5. 已知：如图,在$\triangle ABC$中,D 是 AB 上一点,E 是$\triangle ABC$内一点,$DE// BC$,过点 D 作 AC 的平行线交 CE 的延长线于点 F,CF 与 AB 交于点 P.
求证：$\frac{PE}{PF} = \frac{PA}{PB}$.

证明：$\because DE// BC$，$\therefore \frac{PD}{PB}=\frac{PE}{PC}$，$\therefore PD\cdot PC=PE\cdot PB$.$\because DF// AC$，$\therefore \frac{PF}{PC}=\frac{PD}{PA}$，$\therefore PD\cdot PC=PF\cdot PA$.$\therefore PE\cdot PB=PF\cdot PA$.$\therefore \frac{PE}{PF}=\frac{PA}{PB}$.

6. 已知：如图,D 是 BC 延长线上的一点,$BC = 3CD$,DF 交 AC 于点 E,且$AE = 2EC$.求 AF 与 BF 的比.

$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$

证明：过点$ C $作$ CG // AB $交$ DF $于点$ G $。
$\because CG // AB$，$\therefore \triangle AEF \backsim \triangle CEG$，$\triangle DCG \backsim \triangle DBF$。
$\because AE = 2EC$，$\therefore \frac{AF}{CG} = \frac{AE}{EC} = 2$，$\therefore AF = 2CG$。
$\because BC = 3CD$，$\therefore BD = BC + CD = 4CD$，$\frac{CG}{BF} = \frac{CD}{BD} = \frac{1}{4}$，$\therefore BF = 4CG$。
$\therefore \frac{AF}{BF} = \frac{2CG}{4CG} = \frac{1}{2}$。
$\frac{AF}{BF} = \frac{1}{2}$

1. 填空题.
(1) 图中是两个相似三角形,则$x=$.

(2) 两个全等三角形的相似比是.
(3) 两个三角形相似,其中一个三角形的两个内角分别为$50^{\circ}$,$60^{\circ}$,则另一个三角形的最大内角为度,最小内角为度.
(4) 如图,已知$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$,且$\angle ADE= \angle B$,则对应角为,对应边为.

(5) 若$\triangle ABC与\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$相似,一组对应边的长分别为$AB= 3 \mathrm{~cm}$,$A^{\prime} B^{\prime}=4 \mathrm{~cm}$,那么$\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}与\triangle ABC$的相似比是.
(6) 一个三角形的各边之比为$2: 5: 6$,和它相似的另一个三角形的最大边的长为15 cm,则它的最小边的长为cm.

(1)2
(2)1
(3)70,50
(4)∠A与∠A,∠ADE与∠B,∠AED与∠C;AD与AB,AE与AC,DE与BC
(5)4:3
(6)5