2026年思维新观察九年级数学上册人教版第168页答案
【典例】如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P。
(1)求证:AP=AB；
(2)若OP=1，OC=3，求线段AB的长。

答案


(1)证明:连接OB，
∵ ∠ABP + ∠OBC = 90°，
∠OCB + ∠CPO = 90°，
∠APB=∠CPO，
∴ ∠APB = ∠ABP，
∴ AP=AB；
(2)解:设AB=x，
(x+1)²=x²+3²,x=4，
∴AB=4。
变式1.如图,已知直线$ l $与$ \odot O $相离,$ OA ⊥ l $于点$ A $,交$ \odot O $于点$ P $,$ OA=5 $,$ AB $与$ \odot O $相切于点$ B $,$ BP $的延长线交直线$ l $于点$ C $.
(1)求证:$ AB=AC $;
(2)若$ PC=2\sqrt{5} $,求$ \odot O $的半径.

答案


(1)证明:证∠ACB=∠ABC。
(2)解:连接OB,设⊙O的半径为R，
AB²=5²−R²，
AC²=(2√5)²−(5−R)²，
∴5²−R²=(2√5)²−(5−R)²,R=3。
变式2.如图，MN为$\odot O$的弦，$OC⊥ MN$于F，交$\odot O$于C，点A为NM延长线上一点，AB与$\odot O$相切于点B，连接BC交NM于E.
(1)求证:$AB=AE$；
(2)若$BE=2FE$，$AB=5$，$BC=11$，求$\odot O$的半径.

答案


(1)证明:略；
(2)作AD⊥BC于D,连接OB，
易证△ABD≌△CEF，
CE=AE=AB=5，
∴EF=ED=3,AD=CF=4，
设⊙O的半径为r，
$(r-4)^2+8^2=5^2+r^2,r=\frac{55}{8}$。