【典例1】如图，AB为$\odot O$的直径，点C为$\odot O$上一点，$CD⊥ AD$，AD交$\odot O$于E，AC平分$∠ BAD$.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线；
(2)连接CE，$CE// AB$，$AB=4$，求图中阴影部分的面积.

(1)证明:连接OC，
∴∠OAC=∠OCA=∠CAE，
∴OC//AD，
∴CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解:若$CE// AB⇒∠CAE=∠ECA$，
∴AE=CE，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠COE=60°，
∴$S_{阴影}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2π}{3}$.

变式.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=BC$,点$O$在$AB$上,以$O$为圆心,$OA$为半径的半圆分别交$AC$,$BC$,$AB$于点$D$,$E$,$F$,且点$E$是弧$DF$的中点.
(1)求证:$BC$是$\odot O$的切线;
(2)若$CE=\sqrt{2}$,求图中阴影部分的面积(结果保留$π$).

(1)证明:连接OE,DF,则$OE⊥DF$，
∴$OE// AC,∠OEB=90°$，
∴BC为$\odot O$的切线；
(2)解:OE交DF于点M，
$CE=DM=FM=\sqrt{2},R=2$，
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{8}π R^2=2-\frac{1}{2}π$.

【典例2】如图，O是等腰△ABC底边上一点，以OA为半径的半圆O交AC于点D，与BC相切于点B，CD=2，则图中阴影部分的面积是。

$\frac{2}{3}π+\sqrt{3}$

变式.如图,在$\odot O$中,AB为$\odot O$直径,C为OB上的点,$CE⊥OB$交$\odot O$于点D,过点E作$\odot O$的切线,切点为F,连接BF交CD于点G.
(1)求证:$EF=EG$;
(2)若$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FD}=\overset{\frown}{DB},DE=2$,求阴影部分的面积.

(1)证明:连接OF,
∴$∠OFE=90°$，
∴$∠EFG=∠FGE=90°-∠OBF$，
∴$EG=EF$；
(2)解:
∵$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴$∠BOF=120°,∴∠FGE=60°$，
∴$△EFG$为等边三角形，
又
∵$∠ABF=∠BFD,∴DF// AB$，
∴$DG=DE=2,∴OF=DF=2\sqrt{3}$，
连接OD,$S_{阴影}=S_{△DEF}-S_{弓形DF}=5\sqrt{3}-2π$.