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1 对于数据1,2,3,以下关于它的离差平方和说法正确的是 （
A.计算时先求平均数
B.离差平方和为1
C.计算离差平方和只用到部分数据
D.离差平方和为3
A
）A.计算时先求平均数
B.离差平方和为1
C.计算离差平方和只用到部分数据
D.离差平方和为3
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确离差平方和的定义和计算逻辑：离差平方和是一组数据中每个数据与该组平均数的差的平方之和，因此计算时第一步必须先求出数据的平均数，再依次计算每个数据的离差、离差的平方，最后求和得到结果。我们可以按照这个流程计算数据1,2,3的离差平方和，再逐一判断选项正误即可。
【解析】
步骤1：计算该组数据的平均数
$\bar{x}=\frac{1+2+3}{3}=2$
步骤2：计算离差平方和
离差平方和$=(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2=(-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2$
步骤3：逐个判断选项
A选项：离差是数据与平均数的差值，因此计算离差平方和必须先求平均数，该说法正确；
B选项：计算得离差平方和为2，不是1，该说法错误；
C选项：计算平均数、计算每个数据的离差都需要用到全部数据，该说法错误；
D选项：离差平方和为2，不是3，该说法错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.离差平方和的计算
2.平均数的计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记离差平方和的计算步骤，只要掌握基础概念、细心计算就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确离差平方和的定义和计算逻辑：离差平方和是一组数据中每个数据与该组平均数的差的平方之和，因此计算时第一步必须先求出数据的平均数，再依次计算每个数据的离差、离差的平方，最后求和得到结果。我们可以按照这个流程计算数据1,2,3的离差平方和，再逐一判断选项正误即可。
【解析】
步骤1：计算该组数据的平均数
$\bar{x}=\frac{1+2+3}{3}=2$
步骤2：计算离差平方和
离差平方和$=(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2=(-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2$
步骤3：逐个判断选项
A选项：离差是数据与平均数的差值，因此计算离差平方和必须先求平均数，该说法正确；
B选项：计算得离差平方和为2，不是1，该说法错误；
C选项：计算平均数、计算每个数据的离差都需要用到全部数据，该说法错误；
D选项：离差平方和为2，不是3，该说法错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.离差平方和的计算
2.平均数的计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记离差平方和的计算步骤，只要掌握基础概念、细心计算就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
2 [2024 常熟市期末]袁隆平海水稻科研团队从甲、乙两种水稻苗中随机抽取部分稻苗测量苗高，算得它们的方差分别为$s_{甲}^{2}=3.4$，$s_{乙}^{2}=5.3$，则这两种水稻长势更整齐的是
甲
（填“甲”或“乙”）。答案
2.甲
解析
【分析】
解题时首先要明确方差的统计意义：方差是用来衡量一组数据波动程度的统计量，方差越小，说明数据的离散程度越小，数据越稳定，对应本题中就代表稻苗的长势越整齐。接下来只需比较甲、乙两种稻苗的方差大小，就能判断哪种长势更整齐。
【解析】
解：方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，长势就越整齐。
已知$s_{甲}^{2}=3.4$，$s_{乙}^{2}=5.3$，
可得$s_{甲}^{2}＜s_{乙}^{2}$，
因此甲种水稻的长势更整齐。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，牢记“方差越小，数据越稳定”的性质是解题的关键，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确方差的统计意义：方差是用来衡量一组数据波动程度的统计量，方差越小，说明数据的离散程度越小，数据越稳定，对应本题中就代表稻苗的长势越整齐。接下来只需比较甲、乙两种稻苗的方差大小，就能判断哪种长势更整齐。
【解析】
解：方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，长势就越整齐。
已知$s_{甲}^{2}=3.4$，$s_{乙}^{2}=5.3$，
可得$s_{甲}^{2}＜s_{乙}^{2}$，
因此甲种水稻的长势更整齐。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，牢记“方差越小，数据越稳定”的性质是解题的关键，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
3 [2025 昆山市段考]一组数据的方差计算如下：$s^2=\frac{1}{4}[(3-\overline{x})^2+(4-\overline{x})^2+(4-\overline{x})^2+(5-\overline{x})^2]$，
则这组数据的方差$s^2=$
则这组数据的方差$s^2=$
$\frac{1}{2}$
。答案
3.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先从题目给出的方差表达式中提取出这组数据的所有数值，明确数据总个数；接着先计算这组数据的平均数$\overline{x}$，再将平均数代入给定的方差公式计算，就能得到方差的结果。
【解析】
1. 提取原始数据：由方差公式可知，这组数据为3、4、4、5，共4个数据。
2. 计算平均数：
$\overline{x}=\frac{3+4+4+5}{4}=\frac{16}{4}=4$
3. 代入方差公式计算：
$s^2=\frac{1}{4}[(3-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2]$
$=\frac{1}{4}[(-1)^2+0^2+0^2+1^2]$
$=\frac{1}{4}×(1+0+0+1)$
$=\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 平均数计算
2. 方差的计算
【点评】
本题是方差相关的基础题型，解题关键是熟悉方差公式的结构，能从给定的方差表达式中提取原始数据，先求平均数再代入计算即可，掌握基础公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先从题目给出的方差表达式中提取出这组数据的所有数值，明确数据总个数；接着先计算这组数据的平均数$\overline{x}$，再将平均数代入给定的方差公式计算，就能得到方差的结果。
【解析】
1. 提取原始数据：由方差公式可知，这组数据为3、4、4、5，共4个数据。
2. 计算平均数：
$\overline{x}=\frac{3+4+4+5}{4}=\frac{16}{4}=4$
3. 代入方差公式计算：
$s^2=\frac{1}{4}[(3-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2]$
$=\frac{1}{4}[(-1)^2+0^2+0^2+1^2]$
$=\frac{1}{4}×(1+0+0+1)$
$=\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 平均数计算
2. 方差的计算
【点评】
本题是方差相关的基础题型，解题关键是熟悉方差公式的结构，能从给定的方差表达式中提取原始数据，先求平均数再代入计算即可，掌握基础公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
4 [2024 凉山]在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如图所示。设甲、乙两个团女演员身高的方差分别为$s^2_甲$，$s^2_乙$，则$s^2_甲$
＜
$s^2_乙$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
4.＜
解析
【分析】
要比较两个团身高的方差大小，首先明确方差的意义：方差是反映一组数据波动大小的量，数据波动越小，方差越小；波动越大，方差越大。接下来观察折线统计图中两条折线的起伏程度：折线越平缓，说明对应的数据波动越小，方差就越小，通过对比甲、乙折线的波动情况即可得出结论。
【解析】
方差的作用是衡量一组数据的离散程度：一组数据的波动幅度越小，稳定性越高，方差就越小。
观察折线统计图可得：甲芭蕾舞团女演员身高的折线整体更平缓，身高数据的波动更小；乙团的身高折线起伏更大，数据波动更大。因此甲团身高的方差小于乙团身高的方差，即$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
【答案】
＜
【知识点】
折线统计图；方差的意义
【点评】
本题考查方差和折线统计图的结合应用，不需要复杂计算，掌握“数据波动越小，方差越小”的规律，通过观察折线起伏就能快速解题，是统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要比较两个团身高的方差大小，首先明确方差的意义：方差是反映一组数据波动大小的量，数据波动越小，方差越小；波动越大，方差越大。接下来观察折线统计图中两条折线的起伏程度：折线越平缓，说明对应的数据波动越小，方差就越小，通过对比甲、乙折线的波动情况即可得出结论。
【解析】
方差的作用是衡量一组数据的离散程度：一组数据的波动幅度越小，稳定性越高，方差就越小。
观察折线统计图可得：甲芭蕾舞团女演员身高的折线整体更平缓，身高数据的波动更小；乙团的身高折线起伏更大，数据波动更大。因此甲团身高的方差小于乙团身高的方差，即$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
【答案】
＜
【知识点】
折线统计图；方差的意义
【点评】
本题考查方差和折线统计图的结合应用，不需要复杂计算，掌握“数据波动越小，方差越小”的规律，通过观察折线起伏就能快速解题，是统计部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
5 [2024 吴江区期中]某种零件的标准直径为 10 mm，从甲、乙两台机床加工的这种零件中各抽取5件，对其直径进行检测，结果如下(单位:mm):
甲机床:10.05,10.02,9.97,9.96,10.00；
乙机床:10.00,10.01,10.02,9.97,10.00.
(1) 分别求这两个样本的方差；
(2) 估计哪一台机床的产品质量比较稳定.
甲机床:10.05,10.02,9.97,9.96,10.00；
乙机床:10.00,10.01,10.02,9.97,10.00.
(1) 分别求这两个样本的方差；
(2) 估计哪一台机床的产品质量比较稳定.
答案
5. (1) 甲机床加工的零件的直径的平均数为$\frac{1}{5}×(10.05+10.02+9.97+9.96+10.00)=10(\mathrm{mm})$，甲机床加工的零件的直径的方差为$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}×[(10.05-10)^2+(10.02-10)^2+(9.97-10)^2+(9.96-10)^2+(10.00-10)^2]=0.00108$。乙机床加工的零件的直径的平均数为$\frac{1}{5}×(10.00+10.01+10.02+9.97+10.00)=10(\mathrm{mm})$，乙机床加工的零件的直径的方差为$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}×[(10.00-10)^2+(10.01-10)^2+(10.02-10)^2+(9.97-10)^2+(10.00-10)^2]=0.00028$
(2) $\because s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2},\therefore$ 乙机床的产品质量比较稳定
(2) $\because s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2},\therefore$ 乙机床的产品质量比较稳定
解析
【分析】
解题思路分为两部分：(1) 求样本方差时，先按照平均数计算公式分别求出甲、乙两个样本的平均数，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可；(2) 判断产品稳定性时，依据方差的意义：方差越小，数据的波动越小，产品直径越接近标准值，质量越稳定，只需比较两个方差的大小就能得出结论。
【解析】
(1) 计算甲机床样本的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(10.05+10.02+9.97+9.96+10.00)=10(\mathrm{mm})$
代入方差公式得甲的方差：
$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}×[(10.05-10)^2+(10.02-10)^2+(9.97-10)^2+(9.96-10)^2+(10.00-10)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0.0025+0.0004+0.0009+0.0016+0)=0.00108$
计算乙机床样本的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(10.00+10.01+10.02+9.97+10.00)=10(\mathrm{mm})$
代入方差公式得乙的方差：
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}×[(10.00-10)^2+(10.01-10)^2+(10.02-10)^2+(9.97-10)^2+(10.00-10)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0+0.0001+0.0004+0.0009+0)=0.00028$
(2) 比较方差大小可得$s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$，根据方差的性质，方差越小数据波动越小，因此乙机床加工的零件直径波动更小，产品质量更稳定。
【答案】
(1) 甲机床样本方差为$0.00108$，乙机床样本方差为$0.00028$；
(2) 乙机床的产品质量比较稳定。
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题是统计基础应用题，重点考查方差的计算方法和实际应用，计算时注意细心运算避免失误，牢记方差与数据稳定性的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两部分：(1) 求样本方差时，先按照平均数计算公式分别求出甲、乙两个样本的平均数，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可；(2) 判断产品稳定性时，依据方差的意义：方差越小，数据的波动越小，产品直径越接近标准值，质量越稳定，只需比较两个方差的大小就能得出结论。
【解析】
(1) 计算甲机床样本的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(10.05+10.02+9.97+9.96+10.00)=10(\mathrm{mm})$
代入方差公式得甲的方差：
$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}×[(10.05-10)^2+(10.02-10)^2+(9.97-10)^2+(9.96-10)^2+(10.00-10)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0.0025+0.0004+0.0009+0.0016+0)=0.00108$
计算乙机床样本的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(10.00+10.01+10.02+9.97+10.00)=10(\mathrm{mm})$
代入方差公式得乙的方差：
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}×[(10.00-10)^2+(10.01-10)^2+(10.02-10)^2+(9.97-10)^2+(10.00-10)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0+0.0001+0.0004+0.0009+0)=0.00028$
(2) 比较方差大小可得$s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$，根据方差的性质，方差越小数据波动越小，因此乙机床加工的零件直径波动更小，产品质量更稳定。
【答案】
(1) 甲机床样本方差为$0.00108$，乙机床样本方差为$0.00028$；
(2) 乙机床的产品质量比较稳定。
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题是统计基础应用题，重点考查方差的计算方法和实际应用，计算时注意细心运算避免失误，牢记方差与数据稳定性的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
