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5. 设$xy = x - y \neq 0$，则$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$的值等于()。
A.$\frac{1}{xy}$
B.$y - x$
C.$-1$
D.$1$
A.$\frac{1}{xy}$
B.$y - x$
C.$-1$
D.$1$
答案
C
解析
已知$xy = x - y \neq 0$，需要对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$进行化简，$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}=\frac{y - x}{xy}$，将$xy = x - y$代入$\frac{y - x}{xy}$中，可得$\frac{y - x}{x - y}$，因为$x - y=-(y - x)$，所以$\frac{y - x}{x - y}=\frac{y - x}{-(y - x)}=-1$。
6. 先化简，再求值：
$(\frac{x + 3}{x^{2} - x} - \frac{x}{x^{2} - 2x + 1}) ÷ \frac{2x - 3}{x}$，其中$x$满足$x^{2} - 2x - 1 = 0$。
$(\frac{x + 3}{x^{2} - x} - \frac{x}{x^{2} - 2x + 1}) ÷ \frac{2x - 3}{x}$，其中$x$满足$x^{2} - 2x - 1 = 0$。
答案
$\frac{1}{2}$
解析
化简过程：
1. 对括号内分式通分：
分母因式分解：$x^2 - x = x(x - 1)$，$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，最简公分母为$x(x - 1)^2$。
$\frac{x + 3}{x(x - 1)} - \frac{x}{(x - 1)^2} = \frac{(x + 3)(x - 1) - x^2}{x(x - 1)^2}$。
2. 化简分子：
$(x + 3)(x - 1) - x^2 = x^2 + 2x - 3 - x^2 = 2x - 3$，故括号内结果为$\frac{2x - 3}{x(x - 1)^2}$。
3. 除法变乘法：
$\frac{2x - 3}{x(x - 1)^2} ÷ \frac{2x - 3}{x} = \frac{2x - 3}{x(x - 1)^2} · \frac{x}{2x - 3} = \frac{1}{(x - 1)^2}$。
求值过程：
由$x^2 - 2x - 1 = 0$得$x^2 - 2x = 1$，则$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 = 1 + 1 = 2$，故$\frac{1}{(x - 1)^2} = \frac{1}{2}$。
1. 对括号内分式通分：
分母因式分解：$x^2 - x = x(x - 1)$，$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，最简公分母为$x(x - 1)^2$。
$\frac{x + 3}{x(x - 1)} - \frac{x}{(x - 1)^2} = \frac{(x + 3)(x - 1) - x^2}{x(x - 1)^2}$。
2. 化简分子：
$(x + 3)(x - 1) - x^2 = x^2 + 2x - 3 - x^2 = 2x - 3$，故括号内结果为$\frac{2x - 3}{x(x - 1)^2}$。
3. 除法变乘法：
$\frac{2x - 3}{x(x - 1)^2} ÷ \frac{2x - 3}{x} = \frac{2x - 3}{x(x - 1)^2} · \frac{x}{2x - 3} = \frac{1}{(x - 1)^2}$。
求值过程：
由$x^2 - 2x - 1 = 0$得$x^2 - 2x = 1$，则$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 = 1 + 1 = 2$，故$\frac{1}{(x - 1)^2} = \frac{1}{2}$。
7. (2024 北京)已知$a - b - 1 = 0$，求代数式$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^{2} - 2ab + b^{2}}$的值。
答案
根据已知条件$a - b - 1 = 0$，可得$a - b = 1$。
对代数式$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^{2} - 2ab + b^{2}}$进行化简：
分子$3(a - 2b) + 3b=3a - 6b + 3b = 3a - 3b = 3(a - b)$。
分母$a^{2} - 2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$。
则原式可化为$\frac{3(a - b)}{(a - b)^{2}}=\frac{3}{a - b}$。
把$a - b = 1$代入$\frac{3}{a - b}$，得$\frac{3}{1}=3$。
综上，代数式的值为$3$。
对代数式$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^{2} - 2ab + b^{2}}$进行化简：
分子$3(a - 2b) + 3b=3a - 6b + 3b = 3a - 3b = 3(a - b)$。
分母$a^{2} - 2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$。
则原式可化为$\frac{3(a - b)}{(a - b)^{2}}=\frac{3}{a - b}$。
把$a - b = 1$代入$\frac{3}{a - b}$，得$\frac{3}{1}=3$。
综上，代数式的值为$3$。
8. 如图，若$a = 6b$，则$\frac{1}{a - b}(a - \frac{2ab - b^{2}}{a})$的值在()。
A.第①段
B.第②段
C.第③段
D.第④段
A.第①段
B.第②段
C.第③段
D.第④段
答案
A（错）、B（错）、C（错）、D（对）
D
D
解析
首先对表达式进行化简：
$\frac{1}{a - b} \left( a - \frac{2ab - b^2}{a} \right) = \frac{1}{a - b} \left( \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} \right) = \frac{1}{a - b} · \frac{(a - b)^2}{a} = \frac{a - b}{a}$。
已知 $a = 6b$，代入上式：
$\frac{a - b}{a} = \frac{6b - b}{6b} = \frac{5b}{6b} = \frac{5}{6}$。
根据题目中的数轴图，$\frac{1}{4} = 0.25$，$\frac{1}{2} = 0.5$，$\frac{3}{4} = 0.75$，$\frac{5}{6} \approx 0.833$，所以 $\frac{5}{6}$ 位于第④段。
$\frac{1}{a - b} \left( a - \frac{2ab - b^2}{a} \right) = \frac{1}{a - b} \left( \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} \right) = \frac{1}{a - b} · \frac{(a - b)^2}{a} = \frac{a - b}{a}$。
已知 $a = 6b$，代入上式：
$\frac{a - b}{a} = \frac{6b - b}{6b} = \frac{5b}{6b} = \frac{5}{6}$。
根据题目中的数轴图，$\frac{1}{4} = 0.25$，$\frac{1}{2} = 0.5$，$\frac{3}{4} = 0.75$，$\frac{5}{6} \approx 0.833$，所以 $\frac{5}{6}$ 位于第④段。
9. (2025 文山期末)阅读下面的解题过程。
已知$\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$的值。
解：由$\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$，知$x \neq 0$，$\therefore \frac{x^{2} + 1}{x} = 3$，
即$x + \frac{1}{x} = 3$，
$\therefore \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2x · \frac{1}{x} = 3^{2} - 2 = 7$。
$\therefore \frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$的值为$\frac{1}{7}$。
说明：该题的解法叫作“倒数法”。
请你利用“倒数法”解下面题目：已知$\frac{x}{x^{2} - 2x - 2} = 5$，求：
(1)$x - \frac{2}{x}$的值；
(2)$\frac{x^{2}}{x^{4} - 6x^{2} + 4}$的值。
已知$\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$的值。
解：由$\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$，知$x \neq 0$，$\therefore \frac{x^{2} + 1}{x} = 3$，
即$x + \frac{1}{x} = 3$，
$\therefore \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2x · \frac{1}{x} = 3^{2} - 2 = 7$。
$\therefore \frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$的值为$\frac{1}{7}$。
说明：该题的解法叫作“倒数法”。
请你利用“倒数法”解下面题目：已知$\frac{x}{x^{2} - 2x - 2} = 5$，求：
(1)$x - \frac{2}{x}$的值；
(2)$\frac{x^{2}}{x^{4} - 6x^{2} + 4}$的值。
答案
(1)由$\frac{x}{x^{2}-2x-2}=5$，知$x\neq0$，$\therefore\frac{x^{2}-2x-2}{x}=\frac{1}{5}$，即$x-2-\frac{2}{x}=\frac{1}{5}$，$\therefore x-\frac{2}{x}=\frac{1}{5}+2=\frac{11}{5}$。
(2)$\frac{x^{4}-6x^{2}+4}{x^{2}}=x^{2}-6+\frac{4}{x^{2}}=(x^{2}+\frac{4}{x^{2}})-6$，由(1)知$x-\frac{2}{x}=\frac{11}{5}$，$\therefore(x-\frac{2}{x})^{2}=x^{2}-4+\frac{4}{x^{2}}=(\frac{11}{5})^{2}=\frac{121}{25}$，$\therefore x^{2}+\frac{4}{x^{2}}=\frac{121}{25}+4=\frac{221}{25}$，$\therefore\frac{x^{4}-6x^{2}+4}{x^{2}}=\frac{221}{25}-6=\frac{71}{25}$，$\therefore\frac{x^{2}}{x^{4}-6x^{2}+4}=\frac{25}{71}$。
(1)$\frac{11}{5}$；(2)$\frac{25}{71}$
(2)$\frac{x^{4}-6x^{2}+4}{x^{2}}=x^{2}-6+\frac{4}{x^{2}}=(x^{2}+\frac{4}{x^{2}})-6$，由(1)知$x-\frac{2}{x}=\frac{11}{5}$，$\therefore(x-\frac{2}{x})^{2}=x^{2}-4+\frac{4}{x^{2}}=(\frac{11}{5})^{2}=\frac{121}{25}$，$\therefore x^{2}+\frac{4}{x^{2}}=\frac{121}{25}+4=\frac{221}{25}$，$\therefore\frac{x^{4}-6x^{2}+4}{x^{2}}=\frac{221}{25}-6=\frac{71}{25}$，$\therefore\frac{x^{2}}{x^{4}-6x^{2}+4}=\frac{25}{71}$。
(1)$\frac{11}{5}$；(2)$\frac{25}{71}$
