19. (6分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A= 90°,点D为BC的中点,点E,F分别为AB,AC上的点,且满足EA= CF。试说明DE= DF。

提示：连接AD（图略）。在△BDE和△ADF中，BD=AD，∠B=∠DAF，BE=AF，所以△BDE≌△ADF（SAS）。所以DE=DF。

证明：连接AD。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D为BC中点，
∴AD=BD=CD，∠B=∠C=∠DAF=45°，AB=AC。
∵EA=CF，
∴AB-EA=AC-CF，即BE=AF。
在△BDE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=AD \\ ∠B=∠DAF \\ BE=AF \end{array}\right.$
∴△BDE≌△ADF（SAS）。
∴DE=DF。

20. (10分)在学习“图形的认识”一章时,老师组织同学们通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘。



【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠,使角的顶点A落在点A'处,OE为折痕,如图1。
【操作2】在图1条件下,点F是线段BC上一点,角顶点B沿线段OF折叠,点B落在点B'处,且点B'在长方形内。
【任务】
(1)在图1中,若∠AOE= 35°,求∠A'OB的度数；
(2)在操作2中,当点B'刚好落在线段OA'上时,如图2,求∠EOF的度数；
(3)在操作2中,当点B'不在线段OA'上时,试猜想∠AOE,∠BOF,∠A'OB'之间的数量关系,并说明理由。

解：（1）由折叠性质可知∠AOE=∠A'OE。因为∠AOE=35°，所以∠AOA'=∠AOE+∠A'OE=2∠AOE=70°，所以∠A'OB=180°-∠AOA'=180°-70°=110°。（2）由折叠性质可知∠A'OE=$\frac{1}{2}$∠AOA'，∠B'OF=$\frac{1}{2}$∠BOB'。因为∠AOA'+∠BOB'=180°，所以∠A'OE+∠B'OF=$\frac{1}{2}$（∠AOA'+∠BOB'）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，即∠EOF=90°。（3）∠AOE+∠BOF-$\frac{1}{2}$∠A'OB'=90°或∠AOE+∠BOF+$\frac{1}{2}$∠A'OB'=90°。理由：由折叠性质可知∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOA'，∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOB'。① 当点B'在点A'的左侧时，如图1， ∠AOA'+∠BOB'-∠A'OB'=180°，所以$\frac{1}{2}$∠AOA'+$\frac{1}{2}$∠BOB'-$\frac{1}{2}$∠A'OB'=90°，即∠AOE+∠BOF-$\frac{1}{2}$∠A'OB'=90°。② 当点B'在点A'的右侧时，如图2， ∠AOA'+∠BOB'+∠A'OB'=180°，所以$\frac{1}{2}$∠AOA'+$\frac{1}{2}$∠BOB'+$\frac{1}{2}$∠A'OB'=90°，即∠AOE+∠BOF+$\frac{1}{2}$∠A'OB'=90°。