、被开方数相等”的特征，解题时可灵活选用直接计算法或代入排除法，同时要注意二次根式被开方数非负的隐含限制。
【难度系数】
0.7
4. $\sqrt{10}$的整数部分是$x$，小数部分是$y$，则$y(x+\sqrt{10})$的值是（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先要估算出$\sqrt{10}$的取值范围，以此确定它的整数部分$x$，再根据“小数部分=原数-整数部分”求出小数部分$y$，最后将$x$、$y$代入所求代数式，利用平方差公式简化计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$
由此可得$\sqrt{10}$的整数部分$x=3$，小数部分$y=\sqrt{10}-3$
将$x=3$，$y=\sqrt{10}-3$代入$y(x+\sqrt{10})$得：
原式$=(\sqrt{10}-3)(3+\sqrt{10})$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，此处$a=\sqrt{10}$，$b=3$
$\therefore$原式$=(\sqrt{10})^2-3^2=10-9=1$
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算；平方差公式的应用；二次根式运算
【点评】
本题解题核心是正确估算无理数的取值范围，准确得到无理数的整数部分和小数部分，代入代数式后巧用平方差公式可简化计算，降低运算出错率。
【难度系数】
0.7
解题时首先要估算出$\sqrt{10}$的取值范围，以此确定它的整数部分$x$，再根据“小数部分=原数-整数部分”求出小数部分$y$，最后将$x$、$y$代入所求代数式，利用平方差公式简化计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$
由此可得$\sqrt{10}$的整数部分$x=3$，小数部分$y=\sqrt{10}-3$
将$x=3$，$y=\sqrt{10}-3$代入$y(x+\sqrt{10})$得：
原式$=(\sqrt{10}-3)(3+\sqrt{10})$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，此处$a=\sqrt{10}$，$b=3$
$\therefore$原式$=(\sqrt{10})^2-3^2=10-9=1$
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算；平方差公式的应用；二次根式运算
【点评】
本题解题核心是正确估算无理数的取值范围，准确得到无理数的整数部分和小数部分，代入代数式后巧用平方差公式可简化计算，降低运算出错率。
【难度系数】
0.7
5. 已知$x\sqrt{\dfrac{2}{x}} + 2\sqrt{\dfrac{x}{2}} + \sqrt{18x}=10$，则$x$的值为（
A.4
B.$\pm2$
C.2
D.$\pm4$
C
）A.4
B.$\pm2$
C.2
D.$\pm4$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先要考虑二次根式有意义的隐含条件：根号下的被开方数为非负数且分母不为0，先确定x的取值范围，排除不符合的选项；再将左侧的每一项二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后得到关于x的方程，解方程即可求出x的值，最后可代入检验是否符合原式。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使原式中二次根式有意义，需满足$\frac{2}{x}＞0$且$\frac{x}{2}＞0$，解得$x＞0$，因此包含负数的选项B、D直接排除。
第二步：化简左侧各项二次根式
① $x\sqrt{\frac{2}{x}}=x·\frac{\sqrt{2x}}{x}=\sqrt{2x}$（分母有理化后约去x）
② $2\sqrt{\frac{x}{2}}=2·\frac{\sqrt{2x}}{2}=\sqrt{2x}$（化简后约去2）
③ $\sqrt{18x}=\sqrt{9×2x}=3\sqrt{2x}$（提取开得尽方的因数9）
第三步：合并同类二次根式并解方程
左侧合并得：$\sqrt{2x}+\sqrt{2x}+3\sqrt{2x}=5\sqrt{2x}$
由题意得$5\sqrt{2x}=10$，两边同时除以5得$\sqrt{2x}=2$
两边同时平方得$2x=4$，解得$x=2$
代入原式检验，左侧等于10，与右侧相等，结果成立。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型考题，解题时优先利用二次根式的隐含取值范围排除错误选项，可降低解题难度，再通过化简合并同类二次根式即可顺利求解，注意计算完后代入检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先要考虑二次根式有意义的隐含条件：根号下的被开方数为非负数且分母不为0，先确定x的取值范围，排除不符合的选项；再将左侧的每一项二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后得到关于x的方程，解方程即可求出x的值，最后可代入检验是否符合原式。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使原式中二次根式有意义，需满足$\frac{2}{x}＞0$且$\frac{x}{2}＞0$，解得$x＞0$，因此包含负数的选项B、D直接排除。
第二步：化简左侧各项二次根式
① $x\sqrt{\frac{2}{x}}=x·\frac{\sqrt{2x}}{x}=\sqrt{2x}$（分母有理化后约去x）
② $2\sqrt{\frac{x}{2}}=2·\frac{\sqrt{2x}}{2}=\sqrt{2x}$（化简后约去2）
③ $\sqrt{18x}=\sqrt{9×2x}=3\sqrt{2x}$（提取开得尽方的因数9）
第三步：合并同类二次根式并解方程
左侧合并得：$\sqrt{2x}+\sqrt{2x}+3\sqrt{2x}=5\sqrt{2x}$
由题意得$5\sqrt{2x}=10$，两边同时除以5得$\sqrt{2x}=2$
两边同时平方得$2x=4$，解得$x=2$
代入原式检验，左侧等于10，与右侧相等，结果成立。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型考题，解题时优先利用二次根式的隐含取值范围排除错误选项，可降低解题难度，再通过化简合并同类二次根式即可顺利求解，注意计算完后代入检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
6. [2026厦门期中] 小明做数学题时，发现$\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$；$\sqrt{2-\frac{2}{5}}=2\sqrt{\frac{2}{5}}$；$\sqrt{3-\frac{3}{10}}=3\sqrt{\frac{3}{10}}$；$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=4\sqrt{\frac{4}{17}}$；….按此规律，若$\sqrt{a-\frac{8}{b}}=a\sqrt{\frac{8}{b}}$（$a,b$为正整数），则$a+b=$（
A.64
B.72
C.65
D.73
D
）A.64
B.72
C.65
D.73
答案
6.D
解析
【分析】
解决本题的核心是先观察已知的4个二次根式等式，总结通用规律：观察每个等式中根号内的整数、分数的分子、分数的分母的对应关系，可知当根号内整数为n时，分数的分子也为n，分母为n²+1，等式符合$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$，再将题干中的式子和规律对应，求出a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
观察已知等式，总结规律：
当n=1时，$\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{1^2+1}}=1×\sqrt{\frac{1}{1^2+1}}$，成立；
当n=2时，$\sqrt{2-\frac{2}{5}}=\sqrt{2-\frac{2}{2^2+1}}=2×\sqrt{\frac{2}{2^2+1}}$，成立；
当n=3时，$\sqrt{3-\frac{3}{10}}=\sqrt{3-\frac{3}{3^2+1}}=3×\sqrt{\frac{3}{3^2+1}}$，成立；
当n=4时，$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=\sqrt{4-\frac{4}{4^2+1}}=4×\sqrt{\frac{4}{4^2+1}}$，成立；
因此可得通用规律：对于正整数n，有$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$。
对比题干$\sqrt{a-\frac{8}{b}}=a\sqrt{\frac{8}{b}}$，可得$n=a=8$，代入分母公式得$b=a^2+1=8^2+1=65$。
因此$a+b=8+65=73$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，数字规律探究
【点评】
本题是典型的规律探索类题目，解题关键是从特殊的等式中归纳出通用的数量关系，侧重考查学生的观察、归纳能力以及对二次根式变形的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先观察已知的4个二次根式等式，总结通用规律：观察每个等式中根号内的整数、分数的分子、分数的分母的对应关系，可知当根号内整数为n时，分数的分子也为n，分母为n²+1，等式符合$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$，再将题干中的式子和规律对应，求出a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
观察已知等式，总结规律：
当n=1时，$\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{1^2+1}}=1×\sqrt{\frac{1}{1^2+1}}$，成立；
当n=2时，$\sqrt{2-\frac{2}{5}}=\sqrt{2-\frac{2}{2^2+1}}=2×\sqrt{\frac{2}{2^2+1}}$，成立；
当n=3时，$\sqrt{3-\frac{3}{10}}=\sqrt{3-\frac{3}{3^2+1}}=3×\sqrt{\frac{3}{3^2+1}}$，成立；
当n=4时，$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=\sqrt{4-\frac{4}{4^2+1}}=4×\sqrt{\frac{4}{4^2+1}}$，成立；
因此可得通用规律：对于正整数n，有$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$。
对比题干$\sqrt{a-\frac{8}{b}}=a\sqrt{\frac{8}{b}}$，可得$n=a=8$，代入分母公式得$b=a^2+1=8^2+1=65$。
因此$a+b=8+65=73$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，数字规律探究
【点评】
本题是典型的规律探索类题目，解题关键是从特殊的等式中归纳出通用的数量关系，侧重考查学生的观察、归纳能力以及对二次根式变形的掌握程度。
【难度系数】
0.7
7. ★★[武汉二中自主招生]化简$\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} + \sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$的结果是（
A.$6$
B.$\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
D
）A.$6$
B.$\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
7.D 【点拨】$\sqrt{6-3\sqrt{3}}+\sqrt{6+3\sqrt{3}}$
$=\sqrt{\dfrac{12-6\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{\dfrac{12+6\sqrt{3}}{2}}$
$=\sqrt{\dfrac{9+3-6\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{\dfrac{9+3+6\sqrt{3}}{2}}$
$=\sqrt{\dfrac{3^2-2×3×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{3^2+2×3×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{2}}$
$=\sqrt{\dfrac{(3-\sqrt{3})^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{(3+\sqrt{3})^2}{2}}$
$=\dfrac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$,故选D.
$=\sqrt{\dfrac{12-6\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{\dfrac{12+6\sqrt{3}}{2}}$
$=\sqrt{\dfrac{9+3-6\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{\dfrac{9+3+6\sqrt{3}}{2}}$
$=\sqrt{\dfrac{3^2-2×3×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{3^2+2×3×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{2}}$
$=\sqrt{\dfrac{(3-\sqrt{3})^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{(3+\sqrt{3})^2}{2}}$
$=\dfrac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$,故选D.
解析
【分析】
遇到双重二次根式的加减运算，直接开方无法计算时，可先将根号内的代数式变形，凑出完全平方形式，再利用二次根式的性质化简。本题中观察根号内的式子$6\pm3\sqrt{3}$，为了得到完全平方公式中的交叉项$2ab$，可先将根号内的式子分子分母同乘2，再把常数项拆分为两个平方数的和，即可凑成完全平方，后续再开方、合并化简即可。
【解析】
$\begin{aligned}&\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} + \sqrt{6 + 3\sqrt{3}}\\=&\sqrt{\dfrac{12-6\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{\dfrac{12+6\sqrt{3}}{2}}\\=&\sqrt{\dfrac{3^2 - 2×3×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{3^2 + 2×3×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{2}}\\=&\sqrt{\dfrac{(3-\sqrt{3})^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{(3+\sqrt{3})^2}{2}}\\=&\dfrac{|3-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}+\dfrac{|3+\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}\end{aligned}$
因为$3-\sqrt{3}＞0$，$3+\sqrt{3}＞0$，所以：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\&=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、完全平方公式、二次根式的性质
【点评】
本题是双重二次根式化简的典型题型，解题核心是将根号内的式子凑配成完全平方形式，也可通过先对原式平方再开方的方法求解，两种方法都需要注意二次根式的结果为非负数，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
遇到双重二次根式的加减运算，直接开方无法计算时，可先将根号内的代数式变形，凑出完全平方形式，再利用二次根式的性质化简。本题中观察根号内的式子$6\pm3\sqrt{3}$，为了得到完全平方公式中的交叉项$2ab$，可先将根号内的式子分子分母同乘2，再把常数项拆分为两个平方数的和，即可凑成完全平方，后续再开方、合并化简即可。
【解析】
$\begin{aligned}&\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} + \sqrt{6 + 3\sqrt{3}}\\=&\sqrt{\dfrac{12-6\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{\dfrac{12+6\sqrt{3}}{2}}\\=&\sqrt{\dfrac{3^2 - 2×3×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{3^2 + 2×3×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{2}}\\=&\sqrt{\dfrac{(3-\sqrt{3})^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{(3+\sqrt{3})^2}{2}}\\=&\dfrac{|3-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}+\dfrac{|3+\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}\end{aligned}$
因为$3-\sqrt{3}＞0$，$3+\sqrt{3}＞0$，所以：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\&=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、完全平方公式、二次根式的性质
【点评】
本题是双重二次根式化简的典型题型，解题核心是将根号内的式子凑配成完全平方形式，也可通过先对原式平方再开方的方法求解，两种方法都需要注意二次根式的结果为非负数，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
8. 如图,方格纸中小正方形的边长为1,$△ ABC$的三个顶点都在小正方形的格点上,某同学在观察探究时发现:①$△ ABC$的形状是等腰三角形;②$△ ABC$的周长是$2\sqrt{10}+\sqrt{2}$;③点C到AB边的距离是$\frac{4}{5}\sqrt{10}$.你认为该同学观察的结论正确的序号是 (
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
)A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
8.B 【点拨】因为方格纸中小正方形的边长为1,$△ABC$的三个顶点都在小正方形的格点上,所以$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.所以$AB=BC$.所以$△ABC$是等腰三角形,故①的结论正确.因为$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,所以$△ABC$的周长为$AB+BC+AC=\sqrt{10}+\sqrt{10}+2\sqrt{2}=2\sqrt{10}+2\sqrt{2}$,故②的结论错误.因为$S_{△ ABC}=3^2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×3=9-\frac{3}{2}-2-\frac{3}{2}=4$,所以点$C$到$AB$边的距离为$2×4÷\sqrt{10}=\frac{4}{5}\sqrt{10}$,故③的结论正确.
解析
【分析】
要判断三个结论是否正确，我们可以按以下步骤思考：首先，格点中求线段长度可借助勾股定理，先计算△ABC三边的长度，即可判断是否为等腰三角形，同时也能计算周长验证结论②；其次，求点C到AB的距离即AB边上的高，可先用割补法算出△ABC的面积，再结合三角形面积公式反推高的长度，验证结论③。
【解析】
设方格纸中小正方形的边长为1：
1. 验证结论①：
由勾股定理得，$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，所以$AB=BC$，因此$△ ABC$是等腰三角形，结论①正确。
2. 验证结论②：
同理可得$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，因此$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=\sqrt{10}+\sqrt{10}+2\sqrt{2}=2\sqrt{10}+2\sqrt{2}$，和结论②中的$2\sqrt{10}+\sqrt{2}$不符，结论②错误。
3. 验证结论③：
用割补法求$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=3^2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×3=9-\frac{3}{2}-2-\frac{3}{2}=4$。
设点C到AB边的距离为$h$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×h$，代入数据得$4=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×h$，解得$h=\frac{8}{\sqrt{10}}=\frac{4}{5}\sqrt{10}$，结论③正确。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，割补法求面积，等腰三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形的综合计算题，解题核心是熟练运用勾股定理计算格点线段长度，掌握割补法求不规则图形面积的方法，结合面积法求解三角形的高，计算时要注意二次根式的化简，避免周长计算等低级错误。
【难度系数】
0.7
要判断三个结论是否正确，我们可以按以下步骤思考：首先，格点中求线段长度可借助勾股定理，先计算△ABC三边的长度，即可判断是否为等腰三角形，同时也能计算周长验证结论②；其次，求点C到AB的距离即AB边上的高，可先用割补法算出△ABC的面积，再结合三角形面积公式反推高的长度，验证结论③。
【解析】
设方格纸中小正方形的边长为1：
1. 验证结论①：
由勾股定理得，$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，所以$AB=BC$，因此$△ ABC$是等腰三角形，结论①正确。
2. 验证结论②：
同理可得$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，因此$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=\sqrt{10}+\sqrt{10}+2\sqrt{2}=2\sqrt{10}+2\sqrt{2}$，和结论②中的$2\sqrt{10}+\sqrt{2}$不符，结论②错误。
3. 验证结论③：
用割补法求$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=3^2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×3=9-\frac{3}{2}-2-\frac{3}{2}=4$。
设点C到AB边的距离为$h$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×h$，代入数据得$4=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×h$，解得$h=\frac{8}{\sqrt{10}}=\frac{4}{5}\sqrt{10}$，结论③正确。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，割补法求面积，等腰三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形的综合计算题，解题核心是熟练运用勾股定理计算格点线段长度，掌握割补法求不规则图形面积的方法，结合面积法求解三角形的高，计算时要注意二次根式的化简，避免周长计算等低级错误。
【难度系数】
0.7
9. 实数$a,b,c$在数轴上的对应点
，则化简$\sqrt{(a-c)^2} - |b-a|$的结果是
，则化简$\sqrt{(a-c)^2} - |b-a|$的结果是$b-c$
。答案
9.$b-c$
解析
【分析】
首先观察数轴，根据“数轴上右边的数总大于左边的数”，可得$c＜b＜0＜a$，由此判断待化简式中各部分的符号：$a-c$是正数减负数，结果为正；$b-a$是负数减正数，结果为负。再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，以及绝对值的代数意义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），逐步去根号、去绝对值，合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，
$\therefore a - c ＞ 0$，$b - a ＜ 0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|a - c| - |b - a|$
根据绝对值的性质去绝对值：
$= (a - c) - (a - b)$
去括号、合并同类项：
$= a - c - a + b$
$= b - c$
【答案】
$b-c$
【知识点】
数轴与实数大小比较；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题考查二次根式与绝对值的化简，解题的关键是结合数轴准确判断出绝对值内代数式的正负，去绝对值时注意符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴，根据“数轴上右边的数总大于左边的数”，可得$c＜b＜0＜a$，由此判断待化简式中各部分的符号：$a-c$是正数减负数，结果为正；$b-a$是负数减正数，结果为负。再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，以及绝对值的代数意义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），逐步去根号、去绝对值，合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，
$\therefore a - c ＞ 0$，$b - a ＜ 0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|a - c| - |b - a|$
根据绝对值的性质去绝对值：
$= (a - c) - (a - b)$
去括号、合并同类项：
$= a - c - a + b$
$= b - c$
【答案】
$b-c$
【知识点】
数轴与实数大小比较；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题考查二次根式与绝对值的化简，解题的关键是结合数轴准确判断出绝对值内代数式的正负，去绝对值时注意符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.7
10. 新题型新定义题 对于任意两个和为正数的实数$a,b$，定义运算“※”如下：$a※b=\dfrac{a-b}{\sqrt{a+b}}$，例如$3※1=\dfrac{3-1}{\sqrt{3+1}}=1$。那么$8※12=$______。
答案
10.$-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
本题为新定义运算类题目，解题思路如下：首先明确题目给定的“※”运算规则：仅当两个实数和为正数时，$a※b=\dfrac{a-b}{\sqrt{a+b}}$；第一步先确定本次运算中对应$a=8$，$b=12$，验证$a+b=20＞0$满足运算前提；第二步将数值代入运算公式，最后按照二次根式的运算规则化简结果，注意需将结果化为最简二次根式，进行分母有理化即可。
【解析】
根据题中定义的运算规则，$a=8$，$b=12$，且$8+12=20＞0$，符合运算条件：
$\begin{aligned}8※12&=\frac{8-12}{\sqrt{8+12}}\\&=\frac{-4}{\sqrt{20}}\\&=\frac{-4}{2\sqrt{5}}\\&=\frac{-2}{\sqrt{5}}\\&=\frac{-2×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}\\&=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
新定义运算；二次根式化简；分母有理化
【点评】
本题属于基础类创新题型，核心是准确理解给定的运算规则，代入数值后熟练运用二次根式的化简方法即可求解，需注意最终结果要化为最简二次根式，不能保留分母带根号的形式。
【难度系数】
0.7
本题为新定义运算类题目，解题思路如下：首先明确题目给定的“※”运算规则：仅当两个实数和为正数时，$a※b=\dfrac{a-b}{\sqrt{a+b}}$；第一步先确定本次运算中对应$a=8$，$b=12$，验证$a+b=20＞0$满足运算前提；第二步将数值代入运算公式，最后按照二次根式的运算规则化简结果，注意需将结果化为最简二次根式，进行分母有理化即可。
【解析】
根据题中定义的运算规则，$a=8$，$b=12$，且$8+12=20＞0$，符合运算条件：
$\begin{aligned}8※12&=\frac{8-12}{\sqrt{8+12}}\\&=\frac{-4}{\sqrt{20}}\\&=\frac{-4}{2\sqrt{5}}\\&=\frac{-2}{\sqrt{5}}\\&=\frac{-2×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}\\&=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
新定义运算；二次根式化简；分母有理化
【点评】
本题属于基础类创新题型，核心是准确理解给定的运算规则，代入数值后熟练运用二次根式的化简方法即可求解，需注意最终结果要化为最简二次根式，不能保留分母带根号的形式。
【难度系数】
0.7
11. 新考法整体代入法 已知$x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$，$y=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$，则代数式$3x^2 -5xy +3y^2$的值是
$181$
。答案
11. 181 【点拨】因为$x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{5+3-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}$，$y=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{5+3+2\sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15}$，所以$x-y=(4-\sqrt{15})-(4+\sqrt{15})=-2\sqrt{15}$，$xy=1$，所以$3x^2-5xy+3y^2=3x^2-6xy+3y^2+xy=3(x-y)^2+xy=3×(-2\sqrt{15})^2+1=180+1=181$。
解析
【分析】
这是二次根式背景下的代数式求值题，若直接将x、y代入原式计算，运算量极大易出错。解题思路为：第一步先对x、y做分母有理化，得到化简后的x、y；第二步优先计算更简便的x-y和xy的值；第三步利用完全平方公式对所求代数式变形，将其转化为含$(x-y)^2$和$xy$的形式，最后整体代入计算即可，能大幅降低计算难度。
【解析】
1. 分母有理化化简x、y：
对x化简：
$x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{5+3-2\sqrt{15}}{5-3}=4-\sqrt{15}$
对y化简：
$y=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{5+3+2\sqrt{15}}{5-3}=4+\sqrt{15}$
2. 计算$x-y$和$xy$的值：
$x-y=(4-\sqrt{15})-(4+\sqrt{15})=-2\sqrt{15}$
$xy=(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})=4^2-(\sqrt{15})^2=16-15=1$
3. 变形所求代数式并代入计算：
$3x^2-5xy+3y^2=3(x^2+y^2)-5xy=3[(x-y)^2+2xy]-5xy=3(x-y)^2+xy$
代入数值得：
原式$=3×(-2\sqrt{15})^2 +1=3×60+1=181$
【答案】
181
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题核心是运用整体代入思想简化运算，通过先化简二次根式、再变形所求代数式的方式，规避了直接代入二次根式做高次运算的繁琐，是二次根式运算类题目的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
这是二次根式背景下的代数式求值题，若直接将x、y代入原式计算，运算量极大易出错。解题思路为：第一步先对x、y做分母有理化，得到化简后的x、y；第二步优先计算更简便的x-y和xy的值；第三步利用完全平方公式对所求代数式变形，将其转化为含$(x-y)^2$和$xy$的形式，最后整体代入计算即可，能大幅降低计算难度。
【解析】
1. 分母有理化化简x、y：
对x化简：
$x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{5+3-2\sqrt{15}}{5-3}=4-\sqrt{15}$
对y化简：
$y=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{5+3+2\sqrt{15}}{5-3}=4+\sqrt{15}$
2. 计算$x-y$和$xy$的值：
$x-y=(4-\sqrt{15})-(4+\sqrt{15})=-2\sqrt{15}$
$xy=(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})=4^2-(\sqrt{15})^2=16-15=1$
3. 变形所求代数式并代入计算：
$3x^2-5xy+3y^2=3(x^2+y^2)-5xy=3[(x-y)^2+2xy]-5xy=3(x-y)^2+xy$
代入数值得：
原式$=3×(-2\sqrt{15})^2 +1=3×60+1=181$
【答案】
181
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题核心是运用整体代入思想简化运算，通过先化简二次根式、再变形所求代数式的方式，规避了直接代入二次根式做高次运算的繁琐，是二次根式运算类题目的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
12. ★★ [深圳中学自主招生] 已知 $ x, y $ 为正整数，
$ x\sqrt{y} + y\sqrt{x} - \sqrt{7x} - \sqrt{7y} + \sqrt{7xy} = 7 $，则
$ x + y = \_\_\_\_\_\_ $
$ x\sqrt{y} + y\sqrt{x} - \sqrt{7x} - \sqrt{7y} + \sqrt{7xy} = 7 $，则
$ x + y = \_\_\_\_\_\_ $
答案
12. 8 【点拨】因为$x\sqrt{y}+y\sqrt{x}-\sqrt{7x}-\sqrt{7y}+\sqrt{7xy}=7$，所以$x\sqrt{y}+y\sqrt{x}-\sqrt{7x}-\sqrt{7y}+\sqrt{7xy}-7=0$。所以$\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})-\sqrt{7}(\sqrt{x}+\sqrt{y})+\sqrt{7}(\sqrt{xy}-\sqrt{7})=0$。所以$(\sqrt{x}+\sqrt{y})·(\sqrt{xy}-\sqrt{7})+\sqrt{7}(\sqrt{xy}-\sqrt{7})=0$。所以$(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{7})(\sqrt{xy}-\sqrt{7})=0$。易得$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{7}≠0$。所以$\sqrt{xy}-\sqrt{7}=0$，所以$xy=7$。又因为$x,y$为正整数，所以$x+y=8$。
解析
【分析】
首先观察等式左侧的各项，可利用二次根式的性质将含x、y的根式项变形，提取公因式对等式左侧进行因式分解，得到两个因式乘积为0的形式。由于x、y是正整数，因式$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{7}$恒为正数，因此只能另一个因式为0，从而得到xy的取值，再结合正整数的条件求出x和y的值，最后计算x+y即可。
【解析】
已知$x\sqrt{y} + y\sqrt{x} - \sqrt{7x} - \sqrt{7y} + \sqrt{7xy} = 7$，移项得：
$x\sqrt{y} + y\sqrt{x} - \sqrt{7x} - \sqrt{7y} + \sqrt{7xy} -7= 0$
根据二次根式性质，$x\sqrt{y}=\sqrt{xy}·\sqrt{x}$，$y\sqrt{x}=\sqrt{xy}·\sqrt{y}$，代入后分组提取公因式：
$\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})-\sqrt{7}(\sqrt{x}+\sqrt{y})+\sqrt{7}(\sqrt{xy}-\sqrt{7})=0$
再次提取公因式$\sqrt{xy}-\sqrt{7}$得：
$(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{7})(\sqrt{xy}-\sqrt{7})=0$
∵x、y为正整数，
∴$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{7}＞0$，不可能为0
因此$\sqrt{xy}-\sqrt{7}=0$，平方得$xy=7$
∵7是质数，正整数解为$\begin{cases}x=1\\y=7\end{cases}$或$\begin{cases}x=7\\y=1\end{cases}$
∴$x+y=1+7=8$
【答案】
8
【知识点】
二次根式运算，因式分解，正整数性质
【点评】
本题将二次根式运算与因式分解相结合，解题关键是对二次根式合理变形后提取公因式分解因式，再结合正整数的限制条件求解，能较好地考察代数式变形的综合能力。
【难度系数】
0.3
首先观察等式左侧的各项，可利用二次根式的性质将含x、y的根式项变形，提取公因式对等式左侧进行因式分解，得到两个因式乘积为0的形式。由于x、y是正整数，因式$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{7}$恒为正数，因此只能另一个因式为0，从而得到xy的取值，再结合正整数的条件求出x和y的值，最后计算x+y即可。
【解析】
已知$x\sqrt{y} + y\sqrt{x} - \sqrt{7x} - \sqrt{7y} + \sqrt{7xy} = 7$，移项得：
$x\sqrt{y} + y\sqrt{x} - \sqrt{7x} - \sqrt{7y} + \sqrt{7xy} -7= 0$
根据二次根式性质，$x\sqrt{y}=\sqrt{xy}·\sqrt{x}$，$y\sqrt{x}=\sqrt{xy}·\sqrt{y}$，代入后分组提取公因式：
$\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})-\sqrt{7}(\sqrt{x}+\sqrt{y})+\sqrt{7}(\sqrt{xy}-\sqrt{7})=0$
再次提取公因式$\sqrt{xy}-\sqrt{7}$得：
$(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{7})(\sqrt{xy}-\sqrt{7})=0$
∵x、y为正整数，
∴$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{7}＞0$，不可能为0
因此$\sqrt{xy}-\sqrt{7}=0$，平方得$xy=7$
∵7是质数，正整数解为$\begin{cases}x=1\\y=7\end{cases}$或$\begin{cases}x=7\\y=1\end{cases}$
∴$x+y=1+7=8$
【答案】
8
【知识点】
二次根式运算，因式分解，正整数性质
【点评】
本题将二次根式运算与因式分解相结合，解题关键是对二次根式合理变形后提取公因式分解因式，再结合正整数的限制条件求解，能较好地考察代数式变形的综合能力。
【难度系数】
0.3
三、解答题(共44分)
13. (12分)母题教材$P_{49}$复习题$T_4$ 计算：
(1)$(-3)^0 + \sqrt{8} + (-3)^2 - 4 × \frac{\sqrt{2}}{2}$；
(2)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(3)$(3 + 2\sqrt{5})^2 - (4 + \sqrt{5})(4 - \sqrt{5})$。
13. (12分)母题教材$P_{49}$复习题$T_4$ 计算：
(1)$(-3)^0 + \sqrt{8} + (-3)^2 - 4 × \frac{\sqrt{2}}{2}$；
(2)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(3)$(3 + 2\sqrt{5})^2 - (4 + \sqrt{5})(4 - \sqrt{5})$。
答案
13. 【解】(1)原式$=1+2\sqrt{2}+9-2\sqrt{2}=10$。
(2)原式$=4\sqrt{3}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}×12}+2\sqrt{6}=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$。
(3)原式$=9+12\sqrt{5}+20-(16-5)=29+12\sqrt{5}-11=18+12\sqrt{5}$。
(2)原式$=4\sqrt{3}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}×12}+2\sqrt{6}=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$。
(3)原式$=9+12\sqrt{5}+20-(16-5)=29+12\sqrt{5}-11=18+12\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，能运用乘法公式的可优先用公式简化计算：
(1)先分别计算零指数幂、二次根式化简、平方运算、二次根式乘法，再合并同类项和同类二次根式即可；
(2)先按照二次根式乘除运算法则计算乘除部分，再化简二次根式，最后合并同类二次根式；
(3)分别用完全平方公式计算第一个乘方，用平方差公式计算第二个乘积，再去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算各部分的值：
非零数的0次幂为1，故$(-3)^0=1$；化简二次根式得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；平方运算得$(-3)^2=9$；计算乘法得$4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
代入原式得：
原式$=1+2\sqrt{2}+9-2\sqrt{2}=10$
(2) 按照二次根式乘除法则计算：
$\sqrt{48}÷\sqrt{3}=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{2}×12}=\sqrt{6}$，化简得$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
代入原式得：
原式$=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$
(3) 运用乘法公式展开计算：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$(3+2\sqrt{5})^2=3^2+2×3×2\sqrt{5}+(2\sqrt{5})^2=9+12\sqrt{5}+20=29+12\sqrt{5}$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})=4^2-(\sqrt{5})^2=16-5=11$
代入原式得：
原式$=29+12\sqrt{5}-11=18+12\sqrt{5}$
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{4+\sqrt{6}}$；(3) $\boxed{18+12\sqrt{5}}$
【知识点】
零指数幂运算；二次根式混合运算；乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，重点考查运算顺序、二次根式化简规则及乘法公式的灵活运用，计算时注意先化简二次根式再合并，合理运用公式可简化计算步骤、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，能运用乘法公式的可优先用公式简化计算：
(1)先分别计算零指数幂、二次根式化简、平方运算、二次根式乘法，再合并同类项和同类二次根式即可；
(2)先按照二次根式乘除运算法则计算乘除部分，再化简二次根式，最后合并同类二次根式；
(3)分别用完全平方公式计算第一个乘方，用平方差公式计算第二个乘积，再去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算各部分的值：
非零数的0次幂为1，故$(-3)^0=1$；化简二次根式得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；平方运算得$(-3)^2=9$；计算乘法得$4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
代入原式得：
原式$=1+2\sqrt{2}+9-2\sqrt{2}=10$
(2) 按照二次根式乘除法则计算：
$\sqrt{48}÷\sqrt{3}=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{2}×12}=\sqrt{6}$，化简得$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
代入原式得：
原式$=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$
(3) 运用乘法公式展开计算：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$(3+2\sqrt{5})^2=3^2+2×3×2\sqrt{5}+(2\sqrt{5})^2=9+12\sqrt{5}+20=29+12\sqrt{5}$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})=4^2-(\sqrt{5})^2=16-5=11$
代入原式得：
原式$=29+12\sqrt{5}-11=18+12\sqrt{5}$
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{4+\sqrt{6}}$；(3) $\boxed{18+12\sqrt{5}}$
【知识点】
零指数幂运算；二次根式混合运算；乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，重点考查运算顺序、二次根式化简规则及乘法公式的灵活运用，计算时注意先化简二次根式再合并，合理运用公式可简化计算步骤、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
