2026年思维新观察九年级数学上册人教版第169页答案
【典例】(教材P155T9)如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，AD与过C点的切线垂直于D点，AD交$\odot O$于E，求证：AC平分$∠ BAD$.

答案


证明:连接OC,证∠DAC=∠ACO=∠CAO,
故AC平分∠BAD.
变式1.若$AE=6,CD=4$,求$\odot O$的半径.
变式2.若$DE=2,CD=4$,求$\odot O$的半径.
变式3.若$AB=10,AE=6$,求$AC$的长.

答案


1. 作$OM ⊥ AE$于M,连接$OC$,$OC=5$.
2. 辅助线同上,
设$\odot O$的半径为R,
则$OM=CD=4$,$EM=AM=R-2$,
在$△ AMO$中,$(R-2)^2+4^2=R^2$,
$\therefore R=5$.
3. 辅助线同上,$AO=5$,$AM=3$,
$\therefore OM=CD=4$,
$\therefore AC=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}$.
变式4.若$CF⊥ AB$于$F$，$OF=1$，求$AE$的长。

答案

同上,易证$△ AOM ≌ △ OCF$,
$AM=OF=1$,$\therefore AE=2$.
变式5.若$AB=10,AC=4\sqrt{5}$,求AE的长.

答案


连接$BE$,$OC$交于M,
设$OM=x$,则$CM=5-x$,
$5^2-x^2=(2\sqrt{5})^2-(5-x)^2$,解得$x=3$,
$\therefore AE=6$.
变式6.若$AE=6$，$BC=4\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.

答案


过O作$OM ⊥ AD$于M,连接OC,
过C作$CF ⊥ AB$于F,
易证$△ AOM ≌ △ OCF$,$OF=AM=3$,
则$(4\sqrt{5})^2-(r-3)^2=r^2-3^2$,解得$r=8$($r=-5$已舍).