【典例1】(2025·重庆)我国南宋数学家李冶(1192~1279)的著作《测圆海镜》中记载了著名的弦外容圆问题:“假令圆城一所,不知周径,四面开门,门外纵横各有十字大道,……其东南十字道头定为巽地,……或问:甲乙二人同立于巽地,乙西行四十八步而止,甲北行九十步,望乙与城参相直,城径几何?”如图,设$\odot O$为圆城,点C是巽地,向上为北方,向左为西方,十字大道CE,CF与$\odot O$相切,若此时甲在点A,乙在点B,则圆城的直径为()

A.102步
B.120步
C.240步
D.300步

解:设 AB 与$\odot O$切于点 M,连接 OE,OF,
易知四边形 OECF 为正方形,
设$BF=x$,
$\therefore AE=x+48-90=x-42=AM$,
$\therefore AB=2x-42$,
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=\sqrt{48^2+90^2}=102$,
$\therefore 2x-42=102,x=72$,
$R=72+48=120.$

【典例2】(2026·北京)如图1，把圆形井盖卡在角尺(角两边互相垂直，一边有刻度)之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移10 cm，如图2，OA边与圆的两个交点对应CD的长为40 cm，则可知井盖的半径是cm.

解:由图1知$\odot O$半径为OH,
由图2知$OE=R-10$,
过点 T 作$TF⊥ CD$于点 F,
$\therefore CF=DF=20$,
连接 CT,
$\therefore R^2=20^2+(R-10)^2,\therefore R=25.$

【典例3】(2025·禹州市模拟)物理实验课上,在做过单摆实验后,直线AB为水平桌面,线段OC为支架(OC⊥AB),虚线为铅锤P的运动轨迹.现根据图形设计出了以下两个问题.

(1)如图1,若点P到OC和AB的距离相等,则称此时点P的位置为“黄金位置”.过点P作⊙O的切线交AB于点D,若OP=PD,求证此时点P处于“黄金位置”.
(2)已知OC=70 cm,OP=50 cm,点E在CB上,且点P处于黄金位置,在点P运动的过程中,当EP与⊙O相切时,求点P到AB的距离.

(1)证明:过点 P 作$PM⊥ OC$,$PN⊥ AB$,
垂足分别为点 M 与点 N,
$\therefore △ PMO≌△ PND,\therefore PM=PN$,
$\therefore$点 P 处于“黄金位置”;

(2)如图 2,①当点 P 在 OC 左侧时,
由(1)知,$PM=PN$,
设$PN=x$,在$\mathrm{Rt}△ OPM$中,
$(70-x)^2+x^2=50^2$,
解得:$x_1=30$,$x_2=40$(舍);
②当点 P 在 OC 右侧时,
同理可得,$PN=40$,
$\therefore$点 P 到 AB 的距离为 40 cm 或 30 cm.