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1. [2026杭州萧山区期中] 如图,在$Rt△ ABC$中,分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方形,面积分别记为$S_1,S_2,S_3$,若$S_2+S_3-S_1=24$,则图中阴影部分的面积为 (
A.6
B.12
C.10
D.8
A
)A.6
B.12
C.10
D.8
答案
1.A
解析
【分析】
首先观察图形，Rt△ABC的直角为∠BAC，以三边为边作的正方形面积分别对应三边的平方，因此优先考虑勾股定理建立三个正方形面积的关系。将勾股定理得到的面积关系代入已知条件$S_2+S_3-S_1=24$，可求出$S_2$的值，再分析阴影三角形的底和高与AB的关系，即可计算阴影部分面积。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，根据勾股定理可得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$。
2. 由正方形面积公式可知：$S_2=AB^2$，$S_1=AC^2$，$S_3=BC^2$，代入勾股定理得$S_2 + S_1 = S_3$，变形得$S_3 - S_1 = S_2$。
3. 已知$S_2 + S_3 - S_1=24$，将$S_3 - S_1 = S_2$代入得：$S_2 + S_2 = 24$，解得$S_2=12$，即$AB^2=12$。
4. 阴影部分为三角形，底为$AB$，高等于$AB$的长度，因此阴影面积$=\frac{1}{2}× AB × AB=\frac{1}{2}AB^2=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，正方形面积，三角形面积
【点评】
本题是勾股定理与面积计算的结合题型，解题核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合已知条件推导求解，能很好地考查对勾股定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，Rt△ABC的直角为∠BAC，以三边为边作的正方形面积分别对应三边的平方，因此优先考虑勾股定理建立三个正方形面积的关系。将勾股定理得到的面积关系代入已知条件$S_2+S_3-S_1=24$，可求出$S_2$的值，再分析阴影三角形的底和高与AB的关系，即可计算阴影部分面积。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，根据勾股定理可得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$。
2. 由正方形面积公式可知：$S_2=AB^2$，$S_1=AC^2$，$S_3=BC^2$，代入勾股定理得$S_2 + S_1 = S_3$，变形得$S_3 - S_1 = S_2$。
3. 已知$S_2 + S_3 - S_1=24$，将$S_3 - S_1 = S_2$代入得：$S_2 + S_2 = 24$，解得$S_2=12$，即$AB^2=12$。
4. 阴影部分为三角形，底为$AB$，高等于$AB$的长度，因此阴影面积$=\frac{1}{2}× AB × AB=\frac{1}{2}AB^2=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，正方形面积，三角形面积
【点评】
本题是勾股定理与面积计算的结合题型，解题核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合已知条件推导求解，能很好地考查对勾股定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当$AC=4$，$BC=6$时，阴影部分的面积为
12
。答案
2.12
解析
【分析】
阴影部分为不规则的月牙形，无法直接计算面积，可采用割补法转化为规则图形的面积和差求解。首先明确面积关系：阴影面积=以AC为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+直角三角形ABC的面积-以AB为直径的半圆面积，再结合勾股定理推导两个小半圆面积和与大半圆面积的关系，即可简化计算得到结果。
【解析】
已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$。
分别计算三个半圆的面积：
以AC为直径的半圆面积$S_1=\frac{1}{2}×π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{πAC^2}{8}$，
以BC为直径的半圆面积$S_2=\frac{1}{2}×π×(\frac{BC}{2})^2=\frac{πBC^2}{8}$，
以AB为直径的半圆面积$S_3=\frac{1}{2}×π×(\frac{AB}{2})^2=\frac{πAB^2}{8}$。
则$S_1+S_2=\frac{π(AC^2+BC^2)}{8}=\frac{πAB^2}{8}=S_3$，即两个小半圆的面积和等于大半圆的面积。
观察图形可得阴影部分面积：
$S_{阴}=S_1+S_2+S_{△ABC}-S_3$，
代入$S_1+S_2=S_3$，可得$S_{阴}=S_{△ABC}$。
计算直角三角形面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，半圆面积计算
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，解题关键是灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形的面积和差，结合勾股定理可抵消掉半圆部分的面积，直接得到阴影面积等于直角三角形的面积，体现了几何计算中的转化思想。
【难度系数】
0.7
阴影部分为不规则的月牙形，无法直接计算面积，可采用割补法转化为规则图形的面积和差求解。首先明确面积关系：阴影面积=以AC为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+直角三角形ABC的面积-以AB为直径的半圆面积，再结合勾股定理推导两个小半圆面积和与大半圆面积的关系，即可简化计算得到结果。
【解析】
已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$。
分别计算三个半圆的面积：
以AC为直径的半圆面积$S_1=\frac{1}{2}×π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{πAC^2}{8}$，
以BC为直径的半圆面积$S_2=\frac{1}{2}×π×(\frac{BC}{2})^2=\frac{πBC^2}{8}$，
以AB为直径的半圆面积$S_3=\frac{1}{2}×π×(\frac{AB}{2})^2=\frac{πAB^2}{8}$。
则$S_1+S_2=\frac{π(AC^2+BC^2)}{8}=\frac{πAB^2}{8}=S_3$，即两个小半圆的面积和等于大半圆的面积。
观察图形可得阴影部分面积：
$S_{阴}=S_1+S_2+S_{△ABC}-S_3$，
代入$S_1+S_2=S_3$，可得$S_{阴}=S_{△ABC}$。
计算直角三角形面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，半圆面积计算
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，解题关键是灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形的面积和差，结合勾股定理可抵消掉半圆部分的面积，直接得到阴影面积等于直角三角形的面积，体现了几何计算中的转化思想。
【难度系数】
0.7
3. [2026衢州期中] 如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接DF并延长，交BC于点M，若$S_{正方形ABCD}=9$，E为AF的中点，则BM的长为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$
B
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
3. B 【点拨】因为 E 为 AF 的中点,所以 EF=AE. 又因为 $∠ AED = ∠ FED = 90°$, $DE = DE$, 所以 $△ AED ≌ △ FED$(SAS),所以 $∠ ADE = ∠ FDE$, $DF = AD$. 因为 $S_{正方形ABCD}=9$,所以 $DF = AD = 3$. 因为 $DE // BG$,所以 $∠ EDF = ∠ BFM$. 因为 $∠ FBM = ∠ ADE$,所以 $∠ FBM = ∠ BFM$,所以易得 $BM = FM$. 因为 $DM^2 = CM^2 + CD^2$,所以$(DF + BM)^2 = CD^2 + (BC - BM)^2$,所以$(3 + BM)^2 = 3^2 + (3 - BM)^2$,所以 $BM=\frac{3}{4}$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：第一步，根据正方形ABCD的面积先求出其边长，得到AD、BC、CD的长度；第二步，结合E是AF中点、赵爽弦图中的直角条件，证明△AED和△FED全等，得到DF=AD，以及对应角相等；第三步，利用平行线的性质、全等直角三角形的角相等关系，推导出BM=FM，将DM用含BM的式子表示；最后在Rt△DCM中利用勾股定理列方程，求解即可得到BM的长度。
【解析】
解：
∵$S_{正方形ABCD}=9$，
∴正方形ABCD的边长$AD=CD=BC=3$。
∵E为AF的中点，
∴$AE=EF$，结合赵爽弦图的性质可得$∠AED=∠FED=90°$。
在$△ AED$和$△ FED$中：
$\begin{cases}AE=FE\\∠AED=∠FED\\DE=DE\end{cases}$
∴$△ AED≌△ FED(\mathrm{SAS})$，
∴$DF=AD=3$，$∠ADE=∠FDE$。
由赵爽弦图性质得$DE// BG$，
∴$∠EDF=∠BFM$，
又
∵四个直角三角形全等，
∴$∠FBM=∠ADE$，
∴$∠FBM=∠BFM$，
∴$BM=FM$，则$DM=DF+FM=3+BM$，$CM=BC-BM=3-BM$。
在$Rt△ DCM$中，由勾股定理得$DM^2=CD^2+CM^2$，代入得：
$(3+BM)^2=3^2+(3-BM)^2$
展开化简得：$12BM=9$，解得$BM=\frac{3}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
赵爽弦图的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，综合考查了全等三角形、等腰三角形的判定以及勾股定理的应用，通过方程思想求解线段长度是几何计算题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件逐步推导：第一步，根据正方形ABCD的面积先求出其边长，得到AD、BC、CD的长度；第二步，结合E是AF中点、赵爽弦图中的直角条件，证明△AED和△FED全等，得到DF=AD，以及对应角相等；第三步，利用平行线的性质、全等直角三角形的角相等关系，推导出BM=FM，将DM用含BM的式子表示；最后在Rt△DCM中利用勾股定理列方程，求解即可得到BM的长度。
【解析】
解：
∵$S_{正方形ABCD}=9$，
∴正方形ABCD的边长$AD=CD=BC=3$。
∵E为AF的中点，
∴$AE=EF$，结合赵爽弦图的性质可得$∠AED=∠FED=90°$。
在$△ AED$和$△ FED$中：
$\begin{cases}AE=FE\\∠AED=∠FED\\DE=DE\end{cases}$
∴$△ AED≌△ FED(\mathrm{SAS})$，
∴$DF=AD=3$，$∠ADE=∠FDE$。
由赵爽弦图性质得$DE// BG$，
∴$∠EDF=∠BFM$，
又
∵四个直角三角形全等，
∴$∠FBM=∠ADE$，
∴$∠FBM=∠BFM$，
∴$BM=FM$，则$DM=DF+FM=3+BM$，$CM=BC-BM=3-BM$。
在$Rt△ DCM$中，由勾股定理得$DM^2=CD^2+CM^2$，代入得：
$(3+BM)^2=3^2+(3-BM)^2$
展开化简得：$12BM=9$，解得$BM=\frac{3}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
赵爽弦图的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，综合考查了全等三角形、等腰三角形的判定以及勾股定理的应用，通过方程思想求解线段长度是几何计算题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
4. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”，实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系。如图是由8个全等的直角三角形拼成的，其中直角边分别为a,b，请回答以下问题：
(1)正方形ABCD的面积是
(2)记正方形ABCD、正方形EFGH、正方形IJKL的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，若$S_1+S_2+S_3=60$，$\mathrm{Rt}△ AEH$的面积为3，求$(a-b)^2$的值。
(1)正方形ABCD的面积是
$(a+b)^2$
，正方形IJKL的面积是$(a-b)^2$
；(用含a,b的式子表示)(2)记正方形ABCD、正方形EFGH、正方形IJKL的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，若$S_1+S_2+S_3=60$，$\mathrm{Rt}△ AEH$的面积为3，求$(a-b)^2$的值。
答案
4. 【解】(1)$(a+b)^2$；$(a-b)^2$
(2)由题意得 $S_1=(a+b)^2$ , $S_2=(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2$ , $S_3=(a-b)^2$ . 因为 $S_1 + S_2 + S_3 = 60$ , 所以 $(a+b)^2 + a^2 + b^2 + (a-b)^2 = 60$ , 所以 $a^2 + b^2 = 20$ . 因为 $\mathrm{Rt}△ AEH$ 的面积为 3 , 所以 $\frac{1}{2}ab=3$ , 即 $ab=6$ , 所以 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=20-12=8$ .
(2)由题意得 $S_1=(a+b)^2$ , $S_2=(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2$ , $S_3=(a-b)^2$ . 因为 $S_1 + S_2 + S_3 = 60$ , 所以 $(a+b)^2 + a^2 + b^2 + (a-b)^2 = 60$ , 所以 $a^2 + b^2 = 20$ . 因为 $\mathrm{Rt}△ AEH$ 的面积为 3 , 所以 $\frac{1}{2}ab=3$ , 即 $ab=6$ , 所以 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=20-12=8$ .
解析
【分析】
解决第(1)问时，先观察图形确定正方形边长：正方形ABCD的边长为直角三角形两条直角边的和$a+b$，结合正方形面积公式即可求面积；正方形IJKL的边长为两条直角边的差$|a-b|$，平方后即可得到面积，平方不影响正负，因此可写为$(a-b)^2$。
解决第(2)问时，首先用含$a、b$的式子分别表示三个正方形的面积，代入$S_1+S_2+S_3=60$的条件化简求出$a^2+b^2$的值；再根据直角三角形面积求出$ab$的值，最后将$(a-b)^2$用完全平方公式展开，代入对应数值计算即可。
【解析】
(1) 正方形ABCD的边长为$a+b$，因此面积为$(a+b)^2$；
正方形IJKL的边长为$|a-b|$，因此面积为$(a-b)^2$。
(2) 由题意可得：
$S_1=(a+b)^2$，
正方形EFGH的面积等于正方形ABCD的面积减去4个全等直角三角形的面积，即$S_2=(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2$，
$S_3=(a-b)^2$。
将上述表达式代入$S_1+S_2+S_3=60$得：
$(a+b)^2 + a^2+b^2 + (a-b)^2 = 60$
展开化简得：$a^2+2ab+b^2+a^2+b^2+a^2-2ab+b^2=3a^2+3b^2=60$，因此$a^2+b^2=20$。
已知$\mathrm{Rt}△AEH$的面积为3，即$\frac{1}{2}ab=3$，解得$ab=6$。
根据完全平方公式变形：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a^2+b^2=20$、$ab=6$得：
$(a-b)^2=20-2×6=8$
【答案】
(1) $(a+b)^2$；$(a-b)^2$
(2) $8$
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，代数式化简求值
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将代数公式与几何面积计算结合，考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握完全平方公式的变形，学会用代数式表示几何图形的面积。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，先观察图形确定正方形边长：正方形ABCD的边长为直角三角形两条直角边的和$a+b$，结合正方形面积公式即可求面积；正方形IJKL的边长为两条直角边的差$|a-b|$，平方后即可得到面积，平方不影响正负，因此可写为$(a-b)^2$。
解决第(2)问时，首先用含$a、b$的式子分别表示三个正方形的面积，代入$S_1+S_2+S_3=60$的条件化简求出$a^2+b^2$的值；再根据直角三角形面积求出$ab$的值，最后将$(a-b)^2$用完全平方公式展开，代入对应数值计算即可。
【解析】
(1) 正方形ABCD的边长为$a+b$，因此面积为$(a+b)^2$；
正方形IJKL的边长为$|a-b|$，因此面积为$(a-b)^2$。
(2) 由题意可得：
$S_1=(a+b)^2$，
正方形EFGH的面积等于正方形ABCD的面积减去4个全等直角三角形的面积，即$S_2=(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2$，
$S_3=(a-b)^2$。
将上述表达式代入$S_1+S_2+S_3=60$得：
$(a+b)^2 + a^2+b^2 + (a-b)^2 = 60$
展开化简得：$a^2+2ab+b^2+a^2+b^2+a^2-2ab+b^2=3a^2+3b^2=60$，因此$a^2+b^2=20$。
已知$\mathrm{Rt}△AEH$的面积为3，即$\frac{1}{2}ab=3$，解得$ab=6$。
根据完全平方公式变形：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a^2+b^2=20$、$ab=6$得：
$(a-b)^2=20-2×6=8$
【答案】
(1) $(a+b)^2$；$(a-b)^2$
(2) $8$
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，代数式化简求值
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将代数公式与几何面积计算结合，考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握完全平方公式的变形，学会用代数式表示几何图形的面积。
【难度系数】
0.7
