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3. (★)“在正方形的四条边的四个中点中,任取三个中点顺次连接组成三角形”,对于事件$M$:“这个三角形是等腰直角三角形”,下列推断正确的是【
A.事件$M$是不可能事件
B.事件$M$是必然事件
C.事件$M发生的概率为\frac{1}{4}$
D.事件$M发生的概率为\frac{1}{2}$
B
】A.事件$M$是不可能事件
B.事件$M$是必然事件
C.事件$M发生的概率为\frac{1}{4}$
D.事件$M发生的概率为\frac{1}{2}$
答案
B
解析
设正方形的四个顶点为$A,B,C,D$，各边中点为$E,F,G,H$，顺时针或逆时针分布。
从4个中点中任取3个点组成三角形，总的组合方式为$C_4^3 = 4$种。
无论选取哪三个点，由于正方形的对称性和中点的特性，顺次连接这三个点形成的三角形都满足等腰直角三角形的性质（两条边相等，且夹角为$90°$）。
因此，事件$M$：“这个三角形是等腰直角三角形”是一个必然事件。
从4个中点中任取3个点组成三角形，总的组合方式为$C_4^3 = 4$种。
无论选取哪三个点，由于正方形的对称性和中点的特性，顺次连接这三个点形成的三角形都满足等腰直角三角形的性质（两条边相等，且夹角为$90°$）。
因此，事件$M$：“这个三角形是等腰直角三角形”是一个必然事件。
4. (★)一只不透明的盒子中有红球$m$个、白球$8$个、黑球$n$个,每个球除颜色外其他都相同.从中任取一个球,取得白球的概率与不是白球的概率相同,那么$m与n$的关系是【
A.$m = 3$,$n = 5$
B.$m = n = 4$
C.$m + n = 4$
D.$m + n = 8$
D
】A.$m = 3$,$n = 5$
B.$m = n = 4$
C.$m + n = 4$
D.$m + n = 8$
答案
D
解析
根据题意，盒子中球的总数为 $m + 8 + n$。
取得白球的概率为 $\frac{8}{m + 8 + n}$，取得不是白球的概率为 $\frac{m + n}{m + 8 + n}$。
由题意知，两者概率相等，即：
$\frac{8}{m + 8 + n} = \frac{m + n}{m + 8 + n}$
两边分母相同，可得：
$8 = m + n$
即 $m + n = 8$。
取得白球的概率为 $\frac{8}{m + 8 + n}$，取得不是白球的概率为 $\frac{m + n}{m + 8 + n}$。
由题意知，两者概率相等，即：
$\frac{8}{m + 8 + n} = \frac{m + n}{m + 8 + n}$
两边分母相同，可得：
$8 = m + n$
即 $m + n = 8$。
5. (★★)垃圾分类的强制实施即将提上日程.根据规定,某市将垃圾分为了四类:可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾.现有投放这四类垃圾的垃圾桶各$1$个,若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶,投放正确的概率是【
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{16}$
C
】A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{16}$
答案
C
解析
两袋不同垃圾对应两个不同的正确垃圾桶，记为甲、乙。总投放方法：第一袋垃圾有4种选择，第二袋垃圾需投入不同垃圾桶，有3种选择，共$4×3=12$种。投放正确的情况仅1种（两袋垃圾分别投入对应甲、乙桶）。概率为$1÷12=\frac{1}{12}$。
6. (★★)一个不透明的口袋里装有$10$个黑球和若干个黄球,从口袋中随机摸出一球记下其颜色,再把它放回口袋中摇匀重复上述过程,共试验$200$次,其中有$120$次摸到黄球,由此估计口袋中的黄球有【
A.$15$个
B.$30$个
C.$6$个
D.$10$个
A
】A.$15$个
B.$30$个
C.$6$个
D.$10$个
答案
A
解析
设口袋中有黄球$x$个。
根据题意，摸到黄球的频率为$\frac{120}{200} = 0.6$。
由于口袋中黑球有10个，黄球有$x$个，所以总球数为$10 + x$。
因此，摸到黄球的概率为$\frac{x}{10 + x}$。
根据频率估计概率，我们有：
$\frac{x}{10 + x} = 0.6$，
解这个方程，得到：
$x = 0.6(10 + x)$，
$x = 6 + 0.6x$，
$0.4x = 6$，
$x = 15$。
经检验，$x = 15$满足原方程，且符合题意。
根据题意，摸到黄球的频率为$\frac{120}{200} = 0.6$。
由于口袋中黑球有10个，黄球有$x$个，所以总球数为$10 + x$。
因此，摸到黄球的概率为$\frac{x}{10 + x}$。
根据频率估计概率，我们有：
$\frac{x}{10 + x} = 0.6$，
解这个方程，得到：
$x = 0.6(10 + x)$，
$x = 6 + 0.6x$，
$0.4x = 6$，
$x = 15$。
经检验，$x = 15$满足原方程，且符合题意。
7. (★)在教科书中,按照事件发生的可能性大小把事件分为必然事件、随机事件、不可能事件三类,用到了
分类
思想.另外,在画树状图的过程中,也用到了分类
思想.答案
分类，分类
解析
在教科书中，将事件按发生的可能性分为必然事件、随机事件、不可能事件三类，这是对事件性质进行分类的一种方法，体现了分类思想；在画树状图时，将复杂问题分解为多个简单步骤或情况，逐步分析和展示，这体现了树状图（或列表）所代表的树形分解或分步讨论的思想，也属于分类（或分步）思想的一种应用。
8. (★)在教科书“用频率估计概率”一节中,我们不仅体会了“用频率估计
概率
”的概率思想,也体会了“用样本估计总体”的统计
思想,体会了一方面概率与统计相对独立,另一方面概率又以统计为依据的辩证关系.答案
概率；统计
解析
根据“用频率估计概率”一节的核心内容，第一空应填“概率”，体现频率与概率的关系；第二空“用样本估计总体”是统计中的重要思想方法，应填“统计”。
9. (★)有下列事件:①掷一枚质地均匀的硬币,着地时正面朝上;②在标准大气压下,水加热到$100^{\circ}C$会沸腾;③买一张福利彩票,开奖后中奖;④明天会下雨.其中必然事件有【
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
A
】A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
A
解析
必然事件是在一定条件下必然会发生的事件。
事件①掷一枚质地均匀的硬币，着地时可能正面朝上也可能反面朝上，是随机事件。
事件②在标准大气压下，水加热到$100^{\circ}C$会沸腾，这是必然会发生的事件，是必然事件。
事件③买一张福利彩票，开奖后可能中奖也可能不中奖，是随机事件。
事件④明天是否下雨不确定，是随机事件。
所以必然事件只有$1$个。
事件①掷一枚质地均匀的硬币，着地时可能正面朝上也可能反面朝上，是随机事件。
事件②在标准大气压下，水加热到$100^{\circ}C$会沸腾，这是必然会发生的事件，是必然事件。
事件③买一张福利彩票，开奖后可能中奖也可能不中奖，是随机事件。
事件④明天是否下雨不确定，是随机事件。
所以必然事件只有$1$个。
10. (★)在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有$40$个,它们除颜色外其他完全相同.小李通过多次摸球后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在$15\%和45\%$,则口袋中白色球的个数很可能是【
A.$6$
B.$16$
C.$18$
D.$24$
B
】A.$6$
B.$16$
C.$18$
D.$24$
答案
B
解析
根据题意，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在$15\%$和$45\%$，因此白色球的频率为$1 - 15\% - 45\% = 40\%$。
总球数为$40$个，所以白色球的个数为$40 × 40\% = 16$个。
总球数为$40$个，所以白色球的个数为$40 × 40\% = 16$个。
11. (★★)在项目化学习中,“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量,需要从四名同学(两名男生,两名女生)中随机抽取两人,组成调查小组进行社会调查,恰好抽到一名男生和一名女生的概率是【
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
D
】A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
D
解析
设两名男生为男1、男2，两名女生为女1、女2。所有可能的抽取结果为：(男1,男2)、(男1,女1)、(男1,女2)、(男2,女1)、(男2,女2)、(女1,女2)，共6种。其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有4种，所以概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
12. (★★)“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶,被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票,他要将“立春”“夏至”“秋分”“立冬”四张邮票(图25 - 1)中的两张送给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同),让小乐从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一张,则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“夏至”的概率是【
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{8}$
C
】A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
C
解析
将“立春”“夏至”“秋分”“立冬”分别记为A、B、C、D。列表如下：
| 第一次 | 第二次 |
|--------|--------|
| A | B |
| A | C |
| A | D |
| B | A |
| B | C |
| B | D |
| C | A |
| C | B |
| C | D |
| D | A |
| D | B |
| D | C |
共有12种等可能的结果，其中抽到“立春”和“夏至”（即A和B或B和A）的结果有2种。所以概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
| 第一次 | 第二次 |
|--------|--------|
| A | B |
| A | C |
| A | D |
| B | A |
| B | C |
| B | D |
| C | A |
| C | B |
| C | D |
| D | A |
| D | B |
| D | C |
共有12种等可能的结果，其中抽到“立春”和“夏至”（即A和B或B和A）的结果有2种。所以概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
