【例1】已知一元二次方程$x^{2}-3x - 1 = 0的两根是x_{1},x_{2}$,则$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$的值为()
A. $-3$ B. $3$ C. $-6$ D. $6$
解题关键 将代数式变形,利用根与系数的关系求值。
知识延伸
根与系数的关系的常用变形：
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$；
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$；
(3)$(x_{1}-x_{2})^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$；
(4)$(x_{1}+a)(x_{2}+a)= x_{1}x_{2}+a(x_{1}+x_{2})+a^{2}$；
(5)$x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}$。

A

解：对于一元二次方程$x^{2}-3x - 1 = 0$，由根与系数的关系得：
$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-1$。
$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=(-1)×3=-3$。
A

【例2】已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2(a - 1)x+a^{2}-a - 2 = 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$,若$x_{1},x_{2}满足x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 16$,求$a$的值。
解题关键 由根与系数的关系得出关于$a$的方程是解题的关键。

解:$\Delta=[-2(a-1)]^{2}-4(a^{2}-a-2)＞0$,解得$a＜3$。$\because x_{1}+x_{2}=2(a-1)$,$x_{1}x_{2}=a^{2}-a-2$,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=16$,$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=16$,$\therefore [2(a-1)]^{2}-3(a^{2}-a-2)=16$,解得$a_{1}=-1$,$a_{2}=6$,$\because a＜3$,$\therefore a=-1$。

解:$\Delta=[-2(a-1)]^{2}-4(a^{2}-a-2)=4(a-1)^{2}-4(a^{2}-a-2)=4(a^{2}-2a+1)-4a^{2}+4a+8=4a^{2}-8a+4-4a^{2}+4a+8=-4a+12＞0$,解得$a＜3$。
$\because x_{1}+x_{2}=2(a-1)$,$x_{1}x_{2}=a^{2}-a-2$,
又$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=16$,
$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=16$,
$\therefore [2(a-1)]^{2}-3(a^{2}-a-2)=16$,
即$4(a^{2}-2a+1)-3a^{2}+3a+6=16$,
$4a^{2}-8a+4-3a^{2}+3a+6=16$,
$a^{2}-5a-6=0$,
解得$a_{1}=-1$,$a_{2}=6$。
$\because a＜3$,
$\therefore a=-1$。