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17[2024安徽]在凸五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，F是CD的中点.补充下列条件后，不能得到AF与CD一定垂直的是（
A.$∠ ABC=∠ AED$
B.$∠ BAF=∠ EAF$
C.$∠ BCF=∠ EDF$
D.$∠ ABD=∠ AEC$
D
）A.$∠ ABC=∠ AED$
B.$∠ BAF=∠ EAF$
C.$∠ BCF=∠ EDF$
D.$∠ ABD=∠ AEC$
答案
17. D
解析
【分析】
要判断AF是否垂直于CD，已知F是CD的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只要能证明AC=AD（即△ACD为等腰三角形），就可推出AF⊥CD，因此我们可以将问题转化为逐一判断各选项的条件能否推出AC=AD，或通过全等推导得到AF与CD的垂直关系即可。
【解析】
连接AC、AD，已知AB=AE，BC=DE，F为CD中点，故CF=DF。
选项A：在△ABC和△AED中，$\{\begin{array}{l}AB=AE\\ ∠ ABC=∠ AED\\ BC=DE\end{array} $，由SAS可证△ABC≌△AED，得AC=AD。因为F是CD中点，根据等腰三角形三线合一，可得AF⊥CD，故A不符合题意。
选项B：连接BF、EF，在△ABF和△AEF中，$\{\begin{array}{l}AB=AE\\ ∠ BAF=∠ EAF\\ AF=AF\end{array} $，由SAS可证△ABF≌△AEF，得BF=EF。在△BCF和△EDF中，$\{\begin{array}{l}BC=DE\\ CF=DF\\ BF=EF\end{array} $，由SSS可证△BCF≌△EDF，得$∠ BFC=∠ EFD$。由$∠ AFB=∠ AFE$，可得$∠ AFC=180°-∠ AFB-∠ BFC=180°-∠ AFE-∠ EFD=∠ AFD$，又$∠ AFC+∠ AFD=180°$，故$∠ AFC=∠ AFD=90°$，即AF⊥CD，故B不符合题意。
选项C：在△BCF和△EDF中，$\{\begin{array}{l}BC=DE\\ ∠ BCF=∠ EDF\\ CF=DF\end{array} $，由SAS可证△BCF≌△EDF，得BF=EF。在△ABF和△AEF中，$\{\begin{array}{l}AB=AE\\ BF=EF\\ AF=AF\end{array} $，由SSS可证△ABF≌△AEF，得$∠ AFB=∠ AFE$，同理可得$∠ AFC=∠ AFD=90°$，即AF⊥CD，故C不符合题意。
选项D：给出$∠ ABD=∠ AEC$，无法推导得到AC=AD或相关全等关系，不能证明AF⊥CD，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定，等腰三角形三线合一
【点评】
本题考查全等三角形判定与等腰三角形性质的综合应用，解题的核心是将AF⊥CD的待证结论转化为证明三角形全等或等腰三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，逐一验证选项即可得出答案。
【难度系数】
0.6
要判断AF是否垂直于CD，已知F是CD的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只要能证明AC=AD（即△ACD为等腰三角形），就可推出AF⊥CD，因此我们可以将问题转化为逐一判断各选项的条件能否推出AC=AD，或通过全等推导得到AF与CD的垂直关系即可。
【解析】
连接AC、AD，已知AB=AE，BC=DE，F为CD中点，故CF=DF。
选项A：在△ABC和△AED中，$\{\begin{array}{l}AB=AE\\ ∠ ABC=∠ AED\\ BC=DE\end{array} $，由SAS可证△ABC≌△AED，得AC=AD。因为F是CD中点，根据等腰三角形三线合一，可得AF⊥CD，故A不符合题意。
选项B：连接BF、EF，在△ABF和△AEF中，$\{\begin{array}{l}AB=AE\\ ∠ BAF=∠ EAF\\ AF=AF\end{array} $，由SAS可证△ABF≌△AEF，得BF=EF。在△BCF和△EDF中，$\{\begin{array}{l}BC=DE\\ CF=DF\\ BF=EF\end{array} $，由SSS可证△BCF≌△EDF，得$∠ BFC=∠ EFD$。由$∠ AFB=∠ AFE$，可得$∠ AFC=180°-∠ AFB-∠ BFC=180°-∠ AFE-∠ EFD=∠ AFD$，又$∠ AFC+∠ AFD=180°$，故$∠ AFC=∠ AFD=90°$，即AF⊥CD，故B不符合题意。
选项C：在△BCF和△EDF中，$\{\begin{array}{l}BC=DE\\ ∠ BCF=∠ EDF\\ CF=DF\end{array} $，由SAS可证△BCF≌△EDF，得BF=EF。在△ABF和△AEF中，$\{\begin{array}{l}AB=AE\\ BF=EF\\ AF=AF\end{array} $，由SSS可证△ABF≌△AEF，得$∠ AFB=∠ AFE$，同理可得$∠ AFC=∠ AFD=90°$，即AF⊥CD，故C不符合题意。
选项D：给出$∠ ABD=∠ AEC$，无法推导得到AC=AD或相关全等关系，不能证明AF⊥CD，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定，等腰三角形三线合一
【点评】
本题考查全等三角形判定与等腰三角形性质的综合应用，解题的核心是将AF⊥CD的待证结论转化为证明三角形全等或等腰三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，逐一验证选项即可得出答案。
【难度系数】
0.6
18 如图，P为$△ ABC$内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且点M，N分别在PA，PC的垂直平分线上。若$∠ ABC=80°$，则$∠ APC$的大小为（
A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
（第18题）
C
）A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
（第18题）答案
18. C
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到两组相等的线段，再根据等边对等角得到等角；接着利用三角形外角的性质，将△BMN的两个底角转化为与∠MPA、∠NPC相关的倍数关系；再结合三角形内角和求出这两个角的和，最后根据平角的定义即可求出∠APC的度数。
【解析】
解：
∵点M在PA的垂直平分线上，
∴MA=MP，
∴∠MAP=∠MPA，
同理，点N在PC的垂直平分线上，
∴NP=NC，
∴∠NPC=∠NCP。
∵∠BMN是△AMP的外角，
∴∠BMN=∠MAP+∠MPA=2∠MPA，
同理可得∠BNM=∠NPC+∠NCP=2∠NPC。
在△BMN中，∠ABC+∠BMN+∠BNM=180°，已知∠ABC=80°，
∴∠BMN+∠BNM=180°-80°=100°，
即2∠MPA + 2∠NPC = 100°，
化简得∠MPA + ∠NPC = 50°。
∵M、P、N三点共线，
∴∠MPA + ∠APC + ∠NPC = 180°，
∴∠APC=180°-(∠MPA + ∠NPC)=180°-50°=130°。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将线段垂直平分线、等腰三角形性质、三角形内外角关系结合考查，解题的突破口是通过外角性质搭建已知角和未知角的关联，掌握相关基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到两组相等的线段，再根据等边对等角得到等角；接着利用三角形外角的性质，将△BMN的两个底角转化为与∠MPA、∠NPC相关的倍数关系；再结合三角形内角和求出这两个角的和，最后根据平角的定义即可求出∠APC的度数。
【解析】
解：
∵点M在PA的垂直平分线上，
∴MA=MP，
∴∠MAP=∠MPA，
同理，点N在PC的垂直平分线上，
∴NP=NC，
∴∠NPC=∠NCP。
∵∠BMN是△AMP的外角，
∴∠BMN=∠MAP+∠MPA=2∠MPA，
同理可得∠BNM=∠NPC+∠NCP=2∠NPC。
在△BMN中，∠ABC+∠BMN+∠BNM=180°，已知∠ABC=80°，
∴∠BMN+∠BNM=180°-80°=100°，
即2∠MPA + 2∠NPC = 100°，
化简得∠MPA + ∠NPC = 50°。
∵M、P、N三点共线，
∴∠MPA + ∠APC + ∠NPC = 180°，
∴∠APC=180°-(∠MPA + ∠NPC)=180°-50°=130°。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将线段垂直平分线、等腰三角形性质、三角形内外角关系结合考查，解题的突破口是通过外角性质搭建已知角和未知角的关联，掌握相关基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
19 [2025宿城段考]如图,在$△ ABC$中,G是边BC上任意一点,D,E,F分别是AG,BD,CE的中点,$S_{△ ABC}=48$,则$S_{△ DEF}$的值为（
A.6
B.8
C.10
D.12
A
）A.6
B.8
C.10
D.12
答案
19. A 【解析】如图,连接$CD$.$\because D$ 是$AG$ 的中点,$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABG}$,$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ACG}$,$\therefore S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABG}+S_{△ ACG})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×48=24$,$\therefore S_{△ BCD}=S_{△ ABC}-(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=48-24=24$.$\because E$ 是$BD$ 的中点,$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×24=12$.$\because F$ 是$CE$ 的中点,$\therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{2}S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×12=6$.
解析
【分析】
本题已知大三角形面积，结合多个中点的条件求小三角形面积，解题核心是利用三角形中线平分面积的性质。首先考虑添加辅助线连接CD，搭建所求面积与已知面积的桥梁：第一步利用D是AG中点的性质，推导得到△BCD的面积；第二步利用E是BD中点的性质，推导得到△CDE的面积；第三步利用F是CE中点的性质，即可求出△DEF的面积。
【解析】
解：如图，连接$CD$。
$\because$ D是$AG$的中点，
$\therefore$ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABG}$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ACG}$，
$\therefore$ $S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABG}+S_{△ ACG})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×48=24$，
$\therefore$ $S_{△ BCD}=S_{△ ABC}-(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=48-24=24$。
$\because$ E是$BD$的中点，
$\therefore$ $S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×24=12$。
$\because$ F是$CE$的中点，
$\therefore$ $S_{△ DEF}=\frac{1}{2}S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
A
【知识点】
中线平分面积，面积和差计算，辅助线构造
【点评】
本题是三角形面积计算的常考题型，解题关键是合理添加辅助线，结合中点性质逐步推导各三角形的面积比例关系，整体逻辑链条清晰，掌握中线的面积性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
本题已知大三角形面积，结合多个中点的条件求小三角形面积，解题核心是利用三角形中线平分面积的性质。首先考虑添加辅助线连接CD，搭建所求面积与已知面积的桥梁：第一步利用D是AG中点的性质，推导得到△BCD的面积；第二步利用E是BD中点的性质，推导得到△CDE的面积；第三步利用F是CE中点的性质，即可求出△DEF的面积。
【解析】
解：如图，连接$CD$。
$\because$ D是$AG$的中点，
$\therefore$ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABG}$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ACG}$，
$\therefore$ $S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABG}+S_{△ ACG})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×48=24$，
$\therefore$ $S_{△ BCD}=S_{△ ABC}-(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=48-24=24$。
$\because$ E是$BD$的中点，
$\therefore$ $S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×24=12$。
$\because$ F是$CE$的中点，
$\therefore$ $S_{△ DEF}=\frac{1}{2}S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
A
【知识点】
中线平分面积，面积和差计算，辅助线构造
【点评】
本题是三角形面积计算的常考题型，解题关键是合理添加辅助线，结合中点性质逐步推导各三角形的面积比例关系，整体逻辑链条清晰，掌握中线的面积性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
20如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为
12.5
.答案
20. 12.5 【解析】如图,过点 $A$ 作 $AE⊥ AC$,交 $CB$ 的延长线于点 $E$,则 $∠ CAE = ∠ DAB = 90°$.$\therefore ∠ CAE-∠ CAB=∠ DAB-∠ CAB$,即$∠ BAE=∠ DAC$.$\because ∠ CAE=90°$,$\therefore ∠ ACB+∠ E=90°$.$\because ∠ DCB=90°$,$\therefore ∠ ACD+∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ E=∠ ACD$. 在$△ ABE$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} ∠ E=∠ ACD, \\ ∠ BAE=∠ DAC, \\ AB=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ ADC(\mathrm{AAS})$,$\therefore AE=AC=5$,$S_{△ ABE}=S_{△ ADC}$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ ABC}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AC· AE=\frac{1}{2}×5×5=12.5$.
解析
【分析】
本题要求不规则四边形ABCD的面积，直接套用面积公式缺少必要边长条件，因此考虑用割补法将其转化为规则图形的面积求解。已知AB=AD，∠DAB=∠DCB=90°，可通过构造全等三角形实现面积的等量转化：作辅助线AE⊥AC，利用同角的余角相等推出两组对应角相等，结合AB=AD的条件证明△ABE≌△ADC，即可将四边形面积转化为等腰直角△ACE的面积计算。
【解析】
解：过点 $A$ 作 $AE⊥ AC$，交 $CB$ 的延长线于点 $E$，则 $∠ CAE = ∠ DAB = 90°$。
$\therefore ∠ CAE-∠ CAB=∠ DAB-∠ CAB$，即$∠ BAE=∠ DAC$。
$\because ∠ CAE=90°$，$\therefore ∠ ACB+∠ E=90°$。
$\because ∠ DCB=90°$，$\therefore ∠ ACD+∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ E=∠ ACD$。
在$△ ABE$ 和$△ ADC$ 中，
$\begin{cases} ∠ E=∠ ACD, \\ ∠ BAE=∠ DAC, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=AC=5$，$S_{△ ABE}=S_{△ ADC}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ ABC}=S_{△ ACE}$。
$\because △ACE$是等腰直角三角形，
$\therefore S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AC· AE=\frac{1}{2}×5×5=12.5$。
【答案】
12.5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，核心是通过构造辅助线将不规则四边形的面积转化为易计算的等腰直角三角形面积，解题时要善于挖掘题中等线段、等角的条件，利用全等实现面积的等量代换。
【难度系数】
0.55
本题要求不规则四边形ABCD的面积，直接套用面积公式缺少必要边长条件，因此考虑用割补法将其转化为规则图形的面积求解。已知AB=AD，∠DAB=∠DCB=90°，可通过构造全等三角形实现面积的等量转化：作辅助线AE⊥AC，利用同角的余角相等推出两组对应角相等，结合AB=AD的条件证明△ABE≌△ADC，即可将四边形面积转化为等腰直角△ACE的面积计算。
【解析】
解：过点 $A$ 作 $AE⊥ AC$，交 $CB$ 的延长线于点 $E$，则 $∠ CAE = ∠ DAB = 90°$。
$\therefore ∠ CAE-∠ CAB=∠ DAB-∠ CAB$，即$∠ BAE=∠ DAC$。
$\because ∠ CAE=90°$，$\therefore ∠ ACB+∠ E=90°$。
$\because ∠ DCB=90°$，$\therefore ∠ ACD+∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ E=∠ ACD$。
在$△ ABE$ 和$△ ADC$ 中，
$\begin{cases} ∠ E=∠ ACD, \\ ∠ BAE=∠ DAC, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=AC=5$，$S_{△ ABE}=S_{△ ADC}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ ABC}=S_{△ ACE}$。
$\because △ACE$是等腰直角三角形，
$\therefore S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AC· AE=\frac{1}{2}×5×5=12.5$。
【答案】
12.5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，核心是通过构造辅助线将不规则四边形的面积转化为易计算的等腰直角三角形面积，解题时要善于挖掘题中等线段、等角的条件，利用全等实现面积的等量代换。
【难度系数】
0.55
21（易错题）[2024泗洪期中]如图，$AB=8$，$BC=10$，$CD$为射线，$∠ B=∠ C$，点$P$从点$B$出发，沿$BC$向点$C$运动，速度为1个单位长度/秒，同时点$Q$从点$C$出发，沿射线$CD$运动，速度为$x$个单位长度/秒.若在某时刻，$△ ABP$能与$△ CPQ$全等，则$x=$
1或$\frac{8}{5}$
.答案
21. 1或$\frac{8}{5}$
易错分析
21. 本题需要分 $△ ABP ≌ △ PCQ$ 与 $△ ABP ≌ △ QCP$ 两种情况讨论,容易忽视$△ ABP≌△ QCP$ 这种情况的存在.
易错分析
21. 本题需要分 $△ ABP ≌ △ PCQ$ 与 $△ ABP ≌ △ QCP$ 两种情况讨论,容易忽视$△ ABP≌△ QCP$ 这种情况的存在.
解析
【分析】
本题是全等三角形结合动点的问题，已知∠B=∠C，两个三角形全等时对应顶点未明确给出，因此需要分两种情况讨论对应边的关系：首先设运动时间为t秒，用含t的式子分别表示出BP、PC、CQ的长度，再根据不同全等情况的对应边相等列方程，即可求出x的值。
【解析】
设运动时间为t秒，由题意得：
$BP = t×1 = t$，$PC = BC - BP = 10 - t$，$CQ = xt$。
已知$∠ B=∠ C$，分两种全等情况讨论：
1. 当$△ ABP ≌ △ PCQ$时，对应边相等：$AB=PC$，$BP=CQ$
代入得：$\begin{cases}8 = 10 - t \\ t = xt\end{cases}$
解第一个方程得$t=2$，代入第二个方程得$2=2x$，解得$x=1$。
2. 当$△ ABP ≌ △ QCP$时，对应边相等：$AB=QC$，$BP=CP$
代入得：$\begin{cases}t = 10 - t \\ 8 = xt\end{cases}$
解第一个方程得$t=5$，代入第二个方程得$8=5x$，解得$x=\frac{8}{5}$。
综上，x的值为1或$\frac{8}{5}$。
【答案】
1或$\frac{8}{5}$
【知识点】
全等三角形的性质，分类讨论思想，动点问题
【点评】
本题属于全等三角形的易错题，解题的核心是当全等三角形未明确对应顶点时，要根据相等的角先确定对应角，再分情况讨论剩余边的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是全等三角形结合动点的问题，已知∠B=∠C，两个三角形全等时对应顶点未明确给出，因此需要分两种情况讨论对应边的关系：首先设运动时间为t秒，用含t的式子分别表示出BP、PC、CQ的长度，再根据不同全等情况的对应边相等列方程，即可求出x的值。
【解析】
设运动时间为t秒，由题意得：
$BP = t×1 = t$，$PC = BC - BP = 10 - t$，$CQ = xt$。
已知$∠ B=∠ C$，分两种全等情况讨论：
1. 当$△ ABP ≌ △ PCQ$时，对应边相等：$AB=PC$，$BP=CQ$
代入得：$\begin{cases}8 = 10 - t \\ t = xt\end{cases}$
解第一个方程得$t=2$，代入第二个方程得$2=2x$，解得$x=1$。
2. 当$△ ABP ≌ △ QCP$时，对应边相等：$AB=QC$，$BP=CP$
代入得：$\begin{cases}t = 10 - t \\ 8 = xt\end{cases}$
解第一个方程得$t=5$，代入第二个方程得$8=5x$，解得$x=\frac{8}{5}$。
综上，x的值为1或$\frac{8}{5}$。
【答案】
1或$\frac{8}{5}$
【知识点】
全等三角形的性质，分类讨论思想，动点问题
【点评】
本题属于全等三角形的易错题，解题的核心是当全等三角形未明确对应顶点时，要根据相等的角先确定对应角，再分情况讨论剩余边的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
22 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2$,$∠ B=40°$,点 D 在线段 BC 上运动(不与点 B,C 重合),连接 AD,作$∠ ADE=40°$,DE 交线段 AC 于点 E.
(1) 当$DC=2$时,求证:$△ ABD ≌ △ DCE$.
(2)分类讨论思想 在点 D 的运动过程中,$△ ADE$的形状也在改变,当$∠ BAD$的大小为多少时,$△ ADE$是等腰三角形? 请说明理由.
(1) 当$DC=2$时,求证:$△ ABD ≌ △ DCE$.
(2)
答案
22. (1) $\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C$.$\because ∠ ADC$ 是$△ ABD$ 的外角,$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$,即$∠ ADE+∠ CDE=∠ B+∠ BAD$.$\because ∠ B=40°$,$∠ ADE=40°$,$\therefore ∠ BAD=∠ CDE$.$\because AB=2$,$DC=2$,$\therefore AB = DC$. 在 $△ ABD$ 和 $△ DCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CDE, \\ AB=DC, \\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$
(2) 当$∠ BAD$ 的大小为 $30°$或 $60°$时,$△ ADE$ 是等腰三角形 理由:$\because$ 在$△ ABC$ 中,$AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C=40°$.① 若 $AD=AE$,则$∠ AED=∠ ADE=40°$.$\because ∠ AED$ 是$△ DEC$ 的外角,$\therefore ∠ AED=∠ EDC+∠ C$,$\therefore ∠ EDC=0°$,此时点 $D,B$ 重合,不符合题意,舍去.② 若 $AD=ED$,则$∠ DAE=∠ DEA=\frac{1}{2}(180°-∠ ADE)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$.$\because ∠ AED=∠ EDC+∠ C$,$\therefore ∠ EDC=30°$,$\therefore ∠ BAD=∠ EDC=30°$.③ 若 $AE=DE$,则$∠ DAE=∠ ADE=40°$.$\because △ ABC$ 的内角和为 $180°$,$\therefore ∠ BAC=180°-2×40°=100°$,$\therefore ∠ BAD=100°-40°=60°$.综上所述,当$∠ BAD$ 的大小为 $30°$或 $60°$时,$△ ADE$ 是等腰三角形.
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CDE, \\ AB=DC, \\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$
(2) 当$∠ BAD$ 的大小为 $30°$或 $60°$时,$△ ADE$ 是等腰三角形 理由:$\because$ 在$△ ABC$ 中,$AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C=40°$.① 若 $AD=AE$,则$∠ AED=∠ ADE=40°$.$\because ∠ AED$ 是$△ DEC$ 的外角,$\therefore ∠ AED=∠ EDC+∠ C$,$\therefore ∠ EDC=0°$,此时点 $D,B$ 重合,不符合题意,舍去.② 若 $AD=ED$,则$∠ DAE=∠ DEA=\frac{1}{2}(180°-∠ ADE)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$.$\because ∠ AED=∠ EDC+∠ C$,$\therefore ∠ EDC=30°$,$\therefore ∠ BAD=∠ EDC=30°$.③ 若 $AE=DE$,则$∠ DAE=∠ ADE=40°$.$\because △ ABC$ 的内角和为 $180°$,$\therefore ∠ BAC=180°-2×40°=100°$,$\therefore ∠ BAD=100°-40°=60°$.综上所述,当$∠ BAD$ 的大小为 $30°$或 $60°$时,$△ ADE$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ABD ≌ △ DCE$，首先由$AB=AC$可得$∠ B=∠ C$，结合已知$AB=DC=2$，只需再推导一组对应角相等即可。利用三角形外角性质，$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，可得$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，结合$∠ ADE=∠ B=40°$，可推出$∠ BAD=∠ CDE$，满足ASA全等判定条件即可完成证明。
(2) $△ ADE$为等腰三角形时腰底不明确，需分三种情况分类讨论：①$AD=AE$；②$AD=ED$；③$AE=DE$。结合三角形内角和定理、外角性质分别计算$∠ BAD$的度数，再排除点$D$与$B$、$C$重合的不符合题意的情况，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，即$∠ ADE+∠ CDE=∠ B+∠ BAD$。
$\because ∠ B=40°$，$∠ ADE=40°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CDE$。
$\because AB=2$，$DC=2$，
$\therefore AB = DC$。
在 $△ ABD$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CDE, \\ AB=DC, \\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：当$∠ BAD$的大小为$30°$或$60°$时，$△ ADE$是等腰三角形，理由如下：
$\because$在$△ ABC$中，$AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C=40°$，$∠ BAC=180°-2×40°=100°$。
分三种情况讨论：
① 若$AD=AE$，则$∠ AED=∠ ADE=40°$。
$\because ∠ AED$是$△ DEC$的外角，
$\therefore ∠ AED=∠ EDC+∠ C$，
$\therefore ∠ EDC=∠ AED-∠ C=40°-40°=0°$，此时点$D$与点$B$重合，不符合题意，舍去。
② 若$AD=ED$，则$∠ DAE=∠ DEA=\frac{1}{2}(180°-∠ ADE)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$。
$\because ∠ AED=∠ EDC+∠ C$，
$\therefore ∠ EDC=∠ AED-∠ C=70°-40°=30°$，
由(1)的推导可知$∠ BAD=∠ EDC=30°$。
③ 若$AE=DE$，则$∠ DAE=∠ ADE=40°$。
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC-∠ DAE=100°-40°=60°$。
综上所述，当$∠ BAD$的大小为$30°$或$60°$时，$△ ADE$是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $30°$或$60°$
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是几何综合题，综合考查全等三角形证明和等腰三角形的分类讨论，解题时要灵活运用三角形角度相关性质推导关系，分类讨论时需结合题目的限制条件排除不符合题意的情况，避免错解、漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$△ ABD ≌ △ DCE$，首先由$AB=AC$可得$∠ B=∠ C$，结合已知$AB=DC=2$，只需再推导一组对应角相等即可。利用三角形外角性质，$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，可得$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，结合$∠ ADE=∠ B=40°$，可推出$∠ BAD=∠ CDE$，满足ASA全等判定条件即可完成证明。
(2) $△ ADE$为等腰三角形时腰底不明确，需分三种情况分类讨论：①$AD=AE$；②$AD=ED$；③$AE=DE$。结合三角形内角和定理、外角性质分别计算$∠ BAD$的度数，再排除点$D$与$B$、$C$重合的不符合题意的情况，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，即$∠ ADE+∠ CDE=∠ B+∠ BAD$。
$\because ∠ B=40°$，$∠ ADE=40°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CDE$。
$\because AB=2$，$DC=2$，
$\therefore AB = DC$。
在 $△ ABD$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CDE, \\ AB=DC, \\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：当$∠ BAD$的大小为$30°$或$60°$时，$△ ADE$是等腰三角形，理由如下：
$\because$在$△ ABC$中，$AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C=40°$，$∠ BAC=180°-2×40°=100°$。
分三种情况讨论：
① 若$AD=AE$，则$∠ AED=∠ ADE=40°$。
$\because ∠ AED$是$△ DEC$的外角，
$\therefore ∠ AED=∠ EDC+∠ C$，
$\therefore ∠ EDC=∠ AED-∠ C=40°-40°=0°$，此时点$D$与点$B$重合，不符合题意，舍去。
② 若$AD=ED$，则$∠ DAE=∠ DEA=\frac{1}{2}(180°-∠ ADE)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$。
$\because ∠ AED=∠ EDC+∠ C$，
$\therefore ∠ EDC=∠ AED-∠ C=70°-40°=30°$，
由(1)的推导可知$∠ BAD=∠ EDC=30°$。
③ 若$AE=DE$，则$∠ DAE=∠ ADE=40°$。
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC-∠ DAE=100°-40°=60°$。
综上所述，当$∠ BAD$的大小为$30°$或$60°$时，$△ ADE$是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $30°$或$60°$
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是几何综合题，综合考查全等三角形证明和等腰三角形的分类讨论，解题时要灵活运用三角形角度相关性质推导关系，分类讨论时需结合题目的限制条件排除不符合题意的情况，避免错解、漏解。
【难度系数】
0.6
