21. (10分)如图所示,海岛上有A,B两个观测点,点B在点A的正东方,海岛C在观测点A的正北方,海岛D在观测点B的正北方,从观测点A看海岛C,D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C,D的视角∠CBD相等,那么海岛C,D到观测点A,B的距离相等吗? 为什么?

解：相等。
理由如下：设 $ BC $，$ AD $ 相交于点 $ O $，图略。
由题意得 $ \angle CAB=\angle DBA=90° $，$ \angle CAD=\angle DBC $，$ \angle COA=\angle DOB $。
结合三角形内角和定理，得 $ \angle C=\angle D $。
在 $ \triangle CAB $ 和 $ \triangle DBA $ 中，$ \begin{cases} \angle C=\angle D, \\ \angle CAB=\angle DBA, \\ AB=BA, \end{cases} $
所以 $ \triangle CAB\cong\triangle DBA(AAS) $。
所以 $ CA=DB $，
即海岛 $ C $，$ D $ 到观测点 $ A $，$ B $ 的距离相等。

22. (10分)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB= ∠ECD= 90°,点D为AB边上的一点。

(1) 试说明△ACE≌△BCD；
(2) 若AD= 5,BD= 12,求DE的长。

解：（1）因为 $ \triangle ACB $ 和 $ \triangle ECD $ 都是等腰直角三角形，$ \angle ACB=\angle ECD=90° $，
所以 $ AC=BC $，$ EC=DC $。
因为 $ \angle ACE=\angle DCE-\angle DCA $，$ \angle BCD=\angle ACB-\angle DCA $，
所以 $ \angle ACE=\angle BCD $。
在 $ \triangle ACE $ 和 $ \triangle BCD $ 中，$ \begin{cases} AC=BC, \\ \angle ACE=\angle BCD, \\ EC=DC, \end{cases} $
所以 $ \triangle ACE\cong\triangle BCD(SAS) $。
（2）因为 $ \triangle ACB $ 是等腰直角三角形，$ \angle ACB=90° $，
所以 $ \angle B=45° $，$ \angle BAC=45° $。
又因为 $ \triangle ACE\cong\triangle BCD $，
所以 $ \angle EAC=\angle B=45° $，$ AE=BD=12 $，
所以 $ \angle EAD=\angle EAC+\angle BAC=90° $，
即 $ \triangle EAD $ 是直角三角形。
所以 $ DE^2=AE^2+AD^2=12^2+5^2=13^2 $，
所以 $ DE=13 $。

23. (12分)如图,△DAC,△EBC均是等边三角形,AE交CD于点M,BD交CE于点N,连接MN。

(1) 试说明AE= BD；
(2) 试说明CM= CN。
(3) △CMN是什么三角形? 请说明理由。

解：（1）因为 $ \triangle DAC $，$ \triangle EBC $ 均是等边三角形，
所以 $ AC=DC $，$ EC=BC $，$ \angle ACD=\angle BCE=60° $。
所以 $ \angle ACD+\angle DCE=\angle BCE+\angle DCE $，
即 $ \angle ACE=\angle DCB $。
在 $ \triangle ACE $ 和 $ \triangle DCB $ 中，
$ \begin{cases} AC=DC, \\ \angle ACE=\angle DCB, \\ EC=BC, \end{cases} $
所以 $ \triangle ACE\cong\triangle DCB(SAS) $，
所以 $ AE=BD $。
（2）由（1）知 $ \triangle ACE\cong\triangle DCB $，
所以 $ \angle CAE=\angle CDB $，即 $ \angle CAM=\angle CDN $。
因为点 $ A $，$ C $，$ B $ 在同一条直线上，
所以 $ \angle DCE=180°-\angle ACD-\angle BCE=180°-60°-60°=60° $，即 $ \angle DCN=60° $，
所以 $ \angle ACM=\angle DCN $。
在 $ \triangle ACM $ 和 $ \triangle DCN $ 中，
$ \begin{cases} \angle CAM=\angle CDN, \\ AC=DC, \\ \angle ACM=\angle DCN, \end{cases} $
所以 $ \triangle ACM\cong\triangle DCN(ASA) $，
所以 $ CM=CN $。
（3）$ \triangle CMN $ 是等边三角形。
理由：由（2）知 $ CM=CN $，$ \angle DCN=60° $，
所以 $ \triangle CMN $ 为等边三角形。