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【例 1】如图 23.2.1-5，线段 AC，BD 相交于点 O，AB//CD，AB = CD.线段 AC 上的两点 E，F 关于点 O 中心对称.求证：BF = DE.
证明：
证明：
答案
证明:连接AD,BC .因为AB//CD,AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形,所以BO=DO.因为点E,F关于点O中心对称,所以OF=OE.又因为∠BOF=∠DOE,所以△BOF≌△DOE,所以BF=DE.
解析
证明：连接AD，BC。
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO。
∵点E，F关于点O中心对称，
∴OF=OE。
在△BOF和△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l} BO=DO \\ ∠BOF=∠DOE \\ OF=OE\end{array}\right.$
∴△BOF≌△DOE（SAS），
∴BF=DE。
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO。
∵点E，F关于点O中心对称，
∴OF=OE。
在△BOF和△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l} BO=DO \\ ∠BOF=∠DOE \\ OF=OE\end{array}\right.$
∴△BOF≌△DOE（SAS），
∴BF=DE。
1. (四川乐山中考)如图 23.2.1-6，直线 a，b 垂直相交于点 O，曲线 C 关于点 O 成中心对称，点 A 的对称点是点 A′，AB⊥a 于点 B，A′D⊥b 于点 D.若 OB = 3，OD = 2，则阴影部分的面积之和为
6
.答案
1.6
解析
解：
∵曲线$C$关于点$O$成中心对称，点$A$的对称点是点$A'$，
$AB\perp a$于点$B$，$A'D\perp b$于点$D$，$OB = 3$，$OD = 2$，
∴由中心对称性质可得$OD = OB' = 2$（设$A'B'\perp b$于$B'$），$OB = OE = 3$（设$AD'\perp a$于$D'$），
阴影部分面积之和等于矩形$OBAB'$的面积，
即$OB× OD = 3×2=6$。
6
∵曲线$C$关于点$O$成中心对称，点$A$的对称点是点$A'$，
$AB\perp a$于点$B$，$A'D\perp b$于点$D$，$OB = 3$，$OD = 2$，
∴由中心对称性质可得$OD = OB' = 2$（设$A'B'\perp b$于$B'$），$OB = OE = 3$（设$AD'\perp a$于$D'$），
阴影部分面积之和等于矩形$OBAB'$的面积，
即$OB× OD = 3×2=6$。
6
【例 2】如图 23.2.1-7，已知四边形 ABCD 和点 O，画出四边形 EFGH，使这两个四边形关于点 O 成中心对称.
答案
解:如答图23.2.1-1所示.作法:①连接AO并延长AO到点E,使OE=OA,于是得到点A的对称点E;②同样画出点B,C,D的对称点F,G,H;③顺次连接EF,FG,GH,HE.四边形EFGH即为所求的四边形.
2. 如图 23.2.1-8 所示，已知△ABC 和点 P，求作△A′B′C′，使它关于点 P 与△ABC 中心对称.
答案
2.解:如答图23.2.1-2所示,已知点P在边AC上,延长边CA,在直线AC上截取A'P=AP,C'P=CP,连接BP,并延长BP到点B',使B'P=BP,连接A'B',B'C'.△A'B'C'就是所求作的三角形.
解析
解:如答图23.2.1-2所示,连接AP并延长至点A',使A'P=AP;连接BP并延长至点B',使B'P=BP;连接CP并延长至点C',使C'P=CP;连接A'B',B'C',C'A'.△A'B'C'就是所求作的三角形.
1. 下列各选项中的两个电子数字成中心对称的是(
A.[img]
B.[img]
C.[img]
D.[img]
A
)A.[img]
B.[img]
C.[img]
D.[img]
答案
1.A
2. 如图 23.2.1-9，已知菱形 ABCD 与菱形 EFGH 关于直线 BD 上某个点成中心对称，则点 B 的对称点是(
A.点 E
B.点 F
C.点 G
D.点 H
D
)A.点 E
B.点 F
C.点 G
D.点 H
答案
2.D
解析
证明：因为菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，
所以点B的对称点与点B关于对称中心对称，
观察图形可知，点B与点H关于直线BD上的点D成中心对称，
故点B的对称点是点H。
答案：D
所以点B的对称点与点B关于对称中心对称，
观察图形可知，点B与点H关于直线BD上的点D成中心对称，
故点B的对称点是点H。
答案：D
3. 如图 23.2.1-10，△ABC 与△A′B′C′关于点 O 成中心对称，下列结论中不成立的是(
A.OC = OC′
B.OA = OA′
C.BC = B′C′
D.∠ABC = ∠A′C′B′
D
)A.OC = OC′
B.OA = OA′
C.BC = B′C′
D.∠ABC = ∠A′C′B′
答案
3.D
解析
解：
∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点O是对应点连线的中点，对应线段相等，对应角相等。
A. OC=OC′，成立；
B. OA=OA′，成立；
C. BC=B′C′，成立；
D. ∠ABC=∠A′B′C′（对应角相等），而非∠A′C′B′，不成立。
答案：D
∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点O是对应点连线的中点，对应线段相等，对应角相等。
A. OC=OC′，成立；
B. OA=OA′，成立；
C. BC=B′C′，成立；
D. ∠ABC=∠A′B′C′（对应角相等），而非∠A′C′B′，不成立。
答案：D
4. 如图 23.2.1-11，在平面直角坐标系中，若△ABC 与△A₁B₁C₁关于点 E 成中心对称，则对称中心点 E 的坐标是
(3,-1)
.答案
4.(3,-1)
解析
解：由图可知，点$A(3,2)$，$A_1(3,-4)$。
因为关于中心对称的点的坐标，对称中心是对应点连线的中点，所以对称中心点$E$的横坐标为$\frac{3 + 3}{2}=3$，纵坐标为$\frac{2 + (-4)}{2}=-1$。
故对称中心点$E$的坐标是$(3,-1)$。
因为关于中心对称的点的坐标，对称中心是对应点连线的中点，所以对称中心点$E$的横坐标为$\frac{3 + 3}{2}=3$，纵坐标为$\frac{2 + (-4)}{2}=-1$。
故对称中心点$E$的坐标是$(3,-1)$。
