1. (2024 云南模拟)先化简，再求值：
$(\frac{x^{2}}{x - 2} - x) ÷ \frac{x(x - 4)}{2 - x}$，其中$x = 5$。

$-2$

化简过程：
$\begin{aligned}&(\frac{x^{2}}{x - 2} - x) ÷ \frac{x(x - 4)}{2 - x}\\=&\left(\frac{x^2}{x - 2} - \frac{x(x - 2)}{x - 2}\right) ÷ \frac{x(x - 4)}{2 - x}\\=&\frac{x^2 - x(x - 2)}{x - 2} × \frac{2 - x}{x(x - 4)}\\=&\frac{x^2 - x^2 + 2x}{x - 2} × \frac{-(x - 2)}{x(x - 4)}\\=&\frac{2x}{x - 2} × \frac{-(x - 2)}{x(x - 4)}\\=&-\frac{2}{x - 4}\end{aligned}$
代入求值：
当$x = 5$时，$-\frac{2}{5 - 4} = -2$。

2. (2025 文山期末)先化简，再求值：

$(\frac{3x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1}) ÷ \frac{x}{x^{2} - 1}$，其中$x = -\frac{1}{2}$。

$3$

化简过程：
原式$=(\frac{3x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1}) ÷ \frac{x}{x^2 - 1}$
1. 计算括号内分式减法：
通分，最简公分母为$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$，
$ \frac{3x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} = \frac{3x(x + 1) - x(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} $
展开分子：$3x(x + 1) - x(x - 1) = 3x^2 + 3x - x^2 + x = 2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$，
故括号内结果为$\frac{2x(x + 2)}{x^2 - 1}$。
2. 进行除法运算：
除以$\frac{x}{x^2 - 1}$等价于乘以其倒数$\frac{x^2 - 1}{x}$，
$ \frac{2x(x + 2)}{x^2 - 1} × \frac{x^2 - 1}{x} = 2(x + 2) = 2x + 4 $
代入求值：
当$x = -\frac{1}{2}$时，
原式$=2×(-\frac{1}{2}) + 4 = -1 + 4 = 3$。

3. (2025 昆明期中)先化简，再求值：
$(\frac{4 - 2a}{a + 2} - a + 2) ÷ \frac{a^{2} - 2a}{a + 2}$，请从$-2$，$-1$，$0$，$2$中选择一个合适的数作为$a$的值代入求值。

3

化简过程：
原式$=(\frac{4 - 2a}{a + 2} - a + 2) ÷ \frac{a^{2} - 2a}{a + 2}$
1. 处理括号内式子：
$\frac{4 - 2a}{a + 2} - a + 2 = \frac{4 - 2a}{a + 2} + \frac{(-a + 2)(a + 2)}{a + 2}$
通分后分子为：$4 - 2a + (2 - a)(2 + a) = 4 - 2a + 4 - a^2 = -a^2 - 2a + 8$
括号内结果：$\frac{-a^2 - 2a + 8}{a + 2} = \frac{-(a^2 + 2a - 8)}{a + 2} = \frac{-(a + 4)(a - 2)}{a + 2}$
2. 除法变乘法：
原式$= \frac{-(a + 4)(a - 2)}{a + 2} × \frac{a + 2}{a(a - 2)} = -\frac{a + 4}{a}$
求值：
由分式有意义条件：$a + 2 ≠ 0$，$a(a - 2) ≠ 0$，得$a ≠ -2, 0, 2$，故选择$a = -1$。
代入$a = -1$：$-\frac{-1 + 4}{-1} = -\frac{3}{-1} = 3$

4. 先化简，再求值：
$(1 + \frac{2}{m - 2}) · \frac{m^{2} - 4}{m}$，请为$m$选择一个合适的数代入求值。

化简结果为 $m + 2$；当 $m = 1$ 时，值为 $3$。

化简过程：
1. 通分括号内分式：
$1 + \frac{2}{m - 2} = \frac{(m - 2) + 2}{m - 2} = \frac{m}{m - 2}$
2. 分解因式：
$m^2 - 4 = (m + 2)(m - 2)$
3. 乘法运算：
$\frac{m}{m - 2} · \frac{(m + 2)(m - 2)}{m} = m + 2$
代入求值：
取值条件：$m \neq 0$，$m \neq \pm 2$（避免分母为0或除数为0）。
选择 $m = 1$，代入化简结果：
$m + 2 = 1 + 2 = 3$