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1. 如图
，数轴上的点P表示的数可能是（
A.$\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{5}$
C.$-3.8$
D.$-\sqrt{10}$
，数轴上的点P表示的数可能是（B
）A.$\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{5}$
C.$-3.8$
D.$-\sqrt{10}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定点P的取值范围，明确P是介于-3和-2之间的数；再分别估算各选项中无理数的大小，判断每个选项的数值是否落在P的取值范围内，不符合的直接排除，最终得到正确答案。
【解析】
第一步：确定点P的取值范围
观察数轴可知，点P位于-3和-2之间，即$-3 ＜ P ＜ -2$。
第二步：逐一分析选项
选项A：$\sqrt{5}$是正数，大于0，显然不在$-3∼-2$范围内，排除；
选项B：因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，符合点P的取值范围；
选项C：$-3.8＜-3$，位于-3的左侧，不符合取值范围，排除；
选项D：因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，不等式两边同时乘$-1$得$-4＜-\sqrt{10}＜-3$，位于-3的左侧，不符合取值范围，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的认识，无理数的估算，实数与数轴的对应
【点评】
本题属于基础题，核心是先通过数轴确定未知点的取值范围，再通过平方数估算无理数的大小，逐一排除不符合要求的选项即可得到答案，能很好地考查学生的数形结合思维和估算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定点P的取值范围，明确P是介于-3和-2之间的数；再分别估算各选项中无理数的大小，判断每个选项的数值是否落在P的取值范围内，不符合的直接排除，最终得到正确答案。
【解析】
第一步：确定点P的取值范围
观察数轴可知，点P位于-3和-2之间，即$-3 ＜ P ＜ -2$。
第二步：逐一分析选项
选项A：$\sqrt{5}$是正数，大于0，显然不在$-3∼-2$范围内，排除；
选项B：因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，符合点P的取值范围；
选项C：$-3.8＜-3$，位于-3的左侧，不符合取值范围，排除；
选项D：因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，不等式两边同时乘$-1$得$-4＜-\sqrt{10}＜-3$，位于-3的左侧，不符合取值范围，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的认识，无理数的估算，实数与数轴的对应
【点评】
本题属于基础题，核心是先通过数轴确定未知点的取值范围，再通过平方数估算无理数的大小，逐一排除不符合要求的选项即可得到答案，能很好地考查学生的数形结合思维和估算能力。
【难度系数】
0.7
2. 实数$\frac{22}{7}, -\sqrt{2}, 1.010\ 010\ 001···$（相邻两个1之间依次多一个0），$2π -1, \sqrt{6}, \sqrt[3]{81}$中，无理数的个数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2.D
解析
【分析】
要判断无理数的个数，首先得明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，初中阶段常见的无理数包含三类：一是开方开不尽得到的数，二是含有π的式子（π本身是无限不循环小数，属于无理数），三是有规律但无限不循环的小数。解题时我们逐个分析给出的每个实数，判断其是否属于无理数，最后统计个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析题中给出的6个实数：
1. $\frac{22}{7}$：属于分数，所有分数都是有理数，因此它不是无理数；
2. $-\sqrt{2}$：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，因此$-\sqrt{2}$是无理数；
3. $1.010010001···$（相邻两个1之间依次多一个0）：是无限不循环小数，属于无理数；
4. $2π -1$：$π$是无理数，因此含有π的$2π-1$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{6}$：$\sqrt{6}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数；
6. $\sqrt[3]{81}$：$\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{27×3}=3\sqrt[3]{3}$，$\sqrt[3]{3}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt[3]{81}$是无理数。
综上，无理数有$-\sqrt{2}、1.010010001···、2π-1、\sqrt{6}、\sqrt[3]{81}$，共5个。
【答案】
D
【知识点】
无理数的定义、实数的分类
【点评】
本题主要考查无理数的识别，解题关键是牢记无理数的定义及常见的无理数类型，注意不要把分数误认为是无理数，也不要把有规律的无限不循环小数误认为是有理数。
【难度系数】
0.7
要判断无理数的个数，首先得明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，初中阶段常见的无理数包含三类：一是开方开不尽得到的数，二是含有π的式子（π本身是无限不循环小数，属于无理数），三是有规律但无限不循环的小数。解题时我们逐个分析给出的每个实数，判断其是否属于无理数，最后统计个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析题中给出的6个实数：
1. $\frac{22}{7}$：属于分数，所有分数都是有理数，因此它不是无理数；
2. $-\sqrt{2}$：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，因此$-\sqrt{2}$是无理数；
3. $1.010010001···$（相邻两个1之间依次多一个0）：是无限不循环小数，属于无理数；
4. $2π -1$：$π$是无理数，因此含有π的$2π-1$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{6}$：$\sqrt{6}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数；
6. $\sqrt[3]{81}$：$\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{27×3}=3\sqrt[3]{3}$，$\sqrt[3]{3}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt[3]{81}$是无理数。
综上，无理数有$-\sqrt{2}、1.010010001···、2π-1、\sqrt{6}、\sqrt[3]{81}$，共5个。
【答案】
D
【知识点】
无理数的定义、实数的分类
【点评】
本题主要考查无理数的识别，解题关键是牢记无理数的定义及常见的无理数类型，注意不要把分数误认为是无理数，也不要把有规律的无限不循环小数误认为是有理数。
【难度系数】
0.7
3.若a的平方根是±8，则a的立方根是（
A.±4
B.4
C.−4
D.8
B
）A.±4
B.4
C.−4
D.8
答案
3.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据平方根的定义求出a的取值，再计算a的立方根即可得到答案。首先，若一个数的平方根为±m，说明这个数是m的平方，据此可先算出a的值；其次要注意立方根的性质：正数的立方根是唯一的正数，因此结果不会有正负两种情况，可先排除带±的选项。
【解析】
解：
∵a的平方根是±8
∴根据平方根的定义，可得a=(±8)²=64
接下来计算64的立方根：
∵4³=4×4×4=64
∴64的立方根是4，即a的立方根是4
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义；立方根的运算
【点评】
本题是基础概念题，侧重考查平方根和立方根的性质区分，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，但任意实数的立方根唯一，不要混淆二者性质导致误选。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据平方根的定义求出a的取值，再计算a的立方根即可得到答案。首先，若一个数的平方根为±m，说明这个数是m的平方，据此可先算出a的值；其次要注意立方根的性质：正数的立方根是唯一的正数，因此结果不会有正负两种情况，可先排除带±的选项。
【解析】
解：
∵a的平方根是±8
∴根据平方根的定义，可得a=(±8)²=64
接下来计算64的立方根：
∵4³=4×4×4=64
∴64的立方根是4，即a的立方根是4
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义；立方根的运算
【点评】
本题是基础概念题，侧重考查平方根和立方根的性质区分，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，但任意实数的立方根唯一，不要混淆二者性质导致误选。
【难度系数】
0.8
4.若$(8x+9)^2$和$\sqrt{y+2}$互为相反数，则$\sqrt{xy}$的值是（
A.$\frac{2}{3}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{4}{9}$
C
）A.$\frac{2}{3}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{4}{9}$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，由此可列出等式。再结合平方数、算术平方根的非负性（即两者的取值都大于等于0）可知，两个非负数相加得0时，只能是两个非负数各自为0，据此列方程求出x、y的值，最后代入计算算术平方根即可，注意算术平方根的结果一定是非负的，可先排除负数选项缩小范围。
【解析】
解：
∵$(8x+9)^2$和$\sqrt{y+2}$互为相反数
∴$(8x+9)^2 + \sqrt{y+2} = 0$
又
∵$(8x+9)^2 ≥ 0$，$\sqrt{y+2} ≥ 0$
根据非负数的性质，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，可得：
$\begin{cases}8x + 9 = 0 \\ y + 2 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = -\frac{9}{8} \\ y = -2\end{cases}$
将x、y代入$\sqrt{xy}$得：
$\sqrt{xy} = \sqrt{(-\frac{9}{8}) × (-2)} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；算术平方根的计算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0”的规律，计算时要注意符号运算，同时利用算术平方根的非负性可直接排除负数选项，加快解题速度。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，由此可列出等式。再结合平方数、算术平方根的非负性（即两者的取值都大于等于0）可知，两个非负数相加得0时，只能是两个非负数各自为0，据此列方程求出x、y的值，最后代入计算算术平方根即可，注意算术平方根的结果一定是非负的，可先排除负数选项缩小范围。
【解析】
解：
∵$(8x+9)^2$和$\sqrt{y+2}$互为相反数
∴$(8x+9)^2 + \sqrt{y+2} = 0$
又
∵$(8x+9)^2 ≥ 0$，$\sqrt{y+2} ≥ 0$
根据非负数的性质，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，可得：
$\begin{cases}8x + 9 = 0 \\ y + 2 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = -\frac{9}{8} \\ y = -2\end{cases}$
将x、y代入$\sqrt{xy}$得：
$\sqrt{xy} = \sqrt{(-\frac{9}{8}) × (-2)} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；算术平方根的计算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0”的规律，计算时要注意符号运算，同时利用算术平方根的非负性可直接排除负数选项，加快解题速度。
【难度系数】
0.7
5.如图2，数轴上表示1，$\sqrt{3}$的对应点分别为点A，点B.若$CA=AB$，则点C所表示的数为
$2-\sqrt{3}$
.答案
5.$2-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先计算数轴上A、B两点的距离，利用数轴上两点距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数即可求出AB的长度；再结合CA=AB的条件，因为点C在点A的左侧，所以点C表示的数等于点A表示的数减去CA的长度，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵数轴上表示1、$\sqrt{3}$的对应点分别为A、B，
∴$AB=\sqrt{3}-1$，
∵$CA=AB$，
∴$CA=\sqrt{3}-1$，
设点C表示的数为$x$，
∵点C在点A左侧，
∴$1-x=\sqrt{3}-1$，
解得$x=1-(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
数轴上两点距离计算；实数与数轴的对应关系；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握数轴上两点距离的计算方法，结合已知的线段相等关系列式求解，计算时需注意去括号后的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先计算数轴上A、B两点的距离，利用数轴上两点距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数即可求出AB的长度；再结合CA=AB的条件，因为点C在点A的左侧，所以点C表示的数等于点A表示的数减去CA的长度，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵数轴上表示1、$\sqrt{3}$的对应点分别为A、B，
∴$AB=\sqrt{3}-1$，
∵$CA=AB$，
∴$CA=\sqrt{3}-1$，
设点C表示的数为$x$，
∵点C在点A左侧，
∴$1-x=\sqrt{3}-1$，
解得$x=1-(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
数轴上两点距离计算；实数与数轴的对应关系；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握数轴上两点距离的计算方法，结合已知的线段相等关系列式求解，计算时需注意去括号后的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.8
6. $\frac{1}{3^2}$的平方根是
$\pm \frac{1}{3}$
；$\sqrt{64}$的立方根是$2$
。答案
6.$\pm \frac{1}{3}$；$2$
解析
【分析】
解决本题分两步思考：①求$\frac{1}{3^2}$的平方根：先化简$\frac{1}{3^2}$得到$\frac{1}{9}$，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，找到平方后等于$\frac{1}{9}$的数即可；②求$\sqrt{64}$的立方根：先计算$\sqrt{64}$（即64的算术平方根）得到8，再根据立方根的定义，找到立方后等于8的数即可。
【解析】
1. 计算$\frac{1}{3^2}$的平方根：
先化简得：$\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，
根据平方根的定义，$\because (\pm \frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\therefore \frac{1}{9}$的平方根是$\pm \frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3^2}$的平方根为$\pm \frac{1}{3}$。
2. 计算$\sqrt{64}$的立方根：
先化简得：$\sqrt{64}=8$，
根据立方根的定义，$\because 2^3=8$，$\therefore 8$的立方根是$2$，即$\sqrt{64}$的立方根为$2$。
【答案】
$\pm \frac{1}{3}$；$2$
【知识点】
平方根的概念，算术平方根计算，立方根的概念
【点评】
本题重点考查平方根、算术平方根、立方根的概念区分，解题时需注意先化简题目中的原式，再对应求根，同时要牢记正数的平方根有两个，立方根仅有一个，避免因概念混淆或漏化简出现错误。
【难度系数】
0.7
解决本题分两步思考：①求$\frac{1}{3^2}$的平方根：先化简$\frac{1}{3^2}$得到$\frac{1}{9}$，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，找到平方后等于$\frac{1}{9}$的数即可；②求$\sqrt{64}$的立方根：先计算$\sqrt{64}$（即64的算术平方根）得到8，再根据立方根的定义，找到立方后等于8的数即可。
【解析】
1. 计算$\frac{1}{3^2}$的平方根：
先化简得：$\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，
根据平方根的定义，$\because (\pm \frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\therefore \frac{1}{9}$的平方根是$\pm \frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3^2}$的平方根为$\pm \frac{1}{3}$。
2. 计算$\sqrt{64}$的立方根：
先化简得：$\sqrt{64}=8$，
根据立方根的定义，$\because 2^3=8$，$\therefore 8$的立方根是$2$，即$\sqrt{64}$的立方根为$2$。
【答案】
$\pm \frac{1}{3}$；$2$
【知识点】
平方根的概念，算术平方根计算，立方根的概念
【点评】
本题重点考查平方根、算术平方根、立方根的概念区分，解题时需注意先化简题目中的原式，再对应求根，同时要牢记正数的平方根有两个，立方根仅有一个，避免因概念混淆或漏化简出现错误。
【难度系数】
0.7
7. $1 - \sqrt{2}$的相反数是
$\sqrt{2}-1$
，绝对值是$\sqrt{2}-1$
。答案
7.$\sqrt{2}-1$；$\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
首先回忆相反数和绝对值的相关概念：①求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上负号，再化简即可；②求一个数的绝对值，要先判断这个数的正负性，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。本题中先根据相反数的定义求$1-\sqrt{2}$的相反数，再判断$1-\sqrt{2}$的正负，结合绝对值的性质求它的绝对值即可。
【解析】
1. 求$1-\sqrt{2}$的相反数：
根据相反数的定义，数$a$的相反数为$-a$，因此$1-\sqrt{2}$的相反数是$-(1-\sqrt{2})$，去括号化简得$\sqrt{2}-1$。
2. 求$1-\sqrt{2}$的绝对值：
先判断$1-\sqrt{2}$的正负：因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，属于负数。
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$；$\sqrt{2}-1$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是熟练掌握相反数和绝对值的运算规则，求解绝对值时注意先判断原数的正负性，再对应性质计算即可。
【难度系数】
0.8
首先回忆相反数和绝对值的相关概念：①求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上负号，再化简即可；②求一个数的绝对值，要先判断这个数的正负性，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。本题中先根据相反数的定义求$1-\sqrt{2}$的相反数，再判断$1-\sqrt{2}$的正负，结合绝对值的性质求它的绝对值即可。
【解析】
1. 求$1-\sqrt{2}$的相反数：
根据相反数的定义，数$a$的相反数为$-a$，因此$1-\sqrt{2}$的相反数是$-(1-\sqrt{2})$，去括号化简得$\sqrt{2}-1$。
2. 求$1-\sqrt{2}$的绝对值：
先判断$1-\sqrt{2}$的正负：因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，属于负数。
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$；$\sqrt{2}-1$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是熟练掌握相反数和绝对值的运算规则，求解绝对值时注意先判断原数的正负性，再对应性质计算即可。
【难度系数】
0.8
8.计算：
(1) $\sqrt[3]{7} ÷ \sqrt{5} × π$（用计算器计算，精确到0.01）；
(2) $\left| \sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{8}} \right| + \left| \sqrt{5} - \sqrt{3} \right|$（用计算器计算，精确到0.01）；
(3) $\sqrt{16} + \sqrt[3]{8} - (-1)^{2024}$。
(1) $\sqrt[3]{7} ÷ \sqrt{5} × π$（用计算器计算，精确到0.01）；
(2) $\left| \sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{8}} \right| + \left| \sqrt{5} - \sqrt{3} \right|$（用计算器计算，精确到0.01）；
(3) $\sqrt{16} + \sqrt[3]{8} - (-1)^{2024}$。
答案
8.(1)2.69 (2)2.98 (3)5
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 本题为实数的乘除混合运算，按从左到右的顺序计算即可。先借助计算器分别得出$\sqrt[3]{7}$、$\sqrt{5}$、$π$的近似值，再依次计算除法和乘法，最后将结果精确到0.01。
(2) 本题含绝对值运算，第一步先判断绝对值内算式的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值后，用计算器得出各根式的近似值，再按顺序计算，最后精确到0.01。
(3) 本题为整数根式、乘方的混合运算，先分别计算$\sqrt{16}$、$\sqrt[3]{8}$、$(-1)^{2024}$的值，再按从左到右的顺序做加减运算即可。
【解析】
(1) 用计算器可得：$\sqrt[3]{7}≈1.913$，$\sqrt{5}≈2.236$，$π≈3.142$
原式≈$1.913÷2.236×3.142$
≈$0.8555×3.142$
≈$2.69$
(2) 先判断绝对值内正负：
$\sqrt{8}＞\sqrt{\frac{1}{8}}$，故$\left| \sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{8}} \right|=\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{8}}$；
$\sqrt{5}＞\sqrt{3}$，故$\left| \sqrt{5} - \sqrt{3} \right|=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
用计算器可得：$\sqrt{8}≈2.828$，$\sqrt{\frac{1}{8}}≈0.354$，$\sqrt{5}≈2.236$，$\sqrt{3}≈1.732$
原式≈$(2.828 - 0.354)+(2.236 - 1.732)$
=$2.474 + 0.504$
≈$2.98$
(3) 分别计算各项：
$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{8}=2$，$(-1)^{2024}=1$
原式=$4 + 2 - 1=5$
【答案】
(1)2.69；(2)2.98；(3)5
【知识点】
1. 实数运算
2. 绝对值的性质
3. 根式计算
【点评】
本题主要考查实数的混合运算，分为近似计算和精确计算两类，解题时要注意运算顺序，处理绝对值时先判断内部算式的正负，近似计算要严格按照要求保留精确度，整体难度较低，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：
(1) 本题为实数的乘除混合运算，按从左到右的顺序计算即可。先借助计算器分别得出$\sqrt[3]{7}$、$\sqrt{5}$、$π$的近似值，再依次计算除法和乘法，最后将结果精确到0.01。
(2) 本题含绝对值运算，第一步先判断绝对值内算式的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值后，用计算器得出各根式的近似值，再按顺序计算，最后精确到0.01。
(3) 本题为整数根式、乘方的混合运算，先分别计算$\sqrt{16}$、$\sqrt[3]{8}$、$(-1)^{2024}$的值，再按从左到右的顺序做加减运算即可。
【解析】
(1) 用计算器可得：$\sqrt[3]{7}≈1.913$，$\sqrt{5}≈2.236$，$π≈3.142$
原式≈$1.913÷2.236×3.142$
≈$0.8555×3.142$
≈$2.69$
(2) 先判断绝对值内正负：
$\sqrt{8}＞\sqrt{\frac{1}{8}}$，故$\left| \sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{8}} \right|=\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{8}}$；
$\sqrt{5}＞\sqrt{3}$，故$\left| \sqrt{5} - \sqrt{3} \right|=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
用计算器可得：$\sqrt{8}≈2.828$，$\sqrt{\frac{1}{8}}≈0.354$，$\sqrt{5}≈2.236$，$\sqrt{3}≈1.732$
原式≈$(2.828 - 0.354)+(2.236 - 1.732)$
=$2.474 + 0.504$
≈$2.98$
(3) 分别计算各项：
$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{8}=2$，$(-1)^{2024}=1$
原式=$4 + 2 - 1=5$
【答案】
(1)2.69；(2)2.98；(3)5
【知识点】
1. 实数运算
2. 绝对值的性质
3. 根式计算
【点评】
本题主要考查实数的混合运算，分为近似计算和精确计算两类，解题时要注意运算顺序，处理绝对值时先判断内部算式的正负，近似计算要严格按照要求保留精确度，整体难度较低，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.85
9.实数$a,b,c$在数轴上的对应点如图3，化简：$\sqrt{(b-a)^2} + |b+c| + \sqrt{(a-c)^2}$
答案
9.$2b+2c-2a$
解析
【分析】
要化简这个式子，首先回忆两个核心性质：①二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，所以先将原式中的二次根式都转化为绝对值形式，原式就变为$|b-a| + |b+c| + |a-c|$；②绝对值的化简需要判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。接下来结合数轴判断数的大小关系：数轴上右边的数总比左边的数大，因此可得$a＜b＜0＜c$，再观察点到原点的距离，可知$|c|＞|b|$，由此分别判断三个绝对值内表达式的正负：$b＞a$故$b-a＞0$，$|c|＞|b|$且$c$为正、$b$为负故$b+c＞0$，$a＜c$故$a-c＜0$，最后去绝对值合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$\vert c\vert ＞ \vert b\vert$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，原式可化为：
$\vert b-a\vert + \vert b+c\vert + \vert a-c\vert$
∵ $b-a＞0$，$b+c＞0$，$a-c＜0$
∴ 去绝对值得：
$\begin{aligned}原式&=(b-a)+(b+c)-(a-c)\\&=b-a+b+c-a+c\\&=2b+2c-2a\end{aligned}$
【答案】
$2b+2c-2a$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是代数式化简的常见题型，解题的核心是结合数轴准确判断绝对值内表达式的正负，再结合相关性质去绝对值符号，化简时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.7
要化简这个式子，首先回忆两个核心性质：①二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，所以先将原式中的二次根式都转化为绝对值形式，原式就变为$|b-a| + |b+c| + |a-c|$；②绝对值的化简需要判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。接下来结合数轴判断数的大小关系：数轴上右边的数总比左边的数大，因此可得$a＜b＜0＜c$，再观察点到原点的距离，可知$|c|＞|b|$，由此分别判断三个绝对值内表达式的正负：$b＞a$故$b-a＞0$，$|c|＞|b|$且$c$为正、$b$为负故$b+c＞0$，$a＜c$故$a-c＜0$，最后去绝对值合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$\vert c\vert ＞ \vert b\vert$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，原式可化为：
$\vert b-a\vert + \vert b+c\vert + \vert a-c\vert$
∵ $b-a＞0$，$b+c＞0$，$a-c＜0$
∴ 去绝对值得：
$\begin{aligned}原式&=(b-a)+(b+c)-(a-c)\\&=b-a+b+c-a+c\\&=2b+2c-2a\end{aligned}$
【答案】
$2b+2c-2a$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是代数式化简的常见题型，解题的核心是结合数轴准确判断绝对值内表达式的正负，再结合相关性质去绝对值符号，化简时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.7
