3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x - 6 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$,$x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}=$,$x_{1}x_{2}=$。

$2$；$-6$（两个答案依次填写）

对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），若方程有两个实数根 $x_1$ 和 $x_2$，根据根与系数的关系（韦达定理），有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，
对于方程 $x^2 - 2x - 6 = 0$，其中 $a = 1$，$b = -2$，$c = -6$。
代入上述公式，得到：
$x_1 + x_2 = -\frac{-2}{1} = 2$，
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{1} = -6$。

4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-3cx - c + 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$,$x_{2}$,若 $x_{1}x_{2}= 2$,则 $x_{1}+x_{2}= $。

-3

对于一元二次方程$x^{2}-3cx - c + 1 = 0$，根据根与系数的关系，得$x_{1}x_{2}=-c + 1$。已知$x_{1}x_{2}=2$，则$-c + 1 = 2$，解得$c=-1$。又因为$x_{1}+x_{2}=3c$，将$c=-1$代入，得$x_{1}+x_{2}=3×(-1)=-3$。

5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x + m = 0$。
(1)若方程有两个实数根,求 $m$ 的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为 $x_{1}$,$x_{2}$,且 $x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}= 1$,求 $m$ 的值。

答题卡：
(1) 对于方程 $x^{2} - 4x + m = 0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$，
其中，$a = 1, b = -4, c = m$。
代入得：
$\Delta = (-4)^{2} - 4(1)(m) = 16 - 4m$，
由于方程有两个实数根，所以：
$\Delta \geq 0$，
即：
$16 - 4m \geq 0$，
解得：
$m \leq 4$。
(2) 根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 4$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = m$，
代入给定的条件 $x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} = 1$，得：
$4 + m = 1$，
解得：
$m = -3$。

6. (2024 安庆期中)关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6kx + 5k^{2}= 0$。
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若此方程的两个实数根为 $x_{1}$,$x_{2}$,满足 $x_{1}-x_{2}= 4$,求 $k$ 的值。

（1）证明：
对于一元二次方程$x^{2} - 6kx + 5k^{2} = 0$，
其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$
$= (-6k)^{2} - 4 × 1 × 5k^{2}$
$= 36k^{2} - 20k^{2}$
$= 16k^{2}$
由于$k^{2} \geq 0$，所以$\Delta = 16k^{2} \geq 0$，
因此，该方程总有两个实数根。
（2）由一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = 6k$，
$x_{1}x_{2} = 5k^{2}$，
又因为$x_{1} - x_{2} = 4$，
将$x_{1} - x_{2} = 4$两边平方，得到：
$(x_{1} - x_{2})^{2} = 16$，
即$x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = 16$，
利用完全平方公式，有：
$(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2} = (x_{1} - x_{2})^{2}$，
代入已知条件，得：
$(6k)^{2} - 4 × 5k^{2} = 16$，
$36k^{2} - 20k^{2} = 16$，
$16k^{2} = 16$，
$k^{2} = 1$，
解得：$k = \pm 1$。
所以$k$的值为$\pm 1$。

7. (2024 东莞模拟)若 $m$,$n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x - 1 = 0$ 的两个实数根,则 $m^{2}+4m + 2n$ 的值是。

$-3$。

由于$m$和$n$是方程$x^{2} + 2x - 1 = 0$的两个实数根，根据一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）有：
$m + n = - \frac{b}{a} = -2$，
$mn = \frac{c}{a} = -1$，
同时，由于$m$是方程的根，所以它满足方程，即：
$m^{2} + 2m - 1 = 0$，
解这个方程得到：
$m^{2} + 2m = 1$，
现在，要求$m^{2} + 4m + 2n$的值，可以将其拆分为：
$m^{2} + 4m + 2n = (m^{2} + 2m) + 2(m + n)$，
根据之前得到的两个等式，代入值计算：
$m^{2} + 4m + 2n = 1 + 2 × (-2) = 1 - 4 = -3$。

列方程解实际问题的实质是把问题转化为问题,注意对得出的结果进行检验,一看是不是原方程的解,二看是否具有实际意义。

实际 、 数学

列方程解实际问题的过程是通过建立方程将文字信息转化为数学问题，通过求解方程得到数学解，再根据实际情境验证该解是否合理。因此，题中空缺部分应体现这一转化过程，即从实际问题到数学问题的转化。

思考 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？

无（此题为简答题，无选项内容）。

列一元二次方程解决实际问题的一般步骤为：
1.审：审清题意，明确已知量和未知量，找出等量关系。
2.设：设出未知数，设直接未知数或间接未知数。
3.列：根据等量关系列出方程。
4.解：解这个方程。
5.验：检验所得的解是否符合实际意义。
6.答：写出答案。

练习(1)某种病毒由一个分裂成了若干个病毒,一定时间后每个病毒又分裂成同样数目的病毒,此时所有病毒数目的总和是 144 个,则每个病毒一次可分裂成个病毒。
(2)某校组织羽毛球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了 45 场比赛,则有支羽毛球球队参加比赛。

11；10

(1)设每个病毒一次可分裂成$x$个病毒。初始有1个病毒，第一次分裂后有$x$个，第二次分裂后有$x\cdot x = x^2$个。根据题意得$1 + x + x^2 = 144$，即$x^2 + x - 143 = 0$。解得$x_1 = 11$，$x_2 = -12$（不合题意，舍去）。
(2)设有$x$支球队参加比赛。单循环比赛总场数为$\frac{x(x - 1)}{2}$，根据题意得$\frac{x(x - 1)}{2} = 45$，即$x^2 - x - 90 = 0$。解得$x_1 = 10$，$x_2 = -9$（不合题意，舍去）。