13. (★★)在平面直角坐标系中,直线$y = - x + 3与两坐标轴围成一个\triangle AOB$,现将背面完全相同、正面分别标有数字$1,2,3,\frac{1}{2},\frac{1}{3}$的五张卡片洗匀后,背面朝上,从中任取一张,用该卡片上的数作为点$P$的横坐标,将该数的倒数作为点$P$的纵坐标,则点$P落在\triangle AOB$内的概率为.

$\frac{3}{5}$

1.首先，确定直线与坐标轴的交点：
直线$y=-x+3$与$x$轴的交点为当$y=0$时的$x$值，
即$0=-x+3$，
解得$x=3$，
所以交点为$A(3,0)$。
直线$y=-x+3$与$y$轴的交点为当$x=0$时的$y$值，
即$y=3$，
所以交点为$B(0,3)$。
由此，三角形$\triangle AOB$的三个顶点为$O(0,0)$，$A(3,0)$和$B(0,3)$。
2.接下来，确定点$P$的所有可能坐标：
当卡片上的数为$1$时，点$P$的坐标为$(1,1)$；
当卡片上的数为$2$时，点$P$的坐标为$(2,\frac{1}{2})$；
当卡片上的数为$3$时，点$P$的坐标为$(3,\frac{1}{3})$；
当卡片上的数为$\frac{1}{2}$时，由于$\frac{1}{2}$的倒数为$2$，点$P$的坐标为$(\frac{1}{2},2)$；
当卡片上的数为$\frac{1}{3}$时，由于$\frac{1}{3}$的倒数为$3$，点$P$的坐标为$(\frac{1}{3},3)$。
3.然后，判断点$P$是否在三角形$\triangle AOB$内：
对于点$(1,1)$，代入$y=-x+3$得$1=-1+3=2$的下方，且$x＞0$，$y＞0$，所以在三角形内；
对于点$(2,\frac{1}{2})$，同样满足$y=-x+3$的下方，且$x＞0$，$y＞0$，所以在三角形内；
对于点$(3,\frac{1}{3})$，在$x=3$上，不在三角形内；
对于点$(\frac{1}{2},2)$，满足$y=-x+3$的下方，且$x＞0$，$y＞0$，所以在三角形内；
对于点$(\frac{1}{3},3)$，在$y=3$上，不在三角形内。
4.计算概率：
总共有5种可能，其中3种在三角形内，所以点$P$在$\triangle AOB$（不含边界）的概率为$\frac{3}{5}$。

14. (★★) (2022·通辽)如图25 - 2,一个圆环被$4条线段分成4$个区域,现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”各一个,将这两个吉祥物放在任意两个区域内:
(1)吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率为______;
(2)求吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率.(用树状图或列表法表示)

(1)
吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率为$\frac{1}{4}$。
(2)
设四个区域依次为①、②、③、④，将“冰墩墩”和“雪容融”放置情况用列表法表示：
| | ① | ② | ③ | ④ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| ① | - | (①,②) | (①,③) | (①,④) |
| ② | (②,①) | - | (②,③) | (②,④) |
| ③ | (③,①) | (③,②) | - | (③,④) |
| ④ | (④,①) | (④,②) | (④,③) | - |
所有可能的情况有$12$种，其中“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻两个区域的情况有①②、②①、②③、③②、③④、④③、④①、①④，共$8$种。
所以$P = \frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{2}{3}$。

15. (★★)一个不透明的口袋中有$4$个相同的小球,分别写有字母$A,B,C,D$,随机抽出一个小球后放回,再随机抽出一个小球.
(1)使用列表法或画树状图法中的一种,列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果;
(2)求两次抽出的球上字母相同的概率.

(1)使用列表法：
| 第一次\第二次 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
(2)总共有$16$种等可能的结果，其中两次抽出的球上字母相同的结果有$4$种，即$(A,A)$，$(B,B)$，$(C,C)$，$(D,D)$。
所以两次抽出的球上字母相同的概率为$\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$。

16. (★★)某小组做用频率估计概率的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图25 - 3所示的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是【】

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
C.暗箱中有$1个红球和2$个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球
D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子,分别标有$1\sim6$,向上的面点数是$4$

D

根据图25-3的折线统计图，频率稳定在0.17左右。需要找到一个试验，其概率接近0.17。
A选项：“石头、剪刀、布”游戏中，小明随机出“剪刀”的概率是1/3≈0.33，不符合。
B选项：一副去掉大小王的普通扑克牌有52张，红桃有13张，任抽一张是红桃的概率为13/52=0.25，不符合。
C选项：暗箱中有1个红球和2个黄球，任取一球是黄球的概率为2/3≈0.67，不符合。
D选项：掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为1/6≈0.17，符合。