登录
11. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt{10000}$；
(2) $\sqrt{\frac{121}{225}}$；
(3) $\sqrt{\frac{49}{81}}$；
(4) $\sqrt{(-4)^2}$；
(5) $\sqrt{0.04} - \sqrt{0.25}$；
(6) $\sqrt{3\frac{1}{16}} + \sqrt{4}$。
(1) $\sqrt{10000}$；
(2) $\sqrt{\frac{121}{225}}$；
(3) $\sqrt{\frac{49}{81}}$；
(4) $\sqrt{(-4)^2}$；
(5) $\sqrt{0.04} - \sqrt{0.25}$；
(6) $\sqrt{3\frac{1}{16}} + \sqrt{4}$。
答案
11.(1)100 (2)$\frac{11}{15}$ (3)$\frac{7}{9}$ (4)4 (5)$-0.3$ (6)$\frac{15}{4}$
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关计算，核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，且算术平方根的结果一定是非负数。解题思路如下：①整数被开方数直接寻找对应平方数即可求解；②分数被开方数对分子、分母分别求算术平方根；③带分数作为被开方数时，先化为假分数再开方；④被开方数是平方形式的，先计算被开方数的结果再开方；⑤混合运算类先分别计算每个算术平方根，再做加减运算即可。
【解析】
(1) 因为$100^2=10000$，根据算术平方根的定义可得：$\sqrt{10000}=100$；
(2) 因为$(\frac{11}{15})^2=\frac{121}{225}$，所以$\sqrt{\frac{121}{225}}=\frac{11}{15}$；
(3) 因为$(\frac{7}{9})^2=\frac{49}{81}$，所以$\sqrt{\frac{49}{81}}=\frac{7}{9}$；
(4) 先计算被开方数：$(-4)^2=16$，又因为$4^2=16$，所以$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$；
(5) 先分别计算两个算术平方根：$\sqrt{0.04}=0.2$，$\sqrt{0.25}=0.5$，再做减法运算：$0.2-0.5=-0.3$；
(6) 先把带分数化为假分数：$3\frac{1}{16}=\frac{49}{16}$，可得$\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}$，再计算$\sqrt{4}=2=\frac{8}{4}$，最后求和：$\frac{7}{4}+\frac{8}{4}=\frac{15}{4}$。
【答案】
(1)$100$ (2)$\frac{11}{15}$ (3)$\frac{7}{9}$ (4)$4$ (5)$-0.3$ (6)$\frac{15}{4}$
【知识点】
算术平方根的概念，二次根式化简，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查算术平方根的计算规则，解题时需注意算术平方根的结果为非负数，遇到带分数作被开方数时要先转化为假分数再计算，熟练掌握常见数的平方是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平方根的相关计算，核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，且算术平方根的结果一定是非负数。解题思路如下：①整数被开方数直接寻找对应平方数即可求解；②分数被开方数对分子、分母分别求算术平方根；③带分数作为被开方数时，先化为假分数再开方；④被开方数是平方形式的，先计算被开方数的结果再开方；⑤混合运算类先分别计算每个算术平方根，再做加减运算即可。
【解析】
(1) 因为$100^2=10000$，根据算术平方根的定义可得：$\sqrt{10000}=100$；
(2) 因为$(\frac{11}{15})^2=\frac{121}{225}$，所以$\sqrt{\frac{121}{225}}=\frac{11}{15}$；
(3) 因为$(\frac{7}{9})^2=\frac{49}{81}$，所以$\sqrt{\frac{49}{81}}=\frac{7}{9}$；
(4) 先计算被开方数：$(-4)^2=16$，又因为$4^2=16$，所以$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$；
(5) 先分别计算两个算术平方根：$\sqrt{0.04}=0.2$，$\sqrt{0.25}=0.5$，再做减法运算：$0.2-0.5=-0.3$；
(6) 先把带分数化为假分数：$3\frac{1}{16}=\frac{49}{16}$，可得$\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}$，再计算$\sqrt{4}=2=\frac{8}{4}$，最后求和：$\frac{7}{4}+\frac{8}{4}=\frac{15}{4}$。
【答案】
(1)$100$ (2)$\frac{11}{15}$ (3)$\frac{7}{9}$ (4)$4$ (5)$-0.3$ (6)$\frac{15}{4}$
【知识点】
算术平方根的概念，二次根式化简，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查算术平方根的计算规则，解题时需注意算术平方根的结果为非负数，遇到带分数作被开方数时要先转化为假分数再计算，熟练掌握常见数的平方是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
12.(滨湖区期末)已知$2b+1$的算术平方根为$3$,$3a+2b-1$的算术平方根为$4$,求$a+2b$的算术平方根.
答案
12.解:$\because 2b+1$的算术平方根为3,$\therefore 2b+1=9$,解得$b=4$.
$\because 3a+2b-1$的算术平方根为4,$\therefore 3a+2b-1=16$.
将$b=4$代入,得$3a+8-1=16$,解得$a=3$,
$\therefore a+2b=11$.
故$a+2b$的算术平方根是$\sqrt{11}$.
$\because 3a+2b-1$的算术平方根为4,$\therefore 3a+2b-1=16$.
将$b=4$代入,得$3a+8-1=16$,解得$a=3$,
$\therefore a+2b=11$.
故$a+2b$的算术平方根是$\sqrt{11}$.
解析
【分析】
解题的核心是利用算术平方根的定义：若一个非负数的算术平方根为$y$，则这个非负数等于$y^2$。首先根据$2b+1$的算术平方根是3，列方程求出$b$的值；再将$b$的值代入$3a+2b-1$的算术平方根为4的条件中，列方程求出$a$的值；最后计算$a+2b$的结果，再求它的算术平方根即可。
【解析】
解：$\because 2b+1$的算术平方根为$3$，
$\therefore 2b+1=3^2=9$，
解得$b=4$。
$\because 3a+2b-1$的算术平方根为$4$，
$\therefore 3a+2b-1=4^2=16$，
将$b=4$代入上式，得：
$3a+2×4-1=16$，
即$3a+7=16$，
解得$a=3$。
$\therefore a+2b=3+2×4=11$，
$\therefore a+2b$的算术平方根为$\sqrt{11}$。
【答案】
$\sqrt{11}$
【知识点】
算术平方根的定义；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握算术平方根的性质，能将算术平方根的已知条件转化为对应的等式求解，计算时注意代入数值的准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用算术平方根的定义：若一个非负数的算术平方根为$y$，则这个非负数等于$y^2$。首先根据$2b+1$的算术平方根是3，列方程求出$b$的值；再将$b$的值代入$3a+2b-1$的算术平方根为4的条件中，列方程求出$a$的值；最后计算$a+2b$的结果，再求它的算术平方根即可。
【解析】
解：$\because 2b+1$的算术平方根为$3$，
$\therefore 2b+1=3^2=9$，
解得$b=4$。
$\because 3a+2b-1$的算术平方根为$4$，
$\therefore 3a+2b-1=4^2=16$，
将$b=4$代入上式，得：
$3a+2×4-1=16$，
即$3a+7=16$，
解得$a=3$。
$\therefore a+2b=3+2×4=11$，
$\therefore a+2b$的算术平方根为$\sqrt{11}$。
【答案】
$\sqrt{11}$
【知识点】
算术平方根的定义；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握算术平方根的性质，能将算术平方根的已知条件转化为对应的等式求解，计算时注意代入数值的准确性即可。
【难度系数】
0.8
13.(兴化期末)观察表格，然后回答问题：
(1)表格中$x=$
(2)从表格中探究$a$与$\sqrt{a}$的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知$\sqrt{10}\approx3.16$，则$\sqrt{1000}\approx$
②已知$\sqrt{m}=8.973$，$\sqrt{b}=897.3$，若用含$m$的代数式表示$b$，则$b=$
(1)表格中$x=$
0.1
，$y=$10
.(2)从表格中探究$a$与$\sqrt{a}$的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知$\sqrt{10}\approx3.16$，则$\sqrt{1000}\approx$
31.6
；②已知$\sqrt{m}=8.973$，$\sqrt{b}=897.3$，若用含$m$的代数式表示$b$，则$b=$
$10000m$
.答案
13.(1)0.1 10 (2)①31.6 ②$10000m$
解析
【分析】
首先解决第(1)问，根据算术平方根的定义，求x就是求0.01的算术平方根，求y就是求100的算术平方根，直接计算即可得到结果。然后解决第(2)问，先观察表格中a和√a的变化特征，总结规律：当被开方数a的小数点每向左或向右移动2位时，√a的小数点对应向左或向右移动1位。再应用规律解决两个小问题：①1000相比10，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点也向右移动1位，代入√10的近似值即可得到结果；②√b是√m的100倍，说明算术平方根的小数点向右移动了2位，对应被开方数的小数点要向右移动4位，即可得到b和m的关系。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义计算：
$x=\sqrt{0.01}$，因为$0.1^2=0.01$，所以$x=0.1$；
$y=\sqrt{100}$，因为$10^2=100$，所以$y=10$。
(2) 观察表格可得规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
① 已知$\sqrt{10}\approx3.16$，1000是将10的小数点向右移动2位得到的，因此$\sqrt{1000}$的小数点需将3.16的小数点向右移动1位，即$\sqrt{1000}\approx31.6$；
② 已知$\sqrt{m}=8.973$，$\sqrt{b}=897.3=8.973×100$，即算术平方根的小数点向右移动了2位，对应被开方数的小数点要向右移动4位，因此$b=m×10^4=10000m$。
【答案】
(1) $0.1$；$10$ (2) ①$31.6$ ②$10000m$
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的变化规律；代数式表示
【点评】
本题以表格探究的形式考查算术平方根的相关知识，核心是总结被开方数和其算术平方根的小数点移动的对应规律，这类题需要先从已知数据中归纳共性规律，再将规律迁移应用到未知问题中，注重对观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问，根据算术平方根的定义，求x就是求0.01的算术平方根，求y就是求100的算术平方根，直接计算即可得到结果。然后解决第(2)问，先观察表格中a和√a的变化特征，总结规律：当被开方数a的小数点每向左或向右移动2位时，√a的小数点对应向左或向右移动1位。再应用规律解决两个小问题：①1000相比10，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点也向右移动1位，代入√10的近似值即可得到结果；②√b是√m的100倍，说明算术平方根的小数点向右移动了2位，对应被开方数的小数点要向右移动4位，即可得到b和m的关系。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义计算：
$x=\sqrt{0.01}$，因为$0.1^2=0.01$，所以$x=0.1$；
$y=\sqrt{100}$，因为$10^2=100$，所以$y=10$。
(2) 观察表格可得规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
① 已知$\sqrt{10}\approx3.16$，1000是将10的小数点向右移动2位得到的，因此$\sqrt{1000}$的小数点需将3.16的小数点向右移动1位，即$\sqrt{1000}\approx31.6$；
② 已知$\sqrt{m}=8.973$，$\sqrt{b}=897.3=8.973×100$，即算术平方根的小数点向右移动了2位，对应被开方数的小数点要向右移动4位，因此$b=m×10^4=10000m$。
【答案】
(1) $0.1$；$10$ (2) ①$31.6$ ②$10000m$
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的变化规律；代数式表示
【点评】
本题以表格探究的形式考查算术平方根的相关知识，核心是总结被开方数和其算术平方根的小数点移动的对应规律，这类题需要先从已知数据中归纳共性规律，再将规律迁移应用到未知问题中，注重对观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.7
