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9 求下列各式的值：
(1) $\frac{2}{3}a^2 -8a - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}a - \frac{2}{3}a^2 + \frac{1}{4}$，其中 $a=\frac{3}{4}$；
(2) $\frac{1}{4}ab^2 -5a^2b - \frac{3}{4}ab^2 + 0.75ab^2$，其中 $a=-1,b=1$；
(3) $2a^2 -3ab +b^2 -a^2 +ab -2b^2$，其中 $a^2 -b^2=2,ab=-3$。
(1) $\frac{2}{3}a^2 -8a - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}a - \frac{2}{3}a^2 + \frac{1}{4}$，其中 $a=\frac{3}{4}$；
(2) $\frac{1}{4}ab^2 -5a^2b - \frac{3}{4}ab^2 + 0.75ab^2$，其中 $a=-1,b=1$；
(3) $2a^2 -3ab +b^2 -a^2 +ab -2b^2$，其中 $a^2 -b^2=2,ab=-3$。
答案
(1) 原式$=-\dfrac{23}{3}a -\dfrac{1}{4}$. 当$a=\dfrac{3}{4}$时,原式$=-6$
(2) 原式$=\dfrac{1}{4}ab^2 -5a^2b$. 当$a=-1,b=1$时,原式$=-\dfrac{21}{4}$
(3) 原式$=a^2 -b^2 -2ab$. 当$a^2 -b^2=2,ab=-3$时,原式$=8$.
(2) 原式$=\dfrac{1}{4}ab^2 -5a^2b$. 当$a=-1,b=1$时,原式$=-\dfrac{21}{4}$
(3) 原式$=a^2 -b^2 -2ab$. 当$a^2 -b^2=2,ab=-3$时,原式$=8$.
解析
【分析】
这三道题均为代数式化简求值类题目，解题核心思路是先合并同类项将原式化为最简形式，再代入已知条件计算，可有效减少计算量、降低出错率。具体步骤为：①识别式子中的同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）；②按照“同类项系数相加，字母和字母指数不变”的法则合并同类项；③将给定的数值或整体条件代入最简式，计算出最终结果。
【解析】
(1) 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{2}{3}a^2 - \frac{2}{3}a^2) + (-8a + \frac{1}{3}a) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{4})\\&=-\frac{23}{3}a - \frac{1}{4}\end{aligned}$
将$a=\frac{3}{4}$代入最简式：
$原式=-\frac{23}{3} × \frac{3}{4} - \frac{1}{4}=-\frac{23}{4}-\frac{1}{4}=-6$
(2) 先将$0.75$化为$\frac{3}{4}$，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{4}ab^2 - \frac{3}{4}ab^2 + \frac{3}{4}ab^2) -5a^2b\\&=\frac{1}{4}ab^2 -5a^2b\end{aligned}$
将$a=-1,b=1$代入最简式：
$原式=\frac{1}{4} × (-1) × 1^2 -5 × (-1)^2 × 1=-\frac{1}{4}-5=-\frac{21}{4}$
(3) 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(2a^2 -a^2) + (-3ab + ab) + (b^2 -2b^2)\\&=a^2 -2ab -b^2\\&=(a^2 -b^2) -2ab\end{aligned}$
将$a^2 -b^2=2,ab=-3$整体代入最简式：
$原式=2 -2×(-3)=2+6=8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{21}{4}}$；(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
合并同类项，代数式求值，整体代入
【点评】
本题是代数式运算的基础题型，重点考查合并同类项的掌握熟练度，先化简再求值的思路能大幅降低计算复杂度，第三小题考查整体代入思想，无需单独求解a、b的取值，直接代入整体条件即可，解题时要注意观察式子特征，灵活选择计算方法。
【难度系数】
0.7
这三道题均为代数式化简求值类题目，解题核心思路是先合并同类项将原式化为最简形式，再代入已知条件计算，可有效减少计算量、降低出错率。具体步骤为：①识别式子中的同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）；②按照“同类项系数相加，字母和字母指数不变”的法则合并同类项；③将给定的数值或整体条件代入最简式，计算出最终结果。
【解析】
(1) 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{2}{3}a^2 - \frac{2}{3}a^2) + (-8a + \frac{1}{3}a) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{4})\\&=-\frac{23}{3}a - \frac{1}{4}\end{aligned}$
将$a=\frac{3}{4}$代入最简式：
$原式=-\frac{23}{3} × \frac{3}{4} - \frac{1}{4}=-\frac{23}{4}-\frac{1}{4}=-6$
(2) 先将$0.75$化为$\frac{3}{4}$，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{4}ab^2 - \frac{3}{4}ab^2 + \frac{3}{4}ab^2) -5a^2b\\&=\frac{1}{4}ab^2 -5a^2b\end{aligned}$
将$a=-1,b=1$代入最简式：
$原式=\frac{1}{4} × (-1) × 1^2 -5 × (-1)^2 × 1=-\frac{1}{4}-5=-\frac{21}{4}$
(3) 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(2a^2 -a^2) + (-3ab + ab) + (b^2 -2b^2)\\&=a^2 -2ab -b^2\\&=(a^2 -b^2) -2ab\end{aligned}$
将$a^2 -b^2=2,ab=-3$整体代入最简式：
$原式=2 -2×(-3)=2+6=8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{21}{4}}$；(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
合并同类项，代数式求值，整体代入
【点评】
本题是代数式运算的基础题型，重点考查合并同类项的掌握熟练度，先化简再求值的思路能大幅降低计算复杂度，第三小题考查整体代入思想，无需单独求解a、b的取值，直接代入整体条件即可，解题时要注意观察式子特征，灵活选择计算方法。
【难度系数】
0.7
10 已知$(x+1)^2 + |y+2| = 0$，求代数式$5xy - \frac{3}{2}x^3y^2 - 4xy + \frac{1}{2}y^2x^3 - \frac{1}{2}xy - 3x^3y^2$的值。
答案
根据题意,得 $x+1=0,y+2=0$,解得 $x=-1,y=-2$. 所以原式$=\dfrac{1}{2}xy -4x^3y^2 =\dfrac{1}{2}×(-1)×(-2) -4×(-1)^3×(-2)^2 =1+16=17$
解析
【分析】
首先观察已知条件，平方和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0，说明每个非负数都为0，据此可求出x、y的值；再看待求的代数式，里面含有多组同类项，先合并同类项化简代数式，再代入x、y的值计算，比直接代入原式计算更简便，能减少计算错误。
【解析】
1. 求x、y的值：
∵$(x+1)^2≥0$，$|y+2|≥0$，且$(x+1)^2 + |y+2| = 0$
∴$x+1=0$，$y+2=0$
解得$x=-1$，$y=-2$
2. 化简代数式：
合并同类项：
$5xy - \frac{3}{2}x^3y^2 - 4xy + \frac{1}{2}y^2x^3 - \frac{1}{2}xy - 3x^3y^2$
$=(5xy-4xy-\frac{1}{2}xy)+(-\frac{3}{2}x^3y^2+\frac{1}{2}x^3y^2-3x^3y^2)$
$=\frac{1}{2}xy -4x^3y^2$
3. 代入求值：
把$x=-1$，$y=-2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{2}×(-1)×(-2) -4×(-1)^3×(-2)^2$
$=1 -4×(-1)×4$
$=1+16=17$
【答案】
17
【知识点】
非负数的性质，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题核心是利用非负性确定未知数取值，先化简再代入求值的思路能大幅降低计算量，计算时要注意负数乘方的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，平方和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0，说明每个非负数都为0，据此可求出x、y的值；再看待求的代数式，里面含有多组同类项，先合并同类项化简代数式，再代入x、y的值计算，比直接代入原式计算更简便，能减少计算错误。
【解析】
1. 求x、y的值：
∵$(x+1)^2≥0$，$|y+2|≥0$，且$(x+1)^2 + |y+2| = 0$
∴$x+1=0$，$y+2=0$
解得$x=-1$，$y=-2$
2. 化简代数式：
合并同类项：
$5xy - \frac{3}{2}x^3y^2 - 4xy + \frac{1}{2}y^2x^3 - \frac{1}{2}xy - 3x^3y^2$
$=(5xy-4xy-\frac{1}{2}xy)+(-\frac{3}{2}x^3y^2+\frac{1}{2}x^3y^2-3x^3y^2)$
$=\frac{1}{2}xy -4x^3y^2$
3. 代入求值：
把$x=-1$，$y=-2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{2}×(-1)×(-2) -4×(-1)^3×(-2)^2$
$=1 -4×(-1)×4$
$=1+16=17$
【答案】
17
【知识点】
非负数的性质，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题核心是利用非负性确定未知数取值，先化简再代入求值的思路能大幅降低计算量，计算时要注意负数乘方的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
11 对于代数式$2x^2 +7xy +3y^2 +x^2 -kxy +5y^2$，老师提出了两个问题，第一个问题：当k为何值时，代数式合并同类项后不含xy项？第二个问题：在第一个问题的前提下，如果$x=2,y=-1$，那么代数式的值是多少？
（1）小明同学很快就完成了第一个问题，请写出解答过程；
（2）在解决第二个问题时，小虎同学把$y=-1$错看成$y=1$，可是他得到的代数式的值却和$y=-1$时的代数式的值相同，这是为什么呢？
（1）小明同学很快就完成了第一个问题，请写出解答过程；
（2）在解决第二个问题时，小虎同学把$y=-1$错看成$y=1$，可是他得到的代数式的值却和$y=-1$时的代数式的值相同，这是为什么呢？
答案
(1) $2x^2 +7xy +3y^2 +x^2 -kxy +5y^2=(2x^2 +x^2)+(3y^2 +5y^2)+(7xy -kxy)=3x^2 +8y^2 +(7-k)xy$. 因为合并同类项后不含$xy$项,所以 $7-k=0$. 所以 $k=7$
(2) 因为 $k=7$,所以代数式为 $3x^2 +8y^2$. 无论$y$取1还是$-1$,$y^2$的值均为1,不影响代数式的值,所以他得到的代数式的值和$y=-1$时的代数式的值相同
(2) 因为 $k=7$,所以代数式为 $3x^2 +8y^2$. 无论$y$取1还是$-1$,$y^2$的值均为1,不影响代数式的值,所以他得到的代数式的值和$y=-1$时的代数式的值相同
解析
【分析】
（1）要解决代数式合并同类项后不含xy项的问题，首先要遵循合并同类项的规则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。我们先对代数式中的同类项进行合并，提取出xy项的总系数，若代数式不含xy项，说明xy项的系数为0，据此列方程即可求出k的值。
（2）在第一问求出k=7的前提下，先写出化简后的代数式，观察可知代数式中y的次数为2，根据乘方的性质，互为相反数的两个数的平方相等，因此代入y=1和y=-1时，y²的计算结果相同，最终代数式的求值结果也一致。
【解析】
（1）对代数式合并同类项：
$\begin{aligned}&2x^2 +7xy +3y^2 +x^2 -kxy +5y^2\\=&(2x^2 +x^2)+(3y^2 +5y^2)+(7xy -kxy)\\=&3x^2 +8y^2 +(7-k)xy\end{aligned}$
因为合并同类项后不含xy项，所以xy项的系数为0，即：
$7-k=0$
解得$k=7$。
（2）当$k=7$时，代数式化简为$3x^2 +8y^2$。
当$y=1$时，$y^2=1^2=1$；当$y=-1$时，$y^2=(-1)^2=1$，两种情况$y^2$的取值相同，代入代数式后计算结果一致，因此小虎看错y的符号也得到了相同的结果。
【答案】
（1）$k=7$；
（2）$k=7$时代数式化简为$3x^2 +8y^2$，$y=1$和$y=-1$时$y^2$的值均为1，代入后代数式的值相同。
【知识点】
合并同类项；代数式项的系数；乘方的性质
【点评】
本题核心考查合并同类项的应用，明确“代数式不含某一项即该项的系数为0”是解决第一问的关键，第二问结合乘方的性质判断符号对计算结果的影响，属于基础类题型，熟练掌握同类项合并规则是解题核心。
【难度系数】
0.8
（1）要解决代数式合并同类项后不含xy项的问题，首先要遵循合并同类项的规则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。我们先对代数式中的同类项进行合并，提取出xy项的总系数，若代数式不含xy项，说明xy项的系数为0，据此列方程即可求出k的值。
（2）在第一问求出k=7的前提下，先写出化简后的代数式，观察可知代数式中y的次数为2，根据乘方的性质，互为相反数的两个数的平方相等，因此代入y=1和y=-1时，y²的计算结果相同，最终代数式的求值结果也一致。
【解析】
（1）对代数式合并同类项：
$\begin{aligned}&2x^2 +7xy +3y^2 +x^2 -kxy +5y^2\\=&(2x^2 +x^2)+(3y^2 +5y^2)+(7xy -kxy)\\=&3x^2 +8y^2 +(7-k)xy\end{aligned}$
因为合并同类项后不含xy项，所以xy项的系数为0，即：
$7-k=0$
解得$k=7$。
（2）当$k=7$时，代数式化简为$3x^2 +8y^2$。
当$y=1$时，$y^2=1^2=1$；当$y=-1$时，$y^2=(-1)^2=1$，两种情况$y^2$的取值相同，代入代数式后计算结果一致，因此小虎看错y的符号也得到了相同的结果。
【答案】
（1）$k=7$；
（2）$k=7$时代数式化简为$3x^2 +8y^2$，$y=1$和$y=-1$时$y^2$的值均为1，代入后代数式的值相同。
【知识点】
合并同类项；代数式项的系数；乘方的性质
【点评】
本题核心考查合并同类项的应用，明确“代数式不含某一项即该项的系数为0”是解决第一问的关键，第二问结合乘方的性质判断符号对计算结果的影响，属于基础类题型，熟练掌握同类项合并规则是解题核心。
【难度系数】
0.8
