2.【初步感知】数学课上,老师给出了如下模型:如图1,点C在直线BD上,且∠ABD=∠ACE=∠EDB.如图2,点C在直线BD上,且∠ABD=∠ACE=∠EDF.像这种以一条直线上的三个点为顶点的角中含有三个相等的角的模型,我们把它称为“一线三等角”模型.同学们经过分析得到结论:∠BAC=∠ECD,∠ACB=∠CED.

【问题解决】
(1)如图3,已知在△ABC中,AB=AC,点D在线段BC上,点F在射线AD上,连接CF,作BE//CF交射线AD于点E,∠CFA=∠BAC=α.找出与∠ABE相等的角,并说明理由.
【深入探究】
(2)如图4,在(1)的条件下,若α=90°,AB=AC=8,连接BF,当BF=BA时,求CF的长.

2.解:(1)∠ABE=∠DAC,理由如下:
∵BE//CF,
∴∠BED=∠CFA,又
∵∠CFA=∠BAC=α,
∴∠BED=∠CFA=∠BAC.
∵∠BED=∠ABE+∠BAD,∠BAC=∠DAC+∠BAD,
∴∠ABE+∠BAD=∠DAC+∠BAD,
∴∠ABE=∠DAC.
(2)
∵BF=BA,
∴△ABF是等腰三角形,又
∵AB=AC=8,
∴BF=AC=8.
∵BE//CF,∠CFA=∠BAC=α=90°,
∴∠BEF=∠CFA=90°,
∴BE⊥AF,AE=EF,∠ABE=∠FBE,
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF=90°,
∴∠ABE=∠CAF,
∴∠CAF=∠FBE.
在△BEF和△AFC中,$\begin{cases} BF = AC ,\\ ∠FBE = ∠CAF ,\\ ∠BEF = ∠AFC ,\end{cases}$
∴△BEF≌△AFC(AAS),
∴FC=EF=AE=$\frac{1}{2}AF$.在Rt△AFC中,由勾股定理,得$CF^2+AF^2=AC^2$,
∴$CF^2+(2CF)^2=8^2$,解得$CF=\frac{8\sqrt{5}}{5}$(负根舍去).