1. 一元二次方程$ (x + 3)(x - 7)= 0 $的根是()
A.$ x_{1}= 3 $,$ x_{2}= -7 $
B.$ x_{1}= 3 $,$ x_{2}= 7 $
C.$ x_{1}= -3 $,$ x_{2}= 7 $
D.$ x_{1}= -3 $,$ x_{2}= -7 $

C

$(x + 3)(x - 7)= 0$
$x + 3=0$或$x - 7=0$
$x_{1}=-3$，$x_{2}=7$
C

2. 解方程$ 4(2x + 5)^{2}= 5(5 + 2x) $最合适的方法是()
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

D

3. 若$ x^{2}-mx - 15= (x + 3)(x + n) $,则$ n^{m} $的值为。

25

$(x + 3)(x + n)=x^{2}+(n + 3)x + 3n$，
因为$x^{2}-mx - 15=(x + 3)(x + n)$，
所以$\begin{cases}n + 3=-m\\3n=-15\end{cases}$，
由$3n=-15$得$n=-5$，
将$n=-5$代入$n + 3=-m$，得$-5 + 3=-m$，$-m=-2$，$m=2$，
所以$n^{m}=(-5)^{2}=25$。
25

4. 用合适的方法解下列方程：
(1) $ x^{2}-8x = 6 $；(2) $ (2x - 3)^{2}= 5(2x - 3) $。

(1)$x_{1}=\sqrt {22}+4,x_{2}=-\sqrt {22}+4$；
(2)$x_{1}=\frac {3}{2},x_{2}=4$

5. 已知关于$ x 的方程 x^{2}-6x + m^{2}-3m - 5 = 0 的一个根为 -1 $,求另一个根及$ m $的值。

$m_{1}=1,m_{2}=2$,另一个根为7。

解：将$x=-1$代入方程$x^{2}-6x + m^{2}-3m - 5 = 0$，得$(-1)^{2}-6×(-1)+m^{2}-3m - 5 = 0$，即$1 + 6 + m^{2}-3m - 5 = 0$，化简得$m^{2}-3m + 2 = 0$，因式分解为$(m - 1)(m - 2)=0$，解得$m_{1}=1$，$m_{2}=2$。
设方程的另一个根为$x_{1}$，由根与系数的关系得$-1 + x_{1}=6$，解得$x_{1}=7$。
另一个根为7，$m$的值为1或2。

6. 如图21 - 2 - 4 - 1,若菱形$ ABCD $的一条对角线长为8,边$ CD 的长是方程 x^{2}-10x + 24 = 0 $的一个根,则菱形$ ABCD $的周长为()

A.16
B.24
C.16或24
D.48

B

解方程$x^{2}-10x + 24 = 0$，得$x_1=4$，$x_2=6$，即$CD=4$或$CD=6$。
菱形对角线互相垂直平分，设对角线交点为$O$。
若$CD=4$，则边长为$4$。一条对角线长为$8$，则半对角线长为$4$。在直角三角形中，斜边$CD=4$，一条直角边为$4$，另一直角边为$0$，不成立，故$CD=4$舍去。
若$CD=6$，边长为$6$。半对角线长为$4$，另一条半对角线长为$\sqrt{6^{2}-4^{2}}=\sqrt{20}$，成立。
菱形周长为$4×6=24$。
B

7. 已知关于$ x 的一元二次方程 x^{2}+mx + 2n = 0 $,其中$ m $,$ n $是常数。
(1) 若$ m = 4 $,$ n = 2 $,请求出方程的根；
(2) 若$ m = n + 3 $,试判断该一元二次方程的根的情况。

(1)$x_{1}=x_{2}=-2$；
(2)$\because m=n+3$,方程为$x^{2}+mx+2n=0,$$\therefore x^{2}+(n+3)x+2n=0,$$\Delta =(n+3)^{2}-4×1×2n=n^{2}-2n+9=(n-1)^{2}+8,$
∵不论n为何值,$(n-1)^{2}+8＞0,$$\therefore \Delta ＞0,$
∴当$m=n+3$时,该一元二次方程有两个不相等的实数根。

8. 阅读材料：为解方程$ (x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4 = 0 $,我们将$ x^{2}-1 $看作一个整体,设$ x^{2}-1 = y $,① 原方程可化为$ y^{2}-5y + 4 = 0 $,解得$ y_{1}= 1 $,$ y_{2}= 4 $。
当$ y = 1 $时,$ x^{2}-1 = 1 $,$ \therefore x^{2}= 2 $,$ \therefore x= \pm\sqrt{2} $；
当$ y = 4 $时,$ x^{2}-1 = 4 $,$ \therefore x^{2}= 5 $,$ \therefore x= \pm\sqrt{5} $。
故原方程的解为$ x_{1}= \sqrt{2} $,$ x_{2}= -\sqrt{2} $,$ x_{3}= \sqrt{5} $,$ x_{4}= -\sqrt{5} $。
解答问题：
(1) 上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用法达到降次的目的,体现了转化的数学思想；
(2) 若题中的方程换为$ (x^{2}-x)^{2}-4(x^{2}-x)-12 = 0 $,请利用换元法求出它的解。

(1)换元；
(2)设$y=x^{2}-x$,原方程变为$y^{2}-4y-12=0$。解这个方程,得$y_{1}=6,y_{2}=-2$。当$y=6$时,$x^{2}-x=6$,即$x^{2}-x-6=0,$解得$x_{1}=3,x_{2}=-2;$当$y=-2$时,$x^{2}-x=-2$,即$x^{2}-x+2=0$,由于$\Delta ＜0$,这个方程无实数根。所以原方程有两个实数根$x_{1}=3,x_{2}=-2$。