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5. 数学文化 九章算术 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱（如图），在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处绳索用尽（绳索头与地面接触）.问绳索的长是多少尺？
答案
5. 【解】设绳索 AC 的长为 x 尺,则木柱 AB 的长为(x-3)尺.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理得 $AC^2 - AB^2 = BC^2$ ,
即 $x^2 - (x-3)^2 = 8^2$ ,解得 $x=\frac{73}{6}$ .
所以绳索的长是 $\frac{73}{6}$ 尺.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理得 $AC^2 - AB^2 = BC^2$ ,
即 $x^2 - (x-3)^2 = 8^2$ ,解得 $x=\frac{73}{6}$ .
所以绳索的长是 $\frac{73}{6}$ 尺.
解析
【分析】
本题是结合古代数学文化的几何应用问题，首先要将实际场景转化为直角三角形模型：木柱AB垂直于地面BC，△ABC为直角三角形。已知绳索AC比木柱AB长3尺，BC长度为8尺，我们可以设绳索长度为未知数，用未知数表示木柱AB的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为$(x-3)$尺。
由题意得$∠ B=90°$，$△ ABC$是直角三角形，根据勾股定理可得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$，即$AC^2 - AB^2 = BC^2$
代入边长数据列方程：
$x^2 - (x-3)^2 = 8^2$
展开并化简方程：
$x^2 - (x^2 - 6x + 9) = 64$
$6x - 9 = 64$
$6x = 73$
解得$x=\frac{73}{6}$
【答案】
$\frac{73}{6}$尺
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；实际问题建模
【点评】
本题以我国古代数学经典著作的问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题关键是梳理清楚各条边的数量关系，正确建立方程求解，能够有效锻炼学生的数学建模能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是结合古代数学文化的几何应用问题，首先要将实际场景转化为直角三角形模型：木柱AB垂直于地面BC，△ABC为直角三角形。已知绳索AC比木柱AB长3尺，BC长度为8尺，我们可以设绳索长度为未知数，用未知数表示木柱AB的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为$(x-3)$尺。
由题意得$∠ B=90°$，$△ ABC$是直角三角形，根据勾股定理可得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$，即$AC^2 - AB^2 = BC^2$
代入边长数据列方程：
$x^2 - (x-3)^2 = 8^2$
展开并化简方程：
$x^2 - (x^2 - 6x + 9) = 64$
$6x - 9 = 64$
$6x = 73$
解得$x=\frac{73}{6}$
【答案】
$\frac{73}{6}$尺
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；实际问题建模
【点评】
本题以我国古代数学经典著作的问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题关键是梳理清楚各条边的数量关系，正确建立方程求解，能够有效锻炼学生的数学建模能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
6.如图,一个底面直径为8 cm的圆柱形杯子,在它的正中间竖直放一根筷子,筷子露出杯子外1 cm,当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动),筷子顶端刚好触到杯口,则筷子长度为
8.5
cm. 答案
6. 8.5
解析
【分析】
解题时先明确不变量：筷子总长度、杯子高度、杯子底面半径均为固定值。首先设筷子总长度为$ l $ cm，由竖直放筷子露出1cm，可得杯子高度为$ l-1 $ cm；杯子底面直径8cm，因此底面半径为4cm。筷子斜放时，杯子高度、底面半径、筷子长度刚好构成直角三角形，筷子为斜边，据此利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
设筷子的长度为$ l $ cm。
因为竖直放置筷子时露出杯子外1cm，所以杯子的高度为$ (l-1) $ cm。
杯子底面直径为8cm，因此底面半径为$ 8÷2=4 $ cm。
筷子倒向杯壁时，底端在杯底中心、顶端刚好触到杯口，此时杯子高度、底面半径、筷子长度构成直角三角形，筷子为斜边，根据勾股定理得：
$(l-1)^2 + 4^2 = l^2$
展开并化简：
$l^2 - 2l + 1 + 16 = l^2 \\-2l + 17 = 0$
解得$ l=8.5 $。
【答案】
8.5
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题，圆柱的特征
【点评】
本题属于生活场景类的数学应用题，核心是将实际问题转化为直角三角形模型，解题关键是找准直角三角形各边对应的实际长度，再结合勾股定理建立方程求解，能够锻炼学生的模型转化能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确不变量：筷子总长度、杯子高度、杯子底面半径均为固定值。首先设筷子总长度为$ l $ cm，由竖直放筷子露出1cm，可得杯子高度为$ l-1 $ cm；杯子底面直径8cm，因此底面半径为4cm。筷子斜放时，杯子高度、底面半径、筷子长度刚好构成直角三角形，筷子为斜边，据此利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
设筷子的长度为$ l $ cm。
因为竖直放置筷子时露出杯子外1cm，所以杯子的高度为$ (l-1) $ cm。
杯子底面直径为8cm，因此底面半径为$ 8÷2=4 $ cm。
筷子倒向杯壁时，底端在杯底中心、顶端刚好触到杯口，此时杯子高度、底面半径、筷子长度构成直角三角形，筷子为斜边，根据勾股定理得：
$(l-1)^2 + 4^2 = l^2$
展开并化简：
$l^2 - 2l + 1 + 16 = l^2 \\-2l + 17 = 0$
解得$ l=8.5 $。
【答案】
8.5
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题，圆柱的特征
【点评】
本题属于生活场景类的数学应用题，核心是将实际问题转化为直角三角形模型，解题关键是找准直角三角形各边对应的实际长度，再结合勾股定理建立方程求解，能够锻炼学生的模型转化能力。
【难度系数】
0.7
7. 🀄 母题教材P₁₃例《九章算术》卷九“勾股”中记载：
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？大意是：
如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺.将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE，求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺).
(1)水池的深度OD为
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步地给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a，芦苇高出水面的部分CD=n(n＜a)，则水池的深度OD(OD=b)可以通过公式$b=\frac{a^2 - n^2}{2n}$计算得到.请说明刘徽解法的正确性.
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？大意是：
如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺.将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE，求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺).
(1)水池的深度OD为
12
尺；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步地给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a，芦苇高出水面的部分CD=n(n＜a)，则水池的深度OD(OD=b)可以通过公式$b=\frac{a^2 - n^2}{2n}$计算得到.请说明刘徽解法的正确性.
答案
7. 【解】(1)12
(2)因为 OD=b,CD=n,AB=2a,O 为 AB 的中点,
所以 OC=OE=b+n,DE=OA=a.
在 $\mathrm{Rt}△ ODE$ 中,由勾股定理得 $DE^2 + OD^2 = OE^2$ ,
即 $a^2 + b^2 = (b + n)^2$ ,解得 $b=\frac{a^2 - n^2}{2n}$ .
(2)因为 OD=b,CD=n,AB=2a,O 为 AB 的中点,
所以 OC=OE=b+n,DE=OA=a.
在 $\mathrm{Rt}△ ODE$ 中,由勾股定理得 $DE^2 + OD^2 = OE^2$ ,
即 $a^2 + b^2 = (b + n)^2$ ,解得 $b=\frac{a^2 - n^2}{2n}$ .
解析
【分析】
(1)求解第一问时，先统一单位，根据O是AB中点得到直角三角形的一条直角边长度，设水深为未知数，结合芦苇长度不变表示出斜边长度，在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求解。
(2)验证第二问的公式时，先把各线段用题干给出的字母表示，再在直角三角形中根据勾股定理建立等式，通过整式化简整理即可得到对应公式，验证解法的正确性。
【解析】
(1) 单位换算：1丈=10尺，
∵O是AB的中点，
∴$OA=\frac{1}{2}AB=10÷2=5$尺，即$DE=OA=5$尺。
设水深OD为x尺，由题意可知芦苇长度$OC=OE=(x+1)$尺，
在$\mathrm{Rt}△EDO$中，根据勾股定理得：$DE^2 + OD^2 = OE^2$，
代入数值：$5^2 + x^2 = (x+1)^2$，
展开整理：$25 + x^2 = x^2 + 2x + 1$，
消去$x^2$后解得$x=12$，即水深OD为12尺。
(2) 证明：由题意得$OD=b$，$CD=n$，$AB=2a$，O为AB中点，
∴芦苇总长$OC=OE=OD+CD=b+n$，$DE=OA=\frac{1}{2}AB=a$，
在$\mathrm{Rt}△ODE$中，根据勾股定理得：$DE^2 + OD^2 = OE^2$，
代入字母得：$a^2 + b^2 = (b + n)^2$，
展开右边：$a^2 + b^2 = b^2 + 2bn + n^2$，
移项消去$b^2$得：$a^2 - n^2 = 2bn$，
两边同除以$2n$（$n≠0$）得：$b=\frac{a^2 - n^2}{2n}$，因此刘徽的解法正确。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) 推导如上，公式成立。
【知识点】
勾股定理的应用，列方程解应用题，整式化简
【点评】
本题以古代数学问题为背景，将实际场景转化为直角三角形模型，考查勾股定理的实际应用，解题核心是找准直角三角形各边的数量关系建立等式，既体现了数学的实用性，也渗透了传统数学文化。
【难度系数】
0.7
(1)求解第一问时，先统一单位，根据O是AB中点得到直角三角形的一条直角边长度，设水深为未知数，结合芦苇长度不变表示出斜边长度，在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求解。
(2)验证第二问的公式时，先把各线段用题干给出的字母表示，再在直角三角形中根据勾股定理建立等式，通过整式化简整理即可得到对应公式，验证解法的正确性。
【解析】
(1) 单位换算：1丈=10尺，
∵O是AB的中点，
∴$OA=\frac{1}{2}AB=10÷2=5$尺，即$DE=OA=5$尺。
设水深OD为x尺，由题意可知芦苇长度$OC=OE=(x+1)$尺，
在$\mathrm{Rt}△EDO$中，根据勾股定理得：$DE^2 + OD^2 = OE^2$，
代入数值：$5^2 + x^2 = (x+1)^2$，
展开整理：$25 + x^2 = x^2 + 2x + 1$，
消去$x^2$后解得$x=12$，即水深OD为12尺。
(2) 证明：由题意得$OD=b$，$CD=n$，$AB=2a$，O为AB中点，
∴芦苇总长$OC=OE=OD+CD=b+n$，$DE=OA=\frac{1}{2}AB=a$，
在$\mathrm{Rt}△ODE$中，根据勾股定理得：$DE^2 + OD^2 = OE^2$，
代入字母得：$a^2 + b^2 = (b + n)^2$，
展开右边：$a^2 + b^2 = b^2 + 2bn + n^2$，
移项消去$b^2$得：$a^2 - n^2 = 2bn$，
两边同除以$2n$（$n≠0$）得：$b=\frac{a^2 - n^2}{2n}$，因此刘徽的解法正确。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) 推导如上，公式成立。
【知识点】
勾股定理的应用，列方程解应用题，整式化简
【点评】
本题以古代数学问题为背景，将实际场景转化为直角三角形模型，考查勾股定理的实际应用，解题核心是找准直角三角形各边的数量关系建立等式，既体现了数学的实用性，也渗透了传统数学文化。
【难度系数】
0.7
