三、解答题(共52分)
9.(17分)(2025·工业园区期中)如图,AB是$\odot O$的直径,D是弦AC的延长线上一点,且$CD=AC$,DB的延长线交$\odot O$于点E.
(1)求证:$CD=CE$;
(2)连接AE,若$∠D=26°$,求$∠BAE$的度数.

9.(1)证明:连接BC,如答图,
∵AB是$\odot O$的直径,
∴$∠ACB=90°$,即$BC⊥AD$.
∵$CD=AC$,则BC垂直平分AD,
∴$AB=BD$,
∴$∠BAD=∠D$.
∵$∠BAD=∠BEC$,
∴$∠BEC=∠D$,
∴$CD=CE$.
(2)解:
∵$∠D=26°$,
∴$∠BAC=∠D=26°$.
∵$∠ABE$是$△ABD$的一个外角,
∴$∠ABE=∠BAC+∠D=52°$.
∵AB是$\odot O$的直径,
∴$∠AEB=90°$,
∴$∠BAE=90°-∠ABE=90°-52°=38°$.

10.(17分)如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为16 m,拱高($\overset{\frown}{AB}$的中点C到弦AB的距离)CD为4 m.有一艘宽为10 m的货船,船舱顶部为长方形,并高出水面2 m,则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥,并说明理由.

10.解:此货船能顺利通过这座拱桥.
理由:如答图,设圆弧形拱桥所在圆的圆心为O,则点O在CD的延长线上,连接OB.
∵$OC⊥AB$,
∴D为AB的中点.
∵$AB=16\ \mathrm{m}$,
∴$BD=\frac{1}{2}AB=8\ \mathrm{m}$.
又
∵$CD=4\ \mathrm{m}$,
设$OB=OC=r\ \mathrm{m}$,则$OD=(r-4)\mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△BOD$中,根据勾股定理,得$r^2=(r-4)^2+8^2$,解得$r=10$,
∴圆弧形拱桥所在圆的半径为10 m.
如答图,连接ON.
∵$CD=4\ \mathrm{m}$,船舱顶部为长方形并高出水面2 m,
∴$CE=4-2=2(\mathrm{m})$,
∴$OE=10-2=8(\mathrm{m})$.
在$\mathrm{Rt}△OEN$中,
∴$EN=\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{m})$.
∴$MN=2EN=2×6=12(\mathrm{m})$.
∵$12\ \mathrm{m}＞10\ \mathrm{m}$,
∴此货船能顺利通过这座拱桥.

11.(18分)(2025·盐城一模)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$为边$AC$上的点,以$AD$为直径作$\odot O$交$AB$于点$F$,连接$BD$并延长交$\odot O$于点$E$,连接$CE$,$CE=BC$.
(1)求证:$CE$是$\odot O$的切线;
(2)若$CD=1$,$BC=3$,求点$D$到$AB$的距离.

11.(1)证明:如答图,连接OE.
∵$OD=OE$,
∴$∠OED=∠ODE$.
∵$∠BDC=∠ODE$,
∴$∠BDC=∠OED$.
∵$∠ACB=90°$,
∴$∠CBE+∠BDC=90°$.
∵$CE=BC$,
∴$∠CBE=∠CEB$,
∴$∠CBE+∠BDC=∠CEB+∠OED$,
∴$∠OEC=90°$,即$OE⊥CE$.
∵OE是$\odot O$的半径.
∴$CE$是$\odot O$的切线.
(2)解:如答图,连接DF.
设$\odot O$的半径为r,则$OD=OE=r$,$OC=OD+CD=r+1$.
在$\mathrm{Rt}△OCE$中,$OE^2+CE^2=OC^2$,
∵$BC=CE=3$,
∴$r^2+3^2=(r+1)^2$,解得$r=4$,
∴$AD=8$,$AC=9$.
在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$.
∵AD为$\odot O$的直径,
∴$DF⊥AB$.
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BDC}$,
∴$\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}AB×DF+\frac{1}{2}CD×BC$,
即$\frac{1}{2}×9×3=\frac{1}{2}×3\sqrt{10}×DF+\frac{1}{2}×1×3$,解得$DF=\frac{4\sqrt{10}}{5}$,
即点D到AB的距离为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$.