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1（2025常州天宁期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段AB的两个端点都在小正方形的顶点上，则线段AB的长不可能是（
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{10}$
（第1题）
C
）A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{10}$
（第1题）答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确网格中两点之间的线段长度可以用勾股定理计算：若两个端点横向相差m个单位、纵向相差n个单位（m、n均为非负整数），则线段长度为$\sqrt{m^2+n^2}$。因此我们只需判断每个选项的被开方数是否可以写成两个非负整数的平方和，即可判断该长度是否可能。
【解析】
设线段AB两个端点的横向格数差为$m$，纵向格数差为$n$（$m$、$n$为非负整数），根据勾股定理可得$AB=\sqrt{m^2+n^2}$。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{2}$，被开方数$2=1^2+1^2$，取$m=1,n=1$即可得到，故该长度可能；
选项B：$\sqrt{5}$，被开方数$5=1^2+2^2$，取$m=1,n=2$即可得到，故该长度可能；
选项C：$\sqrt{7}$，被开方数7无法拆成两个非负整数的平方和（$1^2+(\sqrt{6})^2$、$2^2+(\sqrt{3})^2$均不符合要求，$3^2=9＞7$），故该长度不可能；
选项D：$\sqrt{10}$，被开方数$10=1^2+3^2$，取$m=1,n=3$即可得到，故该长度可能。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；网格线段长度计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是将网格中线段长度转化为直角三角形的斜边，通过拆分被开方数快速判断可能性，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确网格中两点之间的线段长度可以用勾股定理计算：若两个端点横向相差m个单位、纵向相差n个单位（m、n均为非负整数），则线段长度为$\sqrt{m^2+n^2}$。因此我们只需判断每个选项的被开方数是否可以写成两个非负整数的平方和，即可判断该长度是否可能。
【解析】
设线段AB两个端点的横向格数差为$m$，纵向格数差为$n$（$m$、$n$为非负整数），根据勾股定理可得$AB=\sqrt{m^2+n^2}$。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{2}$，被开方数$2=1^2+1^2$，取$m=1,n=1$即可得到，故该长度可能；
选项B：$\sqrt{5}$，被开方数$5=1^2+2^2$，取$m=1,n=2$即可得到，故该长度可能；
选项C：$\sqrt{7}$，被开方数7无法拆成两个非负整数的平方和（$1^2+(\sqrt{6})^2$、$2^2+(\sqrt{3})^2$均不符合要求，$3^2=9＞7$），故该长度不可能；
选项D：$\sqrt{10}$，被开方数$10=1^2+3^2$，取$m=1,n=3$即可得到，故该长度可能。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；网格线段长度计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是将网格中线段长度转化为直角三角形的斜边，通过拆分被开方数快速判断可能性，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
2 (2025徐州邳州期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,$AC=9$,$BC=12$,则$CD$的长为 (
A.3
B.4.5
C.6
D.7.5
B
)A.3
B.4.5
C.6
D.7.5
答案
2.B
解析
【分析】
已知△ABC是直角三角形，AD是∠BAC的角平分线，求解CD的长度可按以下思路思考：①根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作DE⊥AB于E，可得CD=DE，且AC=AE；②先利用勾股定理算出AB的总长度，进而得到BE的长度；③设CD为x，用含x的式子表示BD的长度，在Rt△BDE中根据勾股定理列方程，解方程即可得到CD的长度。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，且Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=9。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$，
∴BE=AB-AE=15-9=6。
设CD=x，则DE=x，BD=12-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$DE^2+BE^2=BD^2$，即$x^2+6^2=(12-x)^2$，
展开得：$x^2+36=144-24x+x^2$，
化简得：$24x=108$，
解得：$x=4.5$，即CD=4.5。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；方程思想求线段长
【点评】
本题是角平分线性质与勾股定理结合的典型应用题型，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，结合方程思想求解线段长度，考查了学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
已知△ABC是直角三角形，AD是∠BAC的角平分线，求解CD的长度可按以下思路思考：①根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作DE⊥AB于E，可得CD=DE，且AC=AE；②先利用勾股定理算出AB的总长度，进而得到BE的长度；③设CD为x，用含x的式子表示BD的长度，在Rt△BDE中根据勾股定理列方程，解方程即可得到CD的长度。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，且Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=9。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$，
∴BE=AB-AE=15-9=6。
设CD=x，则DE=x，BD=12-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$DE^2+BE^2=BD^2$，即$x^2+6^2=(12-x)^2$，
展开得：$x^2+36=144-24x+x^2$，
化简得：$24x=108$，
解得：$x=4.5$，即CD=4.5。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；方程思想求线段长
【点评】
本题是角平分线性质与勾股定理结合的典型应用题型，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，结合方程思想求解线段长度，考查了学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3（2025扬州广陵期中）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=15$，$AC=20$，$CD⊥ AB$于点$D$，$E$是$AB$的中点，则$DE$的长为
3.5
。答案
3.3.5
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形两条直角边入手，第一步用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到BE的长度，再用等面积法求出斜边上的高CD的长度，随后在Rt△BCD中用勾股定理算出BD的长度；最后通过BE与BD的差即可求出DE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=15$，$AC=20$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25$
因为E是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此：
$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×25=12.5$
又$CD⊥ AB$，利用三角形面积相等可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$
代入数值计算：$\frac{1}{2}×20×15=\frac{1}{2}×25× CD$，解得$CD=12$
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
因此$DE=BE-BD=12.5-9=3.5$
【答案】
3.5
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，等面积法
【点评】
本题是勾股定理在直角三角形中的典型应用，核心是通过等面积法搭建边与高的关系，再结合勾股定理和直角三角形的性质求解线段长度，能较好地考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的直角三角形两条直角边入手，第一步用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到BE的长度，再用等面积法求出斜边上的高CD的长度，随后在Rt△BCD中用勾股定理算出BD的长度；最后通过BE与BD的差即可求出DE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=15$，$AC=20$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25$
因为E是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此：
$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×25=12.5$
又$CD⊥ AB$，利用三角形面积相等可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$
代入数值计算：$\frac{1}{2}×20×15=\frac{1}{2}×25× CD$，解得$CD=12$
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
因此$DE=BE-BD=12.5-9=3.5$
【答案】
3.5
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，等面积法
【点评】
本题是勾股定理在直角三角形中的典型应用，核心是通过等面积法搭建边与高的关系，再结合勾股定理和直角三角形的性质求解线段长度，能较好地考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4（2025南京鼓楼期中）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以$AC$，$BC$为边分别作正方形$ACDE$和正方形$BCGF$，若图中阴影部分的面积为$16$，$S_{△ ABC}=5$，则$BD$的长为
6
。答案
4.6
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据阴影部分是两个正方形，得出阴影面积等于两个正方形面积之和，也就是$AC^2+BC^2$的值；第二步，利用直角三角形的面积公式求出$AC·BC$的值；第三步，结合正方形的内角为$90°$，判断出$D、C、B$三点共线，得到$BD=AC+BC$；第四步，用完全平方公式计算$(AC+BC)^2$，开方后即可得到$BD$的长度。
【解析】
解：
∵ 四边形$ACDE$、$BCGF$均为正方形
∴ $S_{正方形ACDE}=AC^2$，$S_{正方形BCGF}=BC^2$，$CD=AC$，$∠ ACD=90°$
由题意得阴影面积为两个正方形面积和，即$AC^2+BC^2=16$
∵ $Rt△ ABC$中，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=5$
∴ $AC·BC=10$
又
∵ $∠ ACB=90°$，$∠ ACD=90°$
∴ $∠ ACD+∠ ACB=180°$，即$D、C、B$三点共线
∴ $BD=CD+BC=AC+BC$
根据完全平方公式：
$(AC+BC)^2=AC^2+2AC·BC+BC^2$
代入$AC^2+BC^2=16$，$AC·BC=10$得：
$(AC+BC)^2=16+2×10=36$
∵ 线段长度为正，
∴ $AC+BC=6$，即$BD=6$
【答案】
6
【知识点】
正方形的性质，完全平方公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题的解题突破口是判断出$D、C、B$三点共线，将求$BD$的长度转化为求$AC$与$BC$的和，再结合完全平方公式即可求解，解题时注意线段长度为正数，开方只取正根。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步，先根据阴影部分是两个正方形，得出阴影面积等于两个正方形面积之和，也就是$AC^2+BC^2$的值；第二步，利用直角三角形的面积公式求出$AC·BC$的值；第三步，结合正方形的内角为$90°$，判断出$D、C、B$三点共线，得到$BD=AC+BC$；第四步，用完全平方公式计算$(AC+BC)^2$，开方后即可得到$BD$的长度。
【解析】
解：
∵ 四边形$ACDE$、$BCGF$均为正方形
∴ $S_{正方形ACDE}=AC^2$，$S_{正方形BCGF}=BC^2$，$CD=AC$，$∠ ACD=90°$
由题意得阴影面积为两个正方形面积和，即$AC^2+BC^2=16$
∵ $Rt△ ABC$中，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=5$
∴ $AC·BC=10$
又
∵ $∠ ACB=90°$，$∠ ACD=90°$
∴ $∠ ACD+∠ ACB=180°$，即$D、C、B$三点共线
∴ $BD=CD+BC=AC+BC$
根据完全平方公式：
$(AC+BC)^2=AC^2+2AC·BC+BC^2$
代入$AC^2+BC^2=16$，$AC·BC=10$得：
$(AC+BC)^2=16+2×10=36$
∵ 线段长度为正，
∴ $AC+BC=6$，即$BD=6$
【答案】
6
【知识点】
正方形的性质，完全平方公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题的解题突破口是判断出$D、C、B$三点共线，将求$BD$的长度转化为求$AC$与$BC$的和，再结合完全平方公式即可求解，解题时注意线段长度为正数，开方只取正根。
【难度系数】
0.65
5 教材P100探究·变式 在如下的数轴上确定表示$\sqrt{10}$的点M. 
答案
5. 解:在数轴上画出点B表示3,作AB垂直于x轴,截取$AB=1$,由勾股定理,得$OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,在数轴上用圆规截取$OM=OA$,点M表示的数就是$\sqrt{10}$。
解析
【分析】
要在数轴上表示$\sqrt{10}$，首先根据勾股定理，思考哪两个正整数的平方和等于10，易得$3^2+1^2=10$，因此$\sqrt{10}$可看作直角边长分别为3、1的直角三角形的斜边长。接下来我们可以先在数轴正半轴上找到表示3的点，过该点作数轴的垂线，截取长度为1的垂线段，构造出斜边长为$\sqrt{10}$的直角三角形；最后以原点为圆心、斜边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{10}$的点。
【解析】
步骤1：在数轴正半轴上取点B，使点B表示的数为3；
步骤2：过点B作AB垂直于数轴，截取$AB=1$；
步骤3：连接OA，在$Rt△ OAB$中，根据勾股定理得：$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
步骤4：以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴正半轴于点M，此时$OM=OA=\sqrt{10}$，点M即为所求。
【答案】
解:在数轴上画出点B表示3,作AB垂直于x轴,截取$AB=1$,由勾股定理,得$OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,在数轴上用圆规截取$OM=OA$,点M表示的数就是$\sqrt{10}$。
【知识点】
勾股定理，数轴表示数，尺规作图
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，核心是利用勾股定理构造出长度为无理数的线段，再通过尺规作图将无理数对应到数轴上的点，掌握这类构造方法能帮助我们理解无理数的几何意义。
【难度系数】
0.8
要在数轴上表示$\sqrt{10}$，首先根据勾股定理，思考哪两个正整数的平方和等于10，易得$3^2+1^2=10$，因此$\sqrt{10}$可看作直角边长分别为3、1的直角三角形的斜边长。接下来我们可以先在数轴正半轴上找到表示3的点，过该点作数轴的垂线，截取长度为1的垂线段，构造出斜边长为$\sqrt{10}$的直角三角形；最后以原点为圆心、斜边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{10}$的点。
【解析】
步骤1：在数轴正半轴上取点B，使点B表示的数为3；
步骤2：过点B作AB垂直于数轴，截取$AB=1$；
步骤3：连接OA，在$Rt△ OAB$中，根据勾股定理得：$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
步骤4：以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴正半轴于点M，此时$OM=OA=\sqrt{10}$，点M即为所求。
【答案】
解:在数轴上画出点B表示3,作AB垂直于x轴,截取$AB=1$,由勾股定理,得$OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,在数轴上用圆规截取$OM=OA$,点M表示的数就是$\sqrt{10}$。
【知识点】
勾股定理，数轴表示数，尺规作图
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，核心是利用勾股定理构造出长度为无理数的线段，再通过尺规作图将无理数对应到数轴上的点，掌握这类构造方法能帮助我们理解无理数的几何意义。
【难度系数】
0.8
6（2025宿迁经济开发区期中）如图，在$△ ABC$中，已知$AB=13$，$CD=12$，$AD=15$，$△ ADC$的面积是72，求$BD$的长。
答案
6. 解:过点A作$AE⊥BC$于E.
因为$△ADC$的面积是72,$CD=12$,
所以$\frac{1}{2}×12×AE=72$,解得$AE=12$.
在$Rt△ABE$中,$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$；
在$Rt△ADE$中,$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$,
所以$BD=BE+DE=5+9=14$.
因为$△ADC$的面积是72,$CD=12$,
所以$\frac{1}{2}×12×AE=72$,解得$AE=12$.
在$Rt△ABE$中,$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$；
在$Rt△ADE$中,$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$,
所以$BD=BE+DE=5+9=14$.
解析
【分析】
解题时首先从已知的△ADC的面积和底边CD的长度入手，先过点A作BC边上的高AE，利用三角形面积公式即可求出高AE的长度；此时可得到Rt△ABE和Rt△ADE两个直角三角形，再分别在这两个直角三角形中运用勾股定理求出BE和DE的长度，最后将BE与DE相加即可得到BD的长度。
【解析】
过点A作$AE⊥BC$于E。
因为$△ADC$的面积是72，$CD=12$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×CD×AE=72$，即$\frac{1}{2}×12×AE=72$，解得$AE=12$。
在$Rt△ABE$中，$AB=13$，$AE=12$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$；
在$Rt△ADE$中，$AD=15$，$AE=12$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$；
所以$BD=BE+DE=5+9=14$。
【答案】
14
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理，构造直角三角形
【点评】
本题考查结合三角形面积公式与勾股定理求解线段长度，解题的关键是通过作高构造直角三角形，将待求线段拆分为两个直角三角形的边分别计算，需要熟练掌握勾股定理的适用条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的△ADC的面积和底边CD的长度入手，先过点A作BC边上的高AE，利用三角形面积公式即可求出高AE的长度；此时可得到Rt△ABE和Rt△ADE两个直角三角形，再分别在这两个直角三角形中运用勾股定理求出BE和DE的长度，最后将BE与DE相加即可得到BD的长度。
【解析】
过点A作$AE⊥BC$于E。
因为$△ADC$的面积是72，$CD=12$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×CD×AE=72$，即$\frac{1}{2}×12×AE=72$，解得$AE=12$。
在$Rt△ABE$中，$AB=13$，$AE=12$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$；
在$Rt△ADE$中，$AD=15$，$AE=12$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$；
所以$BD=BE+DE=5+9=14$。
【答案】
14
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理，构造直角三角形
【点评】
本题考查结合三角形面积公式与勾股定理求解线段长度，解题的关键是通过作高构造直角三角形，将待求线段拆分为两个直角三角形的边分别计算，需要熟练掌握勾股定理的适用条件。
【难度系数】
0.7
