3. 已知：如图,在$\triangle ABC$中,$CD是\angle ACB$的平分线,$DE// BC$,$AD:DB = 2:3$,$AC = a$.求 DE 的长.

0.6a

证明：
∵ $DE // BC$，
∴ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$，$\angle EDC = \angle DCB$，
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$。
∵ $AD:DB = 2:3$，设 $AD = 2k$，$DB = 3k$，则 $AB = 5k$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5}$，$\frac{AE}{AC} = \frac{2}{5}$。
∵ $AC = a$，
∴ $AE = \frac{2}{5}a$，$EC = AC - AE = a - \frac{2}{5}a = \frac{3}{5}a$。
∵ $CD$ 平分 $\angle ACB$，
∴ $\angle ECD = \angle DCB$，
∴ $\angle EDC = \angle ECD$，$\triangle EDC$ 为等腰三角形，$DE = EC = \frac{3}{5}a = 0.6a$。
结论：$DE = 0.6a$

4. 已知：如图,$\triangle ABC$为等边三角形,边长为 2,$DE// BC$,$\triangle BCD的面积是\triangle ABC的面积的\frac{1}{4}$.求 EC 的长.

0.5

证明：
∵△ABC为等边三角形，边长为2，
∴△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4} × 2^2 = \sqrt{3}$。
∵△BCD的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴$S_{\triangle BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4}$。
设△BCD中BC边上的高为h，
则$\frac{1}{2} × 2 × h = \frac{\sqrt{3}}{4}$，解得$h = \frac{\sqrt{3}}{4}$。
∵△ABC的高为$\sqrt{3}$，
∴点D到BC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，点A到BC的距离为$\sqrt{3}$，
∴点D到A的距离为$\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$。
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$，
∴$\frac{AE}{AC} = \frac{3}{4}$，即$AE = \frac{3}{4} × 2 = \frac{3}{2}$，
∴$EC = AC - AE = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$